最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．设直线1l 的参数方程为113x t
y t =+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与
2l 的距离为（ ）
A ．1
B ．
105
C ．
3105
D ．2
2．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：3cos sin x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）上的动
点，则PQ 的最小值是（ ） A ．
52
2
B ．
22
C ．2
D ．
32
2
3．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1
B ．1-
C ．21-
D ．21--
4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾
斜角为
4
π
，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)
B ．32,222⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭ C ．(-3,-4)
D ．1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭
5．参数方程21,11x t
y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）所表示的曲线是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在方程sin {cos 2x y θ
θ
==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）
A ．(2,7)
B ．12(,)33
C ．(1,0)
D ．11(,)22
7．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）
A ．(4,0)±
B ．(0,4)±
C ．(34,0)
D ．(0,34)
8．椭圆3cos (4sin x y θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数)的离心率是( ) A 7 B 7C 7 D 7 9．椭圆22
1164
x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ ）
A ．3
B 11
C ．22
D 10
10．直线1sin 70
{2cos70
x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )
A ．70°
B ．20°
C ．160°
D ．110°
11．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．椭圆22
1169
x y +=上的点到直线34132x y += ）
A ．0
B ．
25
C ．52
D ．
24132
5
- 二、填空题
13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ
=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则y
x 的取值范围为_____.
14．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P 是曲线3(x cos C y sin α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
：为参数）上的任意
一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．
15．已知直线参数方程为355
435x t y t ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段
BC 中点直角坐标________.
16．直线4
15
{315
x t
y t
=+=--（t 为参数）被曲线24πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭所截得的弦长为 .
17．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θ
θ=-+⎧⎨
=⎩
（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则
y
x
的最大值为________． 18．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，
极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（为参数），M
（03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则
11PM QM
+=_______
19．实数x ，y 满足223412x y +=
，则2x +的最大值______．
20．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩
（t 为参数），点C 在椭圆22
14x y +=上运动，则椭圆上点C 到直
线l 的最大距离为______.
三、解答题
21．将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1
2
，得曲线C ． （1）求出C 的参数方程;
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设P 是曲线C 上的一个动点，求点P
到直线:20l x y +-=距离的最小值． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x t
y t =+⎧⎨=⎩
（t 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单
位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6
π
θρ=>.
（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.
23．已知直线l
的参数方程为12
22
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.在平面直角坐标系xOy 中，()1,2P ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐
标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线M 交于A ，B 两点. （1）求曲线M 的直角坐标方程； （2）求PA PB ⋅的值.
24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的
参数方程为1x k y k ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.
25．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x t
y kt
=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普
通方程为1
y
x k
，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l
的方程为:sin()4
π
ρθ-=
（1）求曲线1C 的普通方程；
（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为
4
π
，求AB 的最大值. 26．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为325
425x t y t
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，(t 是参数).以坐标原点为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若12,C C 交于,A B 两点，P 点坐标为()2,2--，求
11
PA PB
+的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】
∵1:32l y x =-，234l x =+，
∴d ===
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.
2．C
解析：C 【分析】
设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
由曲线C
：sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，
设点,sin )Q θθ，
则点Q 到直线:40l x y +-=
的距离为
d =
=
，
当2,6
k k Z π
θπ=+∈
时，min d =
=
故选：C. 【点睛】
本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.
3．C
解析：C 【分析】
设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】
设2
2
(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,
则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛
⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝
⎭,
故选：C 【点睛】
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】
设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，
∴3
tan 4
θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=
，4cos 5
θ=，
∴4123cos 355x θ==⨯
=，3124sin 455
y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选D. 【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.
5．D
解析：D 【分析】
消参化简整理得2
2
1x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】
将1
t x =代入y =
，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选D. 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．D
解析：D 【解析】
分析：化参数方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.
详解：方程2x sin y cos θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数得到2
12,y x =-将四个点代入验证只有D
满足方程. 故选D.
点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题 7．B
解析：B 【解析】
分析：将参数方程化为普通方程，判断出焦点在y 轴上，利用222c a b =-即可得结果.
详解：椭圆的参数方程为3cos (5x y sin θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数）， ∴椭圆的标准方程是22
1925
+=x y ，
∴椭圆的焦点在y 轴上，且2225,9a b ==，
22216c a b ∴=-=，4c ∴=， ∴椭圆的两个焦点坐标是()0,4±，故选B.
点睛：本题主要考查椭圆的参数方程以及椭圆的简单性质，属于中档题. 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程.
8．A
解析：A 【分析】
先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】
椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩
的标准方程为22
1916x y +=，所以
.
所以e
＝
4
. 故答案为A 【点睛】
(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，2
2
2
,.c c a b e a
=-=
9．D
解析：D 【分析】
设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ
），由点到直线20x y +=的距离公
式，计算可得答案． 【详解】
设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ）
则点P
到直线20x y +=的距离
=
，
max d =
=D ．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
10．B
解析：B 【解析】 由题设可知02cos 70sin 20
tan 201sin 70cos 20
y k x -=
===-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。

11．A
解析：A 【解析】
试题分析：将极坐标方程化为直角坐标方程为
，
，
，直线
与轴的交点为（1,0），与
的交点为（，
），所以这三条曲线围成
图形为顶点为（0,0），（，），（1,0）的三角形，其的面积为
=
，
故选A.
考点：极坐标方程与直角坐标方程互化；两直线的交点；三角形面积公式
12．B
解析：B 【分析】
利用椭圆的参数方程设出椭圆上的点的坐标()4cos ,3sin P θθ，再由点到直线距离公式得
到122sin 1324d πθ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭=
. 【详解】
因为椭圆方程22
1169
x y +=，
所以椭圆的参数方程为：4cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
，
设P 为椭圆上任意一点，设()4cos ,3sin P θθ， 则P 点到直线34132x y +=的距离
12cos 12sin 132
d θθ+-=
122sin 132
4πθ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭=
当sin 14πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
时，d 有最小值， 即min 25
d = 故选：B 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程，点到直线距离的最值，考查了学生的计算能力，属于一般题.
二、填空题
13．【分析】根据曲线参数方程为（为参数）将曲线先化为普通方程再利用的几何意义即可求出其范围【详解】曲线的参数方程为（为参数）将两个方程平方相加它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆又的几何意义是表示原点与
解析：33,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】
根据曲线参数方程为2cos sin x y θθ
=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线先化为普通方程，再利用y
x 的
几何意义即可求出其范围. 【详解】
曲线的参数方程为2cos sin x y θ
θ=-+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），
∴2cos x θ+=，sin y θ=，将两个方程平方相加，
∴22(2)1x y ++=，它在直角坐标系中表示圆心在(2,0)-半径为1的圆.
又
y
x
的几何意义是表示原点与圆上一点(,)P x y 连线的斜率， 画出图象，如图：
当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为k ，切线方程l 为：y kx =
联立l 与圆的方程：22(2)1
x y y kx ⎧++=⎨=⎩
，消掉y
可得()2
2(2)1x kx ++=
直线与圆相切，可得0∆=
，解得k = ∴
当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是±
∴
y
x
的取值范围为33⎡-⎢⎣⎦
.
故答案为：33⎡-⎢⎣⎦
. 【点睛】
此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画出可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．
14．【解析】【分析】根据曲线的参数方程设再由点到直线的距离以及三角函数的性质即可求解【详解】由题意设则到直线的距离故答案为【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程的应用其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐
解析：
2
【解析】 【分析】
根据曲线的参数方程，设,sin )P αα，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解． 【详解】
由题意，设,sin )P αα，
则P 到直线l
的距离
2d =
=≤=
，
． 【点睛】
本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运
算能力，属于基础题．
15．【分析】将直线的参数方程化为普通方程圆的极坐标方程转化为普通方程再求解【详解】直线参数方程为(t 为参数)转化为普通方程：圆转化为普通方程为将直线方程代入圆的方程中整理得设交点为中点坐标则即则线段BC
解析：4433,2525⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程，转化为普通方程，再求解. 【详解】
直线参数方程为355
435x t y t
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)，转化为普通方程：11433y x =-， 圆5ρ=转化为普通方程为22
25x y += ，
将直线方程代入圆的方程中，整理得225881040x x --= ， 设交点为()()1122,,,x y x y ，中点坐标()00,x y ，
则
12088
44252225
x x x +===
， ()12
12012
114114
112333333223325
x x y y y x x -+-+===-+= ， 即则线段BC 中点直角坐标为4433,2525⎛⎫
⎪⎝
⎭ . 【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用. 参数方程转化为直坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以ρ，再代入公式.
16．【解析】：试题分析：将直线的参数方程和曲线的极坐标方程化为普通方程求解圆心坐标和半径即圆心到直线的距离即可利用圆的弦长公式曲解弦长试题 解析：7
5
【解析】 ：
试题分析：将直线的参数方程和曲线的极坐标方程化为普通方程，求解圆心坐标和半径，即圆心到直线的距离，即可利用圆的弦长公式，曲解弦长．
试题 将方程
ρ＝
cos
分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，
圆心C ，
半径为，圆心到直线的距离d ＝，
弦长＝2
＝2
＝.
17．【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程知曲线是圆心为半径为1的圆表示点和原点所成直线的斜率作出圆的过原点的切线数形结合即可求得最大值【详解】曲线化为直角坐标方程为所以曲线是圆心为半径为1的圆表示点 解析：
33
【分析】
将曲线的参数方程化为直角坐标方程知曲线C 是圆心为(2,0)-，半径为1的圆，
y
x
表示点(),x y 和原点所成直线的斜率，作出圆的过原点的切线，数形结合即可求得最大值. 【详解】 曲线2cos sin x y θθ
=-+⎧⎨
=⎩化为直角坐标方程为22
(2)1x y ++=，所以曲线C 是圆心为
(2,0)-，半径为1的圆，
y x 表示点(),x y 和原点所成直线的斜率，作切线OA 、OB ，由图可知，y
x
在OA 、OB 的斜率之间变化且
y
x
在A 点处取得最大值， 在Rt OAC △中，223OA OC CA -=3
tan CA AOC OA ∠==
，所以直线OA 的3y x 3
故答案为：3
【点睛】
本题考查圆的参数方程、圆的切线的性质、直线的倾斜角与斜率，属于中档题.
18．【分析】求出曲线的直角坐标方程把直线的方程化为代入曲线的直角坐标方程然后利用参数的几何意义求解【详解】由曲线的极坐标方程是得即曲线的直角坐标方程为由直线的参数方程是消去参数可得直线的普通方程为化直线
解析：5
3
【分析】
求出曲线C 的直角坐标方程，把直线l
的方程化为122x m y m ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，代入曲线C 的直角
坐标方程，然后利用参数m 的几何意义求解．
【详解】
由曲线C 的极坐标方程是2
sin 4cos 0ρθθ+=，得2
2
sin 4cos 0ρθρθ+=， 即曲线C 的直角坐标方程为24y x =-．
由直线l
的参数方程是()112x t t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
为参数，消去参数t ，可得直线l
的普通方程为
0y -+=．
化直线l
的普通方程为参数方程122x m y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入2
4y x =-，
得2320120m m ++=．
∴1220
3
m m +=-
，124m m =． ∴20
1153·43
QM PM PM QM PM QM ++===． 【点睛】
本题主要考查曲线的极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，以及参数方程中
t 的几何意义的应用，注意直线参数方程形式必须是标准式。

19．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得
答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
解析：【解析】
分析：根据题意，设2cos x θ=
，y θ=
，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分
析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
设2cos x θ=
，y θ=，
则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝
⎭， 又由()15sin 1θα-≤+≤，
则525x -≤≤，
即2x +的最大值5； 故答案为5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．
20．【分析】将直线的参数方程改为直线的一般方程设椭圆上点坐标利用点到直线的距离公式进行计算可得最大值【详解】由得得设则点到的距离其中即椭圆上点到直线的最大距离为故答案为：【点睛】本题考查椭圆的参数方程的
【分析】
将直线的参数方程改为直线的一般方程，设椭圆上点C 坐标()2cos ,sin C θθ，利用点到直线的距离公式进行计算可得最大值. 【详解】
由3,
4
23x t y t =⎧⎪
⎨=+⎪⎩
得4233x y =⨯+，得2340x y -+=，设()2cos ,sin C θθ，则点C 到AB
的距离
d =
=
≤
=4tan 3ϕ=-.
即椭圆上点
C 到直线l
【点睛】
本题考查椭圆的参数方程的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查正弦函数的性质，
属于基础题.
三、解答题
21．（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）；（2
）
5. 【分析】
（1）写出圆22
4x y +=的参数方程，利用伸缩变换可得出曲线C 的参数方程；
（2）写出曲线C 的普通方程，先判断出直线l 与曲线C 相离，设点()2cos ,sin P t t ，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式以及正弦函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最小值. 【详解】
（1）圆22
4x y +=的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），
将圆22
4x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1
2
，得到曲线C ， 所以曲线C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）；
（2）因为C 的普通方程是2
214
x y +=．
与直线:20l x y +-=
联立解得2470y -+=．
因为(2
4470∆=-⨯⨯<，方程无解，所以直线l 与曲线C 相离.
则点()2cos ,sin P t t 到直线l
距离为
d =
=
t π⎛⎫+ ⎪=， 1sin 14t π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以，当sin 14t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d
取最小值，即min d ==
【点睛】
本题考查利用伸缩变换求曲线的参数方程，同时也考查了利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 22．(1) 2240x y x +-=
；(0)y x x =
>
(2) 112
C PQ S ∆=． 【解析】
分析：第一问利用三种方程的转化方法，求出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程，第二问设出点,P Q 的坐标，代入相应的方程，求得对应的ρ，利用极坐标中ρ的几何意义，求得底边PQ 的长，再结合图形的特征，求得对应的高，之后求得三角形的面积.
详解：(1)曲线1C 的普通方程()2
224x y -+=，即22
40x y x +-= 所以1C 的极坐标方程为2
4cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.
曲线3C 的直角坐标方程：(0)3
y x x =
> （2）依题意，设点,P Q 的坐标分别为1,6πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，2,
6πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
将6
π
θ=代入4cos ρθ=，得1ρ=将6
π
θ=
代入2sin ρθ=，得21ρ=
所以121PQ ρρ=
-=，依题意得，点1C 到曲线6
π
θ=
的距离为
1sin
16d OC π
==
所以()
1111
1222
C PQ S PQ d ∆=
⋅==. 点睛：该题属于选修内容，在解题的过程中，第一问比较常规，按照公式就能求得结果，第二问在解题的过程中，用极坐标中ρ的几何意义来求得三角形的底边长，是比较新颖 的，在求高的时候紧抓图形的特征，解法好. 23．（1）()2
224x y -+=（2）1 【分析】
(1)由极坐标和直角坐标的互化，可得曲线M 的方程;(2)将直线的参数方程代入曲线方程，结合参数的几何意义，以及韦达定理可得所求值. 【详解】
（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=， ∴224x y x +=，
即()2
224x y -+=，此即为曲线M 的直角坐标方程.
（2
）将12
22
x t
y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
代入()2224x y -+=
并整理得210t ++=， 由t 的几何意义得121PA PB t t ⋅=⋅=.
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题.
24．（1）S 的普通方程为：2240(04)x y x x +-=<≤；S 的极坐标方程为：
4cos 0,02πρθρθ⎛⎫
=>≤≤
⎪⎝
⎭
；（2）0,
3πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用点到直线的距离公式即d r ≤的应用即可求出结果. 【详解】 (1)显然参数1
4k ≥
由1x k 得1
(04)k x x
=<≤
，代入y k
=,并整理得2240(04,02)x y x x y +-=<≤≤≤，将222,cos x y x ρρθ+==代入2240x y x +-=得
24cos 0ρρθ-=，即4cos 0,02πρθρθ⎛⎫
=>≤≤
⎪⎝
⎭
, 故曲线S 的普通方程为2
2
40(04,02)x y x x y +-=<≤≤≤， 极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫
=>≤≤
⎪⎝
⎭
; （2）曲线C 的直角坐标方程化为22
(2)4x y +-=，则曲线C 是以（0，2）为圆心，半径
为2的圆, 当2π
α=
时,
直线:l x =-C 没有公共点，
当2π
α≠
时设直线的方程为(tan )y k x k α=+=，圆心（0，2
）到直线的距离为
d =
=
由2d =
≤
，得0k ≤≤03π
α≤≤
即α的取值范围为0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，普通方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.
25
．（1）2240(0)x y x y +-=≠.（2）4+【分析】
（1）将直线1l 的参数方程转化为普通方程，联立2l 的方程并消去k ，再根据直线12,l l 斜率存在且不为零，即可得到曲线1C 的普通方程；
（2）先求出直线3l 的普通方程，点B 到直线3l 的距离为d ，由题意可得AB ，求出B 到直线3l 的距离的最大值，即可求出AB 的最大值. 【详解】
（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ， 消去k 可得：2
(4)y x x =--， 整理得：2
2
40x y x +-=；
由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠， 曲线1C 的普通方程为：2240(0)x y x y +-=≠.
（2）由sin()4
π
ρθ-
=sin cos 2ρθρθ-=，
所以直线3l 的普通方程为：2y x =+， 设点B 到直线3l 的距离为d ，
由AB 与3l 的夹角为
4
π
，可得AB =， 求AB 的最大值可转化为点B 到直线3l 的距离d 的最大值，
d 的最大值即圆心()12,0C 到直线3l 的距离加上半径，
所以
max 22d =
+=，
即max max 4AB ==+. 【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，考查了轨迹方程的求法以及直线与圆位置关系，考查学生分析转化能力，属于中档题.
26．（1）1C 的普通方程为：4320x y -+=；2C 的直角坐标方程为：()2
224x y -+=（2）
12
【分析】
（1）消去参数t 即可得到1C 的普通方程；先对极坐标方程两边同乘ρ,再根据
222
cos x y x
ρρθ⎧=+⎨
=⎩求解即可；
（2）将1C 的标准参数方程代入到2C 的直角坐标方程得28160t t -+=,利用韦达定理,则
12
1212
1111t t PA PB t t t t ++=+=,进而求解即可. 【详解】
（1）消去参数t 可得1C 的普通方程为:4320x y -+=；
对cos ρθ=4两边同乘ρ,可得24cos ρρθ=,则22
4x y x +=,整理可得2C 的直角坐标方
程为()2
224x y -+=
（2）由（1）将1C 的标准参数方程代入到2C 的直角坐标方程得28160t t -+=, 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t , 则12128,16t t t t +==, 所以
121212111112
t t PA PB t t t t ++=+== 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查利用参数的几何意义求线段问题.。