2010年海淀区高三年级第二学期一模试题理科

海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理科）
第I 卷（选择题共40分）
、选择题：本大题共 8小题,每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中 ，选出符合题目要 求的一项.
6.已知等差数列1,a,b ，等比数列3,a 2,b 5，则该等差数列的公差为（
A . 3 或-3
B . 3 或-1
C . 3
2010.4
1 .在复平面内，复数z 二口 （i 是虚数单位） i
B .
对应的点位于
A •第一象限 第二象限 C .第三象限
D .第四象限
2.在同一坐标系中画出函数
y Hog a x ,
y =x - a 的图象, 可能正确的是（
）
3.在四边形ABCD 中,
T
—+ —I
AB =DC ，且 AC -BD = 0,则四边形 ABCD 是( )
A.矩形
B.菱形
C.直角梯形
D.等腰梯形
4.在平面直角坐标系 xOy 中，点P 的直角坐标为
（1,- 3）.若以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，则点 P 的极坐标可以是
（
（ 兀）
A . 1,—
B . 2,
3 C .
5.—个体积为12 3的正三棱柱的三视图如图所示,
则这个三棱柱的左视图的面积为 A . 63 C . 8 3
D . 12
D .
7•已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是
A . -1
B . 1
1 C . 2
D.-
2
8.已知数列 A: a 1,a 2,|l),an 0_ a 1 ：：： a 2 ：：： a . , n_3 具有性质 P ：
对任意 i, j 1_i_j_ n ,
% +a 与a j -a i 两数中至少有一个是该数列中的一项 .现给出以下四个命题:
① 数列0,1,3具有性质P ; ② 数列0,2, 4, 6具有性质P ; ③ 若数列A 具有性质P ，则a 1 =0 ；
④ 若数列 a 1,a 2, a 3 ^La 1 ::: a 2 ::: a 3 具有性质 P ，贝U a 1 a^ 2a 2. 其中真命题有（ ）
A . 4个
B . 3个
C . 2个
D . 1个
第n 卷（非选择题
共110分）
二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.
9•某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100名同学，统计他们每天平均学习时间
绘成频率分布直方图（如图）
•则这100名同学中学习时间在 6~8小时内的人数为 __________ .
八频率/组距
x -- ----------- 0.14 -------------- 0.12 ................
10.如图，AB 为LI O 的直径，且AB =8 ,P 为OA 的中点，过P 作LI O 的弦CD ，且CP:PD =3:4 , 则弦
CD
54
OO
---------- ----- ----- ----- -----
2 4 6 8 10 12 小时
A
C
的长度为
11.给定下列四个命题：
①“•”是sinx=^ ”的充分不必要条件；
6 2
②若"p q "为真，则"p q "为真；
③若a ::: b，则am2 ::: bm2；
④若集合A"B =A，则A^B.
其中为真命题的是_____________ (填上所有正确命题的序号) .
12 .在二项式(x2 -?)5的展开式中，x的系数是-10，贝V实数a的值为 ____________________ .
x ，
13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为hE，且它们
在第一象限的交点为P, PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形•若PR =10，双曲线的离心率
的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 ___________ .
2 2
14 .在平面直角坐标系中，点集 A 二{(x, y)|x y <1} , B 二{( x, y) | x _ 4, y _ 0,,3 x - 4y _ 0},
则(1)点集P ={(x, y) X=N +3,y =% +1,(^,%) EA}所表示的区域的面积为 _________________ ;
(2)点集Q ={( x,y) x =捲■ X2, y =% *2,(捲，％)・A,(X2,y2)・B}所表示的区域的面积为___________ .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
已知函数f (x) =si n( • .x •「)(八‘0,1「I：：：二)的图象如图所示.
(I)求--,「的值；
(D)设g(x)二f(x)f(x )，求函数g(x)的单调递增区间.
4
点E 的位置.
16. (本小题满分13分)
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动
•活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示
的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置
•若指针停在 A 区域
返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和
•
(I)若某位顾客消费 128元，求返券金额不低于 30元的概率；
(H)若某位顾客恰好消费 280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为
X (元)•
求随机变量X 的分布列和数学期望•
17. （本小题满分14分）
如图，三棱柱 ABC -ABG 中，侧面 AAGC _ 底面 ABC , AA =AC =AC =2, AB =BC , 且AB _ BC O 为AC 中点•
(I)
证明：
AO _ 平面 ABC ；
(H)求直线 AC 与平面AAB 所成角的正弦值;
(川)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE//平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定
18. (本小题满分13分)
已知函数f(x) =x alnx,其中a为常数，且a^-l.
(I)当a - 一1 时，求f(x)在[e,e2] (e=2.718 28 …)上的值域；
(D)若f (x)弐_1对任意x • [e,e2]恒成立，求实数a的取值范围
19. (本小题满分13分)
3 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2，且厅店2匸2，点(1,
2 在椭圆C上.
(I)求椭圆C的方程；
(H)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点，且厶AF?B的面积为空2，求以F2为圆心
7
且与直线l相切的圆的方程.
20 .(本小题满分14分)
I 2a n1, n为偶数，
已知数列a满足：a1 =0, a. = a , n =2,3,4,|||.
竽+2am, n为奇数，
.2亍
(I)求a5,a6,a7的值；
a
(n)设b n 专，试求数列Cb n 1的通项公式；
2
(川)对于任意的正整数n,试讨论a n与a n 1的大小关系。