高中数学(苏教版,选修1-2) 第2章 章末检测(B) 课时作业

第2章 推理与证明(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；
③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；
⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；
⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b
”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．
2．数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x 值为________．
3．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.
4．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n
(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为________．
5．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是__________(请填写相应的序号)．
①正确；
②推理形式不正确；
③两个“自然数”概念不一致；
④“两个整数”概念不一致．
6．观察下列等式：
C 15＋C 55＝23－2，
C 19＋C 59＋C 99＝27＋23，
C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25，
C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，
…
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝______________.
7．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________________”．
8．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，如果f (1)＝lg 32
，f (2)＝lg 15，则f (2 010)＝__________.
9．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．
第1行 1 1
第2行1 0 1
第3行1 1 1 1
第4行1 0 0 0 1
第5行1 1 0 0 1 1
…………
10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如
果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12
.那么它的反设应该是______________________________．
11．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意
x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)
上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为_________________________．
12．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n
对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 13．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．
14．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为_____________________________________________________________________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知a 、b 、c 是互不相等的正数，且abc ＝1， 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
.
16．(14分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
17．(14分)已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a
－2.
18．(16分)在不等边△ABC 中，A 是最小角，
求证：A <60°.
19．(16分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．
(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；
(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )
，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．
20．(16分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n n
(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
第2章 推理与证明(B)
答案
1．2
解析 只有①②对，其余错误．
2．5
解析 每相邻两数相加等于后面的数．
3．512
解析 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳，
∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)2
＝28， ∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57.
∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71
＝8×(57＋71)2
＝512. 4．p ≤q 解析 q ＝ab ＋mad n ＋nbc m
＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .
5．①
解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
6．24n －1＋(－1)n 22n －1
7．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s
解析 由类比推理可得．
8．－1
解析 由f (1)＝lg 32
＝lg 15－1，f (2)＝lg 15， f (3)＝f (2)－f (1)＝1，
f (4)＝f (3)－f (2)＝1－l
g 15，
f (5)＝f (4)－f (3)＝－l
g 15，
f (6)＝f (5)－f (4)＝－1，
f (7)＝f (6)－f (5)＝l
g 15－1，
f (8)＝f (7)－f (6)＝l
g 15，…，
可以猜想到，从f (7)开始，又重复了上述数值，
即f (x ＋6)＝f (x )，
∴f (2 010)＝f (335×6)＝f (6)＝－1.
9．2n －1 32
解析 (1)第一次全行的数都是1的是第1行，第二次全行的数都是1的是第3行，第三次全行的数都是1的是第7行，第n 次全行的数都是1的是第2n －1行．
(2)1 1 0 0 ... 0 0 1 1 (61)
1 0 1 0 ... 0 1 0 1 (62)
1 1 1 1 ... 1 1 1 1 (63)
由图可知第61行的数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个数为1，所以在第61行的62个数中有32个1.
10．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<
|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12
” 11．332
解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，
且A 、B 、C ∈(0，π)，
∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，
即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332
， 所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 12．－2≤a <32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n
， 而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32
. 当n 为奇数时，a >－2－1n
， 而－2－1n
<－2，∴a ≥－2. 综上可得－2≤a <32
. 13．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．
14．v 1<v 2
解析 设甲地到乙地的距离为S ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v (v 2>v >0)，则船
在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t ＝S v 2＋v ＋S v 2－v ＝2v 2S v 22－v
2，平均速度v 1＝2S t ＝v 22－v 2v 2. ∵v 1－v 2＝v 22－v 2v 2－v 2＝－v 2v 2
<0， ∴v 1<v 2.
15．证明 ∵a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab
<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2 ＝1a ＋1b ＋1c
. 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
. 16．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：
设α∥β，且γ∩α＝a ，
则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，
又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，
∴必有γ∩β＝b .
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
17．证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a
－2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a
＋ 2. ∵a >0，
故只要证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a
＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4 ≥a 2＋2＋1a
2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a
2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝
⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a
2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
18．证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角，∵B >A ≥60°，C >A ≥60°， ∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°.
19．(1)证明 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4
＝1＋tan x 1－tan x
； (2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．
证明如下：
∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)
＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )
＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)
＝f (x )， ∴f (x )是周期函数． 20．(1)解 由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，
∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．
(2)证明 由(1)得b n ＝S n n
＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r ∈N *且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，
即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，
∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.
∵p 、q 、r ∈N *，∴⎩
⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭
⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．
∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。