湖北省黄冈市黄州区第一中学2019-2020学年度高二第二学期5月月考试题 数学【含解析】

湖北省黄冈市黄州区第一中学2019-2020学年度高二第二学期5月月
考试题 数学【含解析】
一､选择题
1.若集合{}
A x 1x 1=-<<，{}
2B x log x 1=<，则A B ⋂=（ ） A. ()1,1- B. ()0,1
C. ()1,2-
D. ()0,2
【答案】B 【解析】
分析：利用对数函数的性质化简集合B ，然后利用交集的定义求解即可. 详解：集合{}
11A x x =-<<，{}
21B x log x =< ()=0,2， 故()0,1A B ⋂=，故选B .
点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的
属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(12i)(1i)(2i)z +=+-，则||z =（ ）
A.
105
B.
22
2
10
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则求解z ，再由模的计算公式即可得出． 【详解】由题意得，(1)(2)(3)(12)
112(12)(12)
i i i i z i i i i +-+-=
==-++-，
221(1)2z =+-=故选C.
【点睛】本题考查了复数的运算法则及模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 3.函数 2
()1f x x x
=+的定义域是( ) A. [－1，＋∞)
B. (－∞，0)∪(0，＋∞)
C. [－1,0)∪(0，＋∞)
D. R
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数f （x ）2
1x x
=+的有意义， x 的取值需满足10
0x x +≥⎧⎨≠⎩
，
解得x ≥﹣1，且x ≠0；
所以函数f （x ）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）． 故选：C ．
【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，注意偶次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0等，是基础题．
4.幂函数()y f x =图象过点11
(,)42
，则[(9)]f f =（ ）
3 B. 3
C.
13
3 【答案】A 【解析】 【分析】
用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.
【详解】设()y f x x α
==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42
，
所以有
11
()24α=，解得12
α=，所以12()y f x x x === 因为(9)93f ==，所以[(9)](3)3f f f ==故选：A
【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.
5.若函数()()2
212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）
A. 105
a <≤
B. 105
a ≤≤
C. 105
a <<
D. 15
a >
【答案】B 【解析】 【分析】
对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可. 【详解】当0a =时，()22f x x =-+，满足题意； 当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a
--≥，
解得105
a <≤
. 综上所述：105
a ≤≤. 故选：B.
【点睛】本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题. 6.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121
()()
0f x f x x x -<-，则（ ）．
A. (3)(2)(1)f f f <-<
B. (1)(2)(3)f f f <-<
C. (2)(1)(3)f f f -<<
D. (3)(1)(2)f f f <<-
【答案】A 【解析】
由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有
()()1212
f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以
(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
7.对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“
=()f x 是奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
【答案】B 【解析】
【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确.
8.已知(),0,a b ∈+∞，且21a b +=，则2224s ab a b =-的最大值是（ ）
A.
21
2
21 21
D.
21
2
【答案】A 【解析】 【分析】
222a b ab +≤，222
(2)(2)2
a b a b +⎡⎤-+≤-⎣⎦，即可得出结果. 【详解】∵(),0,a b ∈+∞且21a b +=，
∴22
2
2
2
2(2)21
2422(2)222
a b a b s ab a b ab a b ++-⎡⎤=-=+≤-=⎣⎦ 当且仅当122a b ==时取等号，故s 21- 故选：A.
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，熟练掌握基本不等式的性质及其变形是解题的关键，属于中档题.
9.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x
f x =-，
则(2017)(2018)f f +的值为（ ） A. 2- B. 1-
C. 0
D. 1
【答案】D 【解析】 分析】
由奇函数可得()()f x f x -=-,由对称可得()()11f x f x +=-+,则()()()111f x f x f x -+=--=+,整理可得4T
=,则()()()()()()201720181210f f f f f f +=+=+,进而代入求解即可.
【详解】由题,因为奇函数,所以()()f x f x -=-, 又()f x 的图象关于1x =对称,则()()11f x f x +=-+,
所以()()()111f x f x f x -+=--=+,即()()()24f x f x f x =--=-, 所以()f x 是周期函数,4T
=,
所以由周期性和对称性可得()()()()()()201720181210f f f f f f +=+=+, 因为当[0,1]x ∈时,()21x
f x =-, 所以()1
1211f =-=,()00210f =-=,
所以(2017)(2018)101f f +=+=, 故选:D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用,考查函数的周期性的应用,考查指数的运算.
10.已知函数()222,0,
2,0,
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是
A. [-1，0)
B. [0，1]
C. [-1,
1]
D. [-2,2]
【答案】C 【解析】
若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2
()2()f x x x f x -=+=，故函数()
f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.
∴不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤ ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故选C.
点睛：本题考查与分段函数有关的不等式问题.解决与分段函数有关的不等式时，要注意观察分段函数的表达式，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，从而将不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤.
11.已知函数3
()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围为
( )
A. (3)-∞-，
B. ()3,1--
C. (1,)-+∞
D. ()0,1
【答案】B
【解析】 【分析】
设函数()3
23f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，得到切线方程为()()
()3
2
00002363y x x x x x --=--.
再根据图像过点()1,t ，所以32
00463t x x =-+-，令()32
463g x x x =-+-，等价于函数g(x)有三个零点，
分析即得解.
【详解】设函数()3
23f x x x =-上任意一点()()
00,x f x ，
在点()()
00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-， 即()()
()3
2
00002363y x x x x x --=--.
若过点()1,t ，则()()
()()3
2
3
2
00000023631463*t x x x x x x =-+--=-+-
依题意，方程()*有三个不等实根. 令()3
2
463g x x x =-+-，
()()212121210g x x x x x =-+=--='，得10x =，21x =.
当()(),0,1,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，函数()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增. 因此()g x 的极小值为()03g =-，极大值为()11g =-. 若()t g x =有三个不等实根，故31t -<<-. 故选B
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.已知f （x ）=2
x 4x 3,x 0
2x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩
，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取
值范围是（ ） A. (),2∞-- B. (),0∞-
C. ()0,2
D. ()2,0-
【答案】A 【解析】
试题分析：二次函数2
43y x x =-+的对称轴为2x =，则该函数在(,0)-∞上单调递减，则2433x x -+≥，同样函数2
23y x x =--+在(0,)+∞上单调递减，2-233x x ∴-+<
()f x ∴在R 上单调递减；由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a <；则2x a <在[,1]
a a +上恒成立；则2(1),2a a a +<∴<-，实数a 的取值范围是(,2)-∞-，故选A ； 考点：1.分段函数的单调性；2.恒成立问题； 二､填空题
13.设复数1z ､2z 在复平面内的对应点分别为A ､B ，点A 与B 关于x 轴对称，若1z (1)3i i -=-，则
2z =________.
【答案】2i - 【解析】 【分析】
由题意，复数1z 、2z 互为共轭复数.由1z (1)3i i -=-，根据复数的除法运算求出1z ，即可求出2z .
【详解】
()()()()21123133242(1)3,211112
i i i i i i
z i i z i i i i i -+-+-+-=-∴=====+--+-.
复数1z ､2z 在复平面内的对应点分别为A ､B ，且点A 与点B 关于x 轴对称，
∴复数1z 、2z 互为共轭复数，2
2z i ∴=-.
故答案为：2i -.
【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.
14.若“m a ≤”是“方程20x x m ++=有实数根”的充分条件，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1
4
a ≤． 【解析】
试题分析：因为方程20x x m ++=有实数根，所以140m ∆=-≥，即1
4
m ≤，又因为“m a ≤”是“方程20x x m ++=有实数根”的充分条件，所以14a ≤，故应填14
a ≤． 考点：1、一元二次方程；2、充分条件．
15.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 【答案】530x y +-=.
【解析】 【分析】
先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.
故答案为y ＝－5x ＋3.
【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=- 16.双曲线C 的渐近线方程为3
y =，一个焦点为F （0，﹣8）
，则该双曲线的标准方程为_____.已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为_____.
【答案】 (1). 2211648
y x -= (2). 28
【解析】 【分析】
答题空1：利用已知条件求出a ，b ，，然后求出双曲线方程即可 答题空2：利用双曲线的定义转化求解三角形的周长最小值即可 【详解】∵双曲线C 的渐近线方程为3
y =±
，一个焦点为F （0，﹣8）
， ∴2222138a b a b ⎧=
⎪+=，解得a =4，b 3∴双曲线的标准方程为22
11648
y x -=；
设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |=|PF ′|+8， △PAF 的周长为|PF |+|PA |+|AF |=|PF ′|+|PA |+|AF |+8.
当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，最小值为|AF ′|=10. 而|AF |=10，故，△PAF 的周长的最小值为10+10+8=28.
故答案为：22
11648
y x -=；28.
【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的标准方程，以及求解三角形的周长最小值问题，属于简单题. 三､解答题
17.已知集合{
}
22
|(22)20A x x a x a a =--+-≤，{
}
2
|540B x x x =-+≤． （1）若A
B =∅，求a 的取值范围；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)(6,)-∞+∞（2）[]3,4
【解析】 【分析】
分别化简集合,A B ，
（1）根据两集合交集为空集得出a 的不等关系，解之即可；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的子集，由子集的概念可得． 【详解】{
}
22
|(22)20{|2}A x x a x a a x a x a =--+-≤=-≤≤
{}2|540{|14}B x x x x x =-+≤=≤≤
（1）因为A
B =∅，所以24a ->或1a <，即6a >或1a <．
所以a 的取值范围是(,1)
(6,)-∞+∞；
（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ，则21
4a a -≥⎧⎨≤⎩
，解得34a ≤≤．
所以a 的取值范围是[]3,4．
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系，属于基础题型． 18.已知函数()2
22f x x x =++.
（1）求函数()()10g x f x =-的单调递增区间；
（2）若()()()236h x f x a x =+--，[]
13,x ∈-的最大值是0，求实数a 的取值集合. 【答案】(1)()4,1--和()2,+∞；(2)1
,13⎧--⎫⎨⎬⎩⎭
. 【解析】
【分析】
(1)求出函数()g x ，画出其图象即可求出函数()g x 的单调递增区间；
(2)由已知可得函数2
(2)14()x a x x h +--=，其对称轴为12x a =-+
，然后对1
2
a -+与区间中点1的大小关系分类讨论，利用1-和3距离对称轴的远近即可求出max ()h x ，再令max ()0h x =，解方程即可求出a 的值.
【详解】(1)由题意得：()()2
2
2819g x x x x =+-=+-，
令2280x x +-=，解得：4x =-或2x =， 可得函数()g x 图象如下图所示：
由图象可知，()g x 单调递增区间为()4,1--和()2,+∞，
(2)由题意得()()()2
2
22236214h x x x a x x a x =+++--=+--，[]
13,x ∈-，
抛物线开口向上，其对称轴为211
22
a x a -=-=-+， ①当112
a -+
≤，即1
2a ≥-时，此时3距离对称轴较远，
所以()()()max 3932140h x h a ==+--=，解得11
32
a =->-，符合题意， ②当1
12
a -+
>，即12a <-时，此时1-离对称轴较远，
()()max 112140h x h a =-=-+-=，解得1
12
a =-<-，符合题意，
综上可知：实数a 的取值集合为1,13
⎧--⎫⎨⎬⎩⎭
.
【点睛】本题第(1)问主要考查含有绝对值的函数图象的变换及利用函数图象求函数的单调区间，第(2)问以“轴变区间定”的二次函数问题为背景，考查函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中档题. 19.某企业生产一种产品，根据经验，其次品率Q 与日产量x (万件)之间满足关系，
1,192(12)
1,9112
x x Q x ⎧
≤≤⎪-⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ ，已知每生产1万件合格的产品盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万
元(注：次品率=次品数/生产量， 如0.1Q =表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品). （1）试将生产这种产品每天的盈利额()P x (万元)表示为日产量x (万件)的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
【答案】（1）2
454,192(12)
(),9112
x x x x P x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩；（2）日产量9(万件)，获得最大利润.
【解析】 【分析】
（1）由题意()2(1)P x Q x Qx =--，把1,192(12)
1,9112
x x Q x ⎧
≤≤⎪-⎪=⎨⎪<≤⎪⎩代入，即得()P x 的解析式；
（2）由（1）知()P x 的解析式.分别求当911x <≤和19x ≤≤时()P x 的最大值，比较两个最大值，即得答案.
【详解】（1）当19x ≤≤时，1
2(12)
Q x =
-，
∴2
1454()2(1)212(12)2(12)2(12)x x x P x Q x Qx x x x x ⎡⎤-=--=--=⎢⎥---⎣⎦
. 当911x <≤时，12Q =
，∴111()2(1)21222P x Q x Qx x x x ⎛⎫
=--=--= ⎪⎝⎭
.
综上，日盈利额()P x (万元)与日产量x (万件)的函数关系式为
2
454,192(12)
(),9112
x
x x x P x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩
（2）当911x <≤时，()2
x
P x =
，其最大值为5.5万元. 当19x ≤≤时，2
454()2(12)x x P x x -=-，设12t x =-，则12,311x t t =-≤≤.
此时2245(12)4(12)451365192222t t t t y t t t t ----+-⎛⎫
=
==-+ ⎪⎝⎭ 5195127
2212222
t t ≤
-⨯⨯=-=
. 当且仅当9
t t
=
，即=93,t x =时，等号成立. 此时()P x 有最大值，
13.5万元.
【点睛】本题考查分段函数和基本不等式，属于中档题.
20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；
（2）若直线1C F 和平面11ACC A 所成角正弦值等于
10
10
，求二面角A BE C --的平面角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（226
. 【解析】
试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直，AB ⊥平面11BCC B ，再由面面垂直的判定得到面面垂直；
（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值．. 解析：
（1）在直三棱柱中1CC AB ⊥ 又1C F AB ⊥
ED ⊂平面EAB ，1C F ⊂平面EAB ，111CC C F C ⋂=
∴AB ⊥平面11BCC B 又∵AB ⊂平面EBA ∴平面ABE ⊥平面11B BCC . （2）由（1）可知AB BC ⊥
以B 点为坐标原点，BC 为X 轴正方向，BA 为Y 轴正方向，1BB 为Z 轴正方向，建立坐标系.设1AA a =
()000B ，，，()200C ，，，()020A ，，，()100B a ，，，()120C a ，，，()102A a ，，，()11E a ，，，()100F ，，
直线1FC 的方向向量()10a a =，，
，平面1ACC A 的法向量()110m =，， 可知
10
m a m a ⋅=∴2a = ()020BA =，，，()112BE =，，，()200BC =，， 设平面ABE 的法向量()1n x y z =，， ∴20
20y x y z =⎧⎨++=⎩
∴()1201n =-，，
设平面CBE 的法向量()2n x y z ，，= ∴20
20x x y z =⎧⎨++=⎩
∴()2021n =-，，
记二面角A BE C --的平面角为θ
1cos 5θ=
∴26
sin θ=
二面角A BE C --的平面角的正弦值为
6
5
. 21.在平面直角坐标系中，顶点为原点的抛物线C ，它是焦点为椭圆22
143
x y +=的右焦点.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过抛物线C 的焦点作互相垂直的两条直线分别交抛物线C 于,,,A B P Q 四点，求四边形ABPQ 的面积的最小值.
【答案】(1)2
4y x =；(2)32. 【解析】 【分析】
(1)求出椭圆的右焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，再根据焦点在x 轴正半轴的抛物线的标准方程，即可出答案；
(2)根据已知可设直线():10AB x my m =+≠，则直线1
:1PQ x y m
=-+，分别与抛物线方程联立，利用根与系数关系及焦半径公式，即可求出AB 、PQ ，可得1
2
四边形APBQ S AB PQ =⋅，利用基本不等式即
可得解.
【详解】(1)椭圆22
143
x y +=的右焦点为(1,0)，
所以抛物线的焦点为(1,0)，顶点为原点，抛物线的方程为2
4y x =. (2)由(1)知，抛物线C 的焦点是()1,0，
设直线():10AB x my m =+≠，则直线1
:1PQ x y m
=-
+， 联立2
14x my y x
=+⎧⎨
=⎩，消去x ，得2
440y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-，
所以2
121212222()444AB x x my my m y y m =++=+++=++=+， 设点()33,P x y ，()44,Q x y ，同理可得244PQ m
=+， 所以()2222114844416822APBQ S AB PQ m m m m ⎛
⎫=
⋅=++=++ ⎪⎝
⎭四边形
22
816832m m
≥+⋅
=，当且仅当2
288m m =，即1m =±时，等号成立. 即四边形APBQ 的面积的最小值为32.
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系，抛物线中焦半径公式的应用及基本不等式的应用，同时考查对角线互相垂直的四边形的面积公式，属于中档题. 22.已知函数2
()2ln (0)f x x x a x a =-+>. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <，证明：12()3
ln 22
f x x >--. 【答案】(1)详见解析,(2)见解析. 【解析】 【分析】
(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调性；（2）对函数求导，结合极值点的概念得到
121x x +=，121
2x x a =
，()2221a x x =-，()()()()()12222
211121ln 111f x x x x x x =--+--+--，构造函数()11
12ln (0)12
h t t t t t t =-++
<<-，对函数求导，得到函数单调性即可得到结果. 【详解】（1）函数()2
2ln f x x x a x =-+，
则()22222(0)a x x a
f x x x x x
-+=-'+=>，
考虑函数2
22(0)y x x a x =-+>，2
11222y x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝
⎭，对称轴为12x =，
①当0∆≤，即1
2
a ≥
时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增. ②当0∆>即102a <<时，由2220x x a -+=，得11122a x -=21122a x -=， ∴121
012
x x <<
<<， 当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增.
（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()222x x a
f x x
-+'=，
∵函数()2
2ln f x x x a x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <.
∴由（1）知102a <<
，且121x x +=，121
2
x x a =，则()2221a x x =-， 因此()()21111ln 1f x x a x =-+-= ()()2
222221ln 11x x x x +---（2112
x <<），
()()()12222
2
121ln 1f x x x x x x =+--- ()()()()222
211121ln 111x x x x =--+--+
--， 考察函数()11
12ln (0)12
h t t t t t t =-++<<-， 则()()
()
()
2
2
21
12ln 2ln 11t t h t t t t t '-=+-
=+
--，
∵1
02t <<
，∴()0h t '<， 即()h t 在10,
2t ⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭上单调递减，则()13ln222h t h ⎛⎫
>=-- ⎪⎝⎭
， 因此
()12
3
ln22
f x x >--.
【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答．。