四川省南充市龙门中学高二数学上学期期中试题 理 新人

四川南充龙门中学2013-2014学年度上期高中2015级期中考试
数 学 试 题（理科）
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．直线2x ＋1＝0的倾斜角为( )
A ．不存在 B. π4 C. π2 D.3π
4
2．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－3
2
B. 3
2
C ．3
D ． －3
3．设P 是椭圆x 2
25＋y
2
16＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10 4．过点(0,1)的直线与x 2
＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3
D ．2 5
5．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为( ) A.椭圆 B.圆 C. 椭圆或线段或不存在 D.不存在 6．已知圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )
A ．(－∞，1
4]
B ．(0，1
4)
C ．(－1
4
，0)
D ．[－1
4
，＋∞)
7．动点A 在圆x 2
＋y 2
＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2
＋y 2
＝4 B ．(x －3)2＋y 2
＝1 C ．(2x －3)2
＋4y 2
＝1
D ．(x ＋32)2＋y 2＝1
2
8．若点P (1,1)为圆(x －3)2
＋y 2
＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0
D ．2x －y －1＝0
9．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2
＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若直线Ax -2y -1=0与直线6x -4y +1=0互相平行，则A 的值为 .
12．已知两圆x 2
＋y 2
＝10和(x －1)2
＋(y －3)2
＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是 .
13．若实数x 、y 满足(x-2)2
+y 2
=3,则
y
x
的最大值为 . 14． 在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于 15．如图，平面中的两条直线1l 和2l 相交于点O.
对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p,q ）是点M 的“距离坐标”
根据上述定义，“距离坐标”是（1,2）的点的个数是
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分．解答题应写出必要的解答过程或演算步骤) 16．（本题满分10分）
求圆心为(1,1)，且与直线x ＋y ＝4相切的圆的标准方程．
17. （本题满分12分）
求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．
18．（本题满分12分）
椭圆的焦距为6，且经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫4，125，求焦点在x 轴上椭圆的标准方程．
19．（本题满分13分）
已知圆C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝25，直线l ：(2 m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7 m －4＝0. (Ⅰ) 证明：不论m 为何实数，直线l 与圆恒交于两点； (Ⅱ) 求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．
20．（本题满分14分）
如图，设P 是圆x 2+y 2
=25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|=
4
5
|PD|. (Ⅰ) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(Ⅱ) 求过点（3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度.
21．（本题满分14分）
如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝3
2
，左、右
两个焦点分别为F 1，F 2过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，且|MN |＝1.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设椭圆C 的左顶点为A ，下顶点为B ，动点P 满足PA →·AB →
＝m －4(m ∈R )，试求点P 的轨迹方程，使点B 关于该轨迹的对称点落在椭圆C 上．
南充龙门中学2013-2014学年度上期高中2015级期中考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题5分，共25分）
2
15. 4
三.解答题（本大题共6个小题，10+12+12+13+14+14=75分）
16. 解：半径为
|1＋1－4|
2
＝2，
∴ 圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.
17. 解：易得交点坐标为(2,3) 设所求直线为7x＋8y－38＋λ(3x－2y)＝0，
即(7＋3λ)x＋(8－2λ)y－38＝0，令x＝0，y＝
38
8－2λ
，令y＝0，x＝
38
7＋3λ
，由已知，
38
8－2λ
＝
38
7＋3λ
，∴λ＝
1
5
，即所求直线方程为x＋y－5＝0.
又直线方程不含直线3x－2y＝0，
当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，3x－2y＝0亦为所求．
18. 解：设椭圆的方程为221
mx ny
+=，（0,0,
m n m n
>>≠）
将点P1，P2的坐标代入椭圆方程得到：
61
321
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
9
m=，
1
3
n=故椭圆的方程为
22
1
93
x y
+=
19. (1)证明：直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.
由
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x＋y－7＝0，
x＋y－4＝0
得
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝3，
y＝1.
所以直线l过定点(3,1)．
而(3－1)2＋(1－2)2<25，即点(3,1)在圆内部，所以直线l与圆恒交于两点．
(2)解：过圆心(1,2)与点(3,1)的直线l1的方程为y＝－
1
2
x＋
5
2
.被圆C截得的弦长最小时直线l必与直线l1垂直，所以直线l的斜率k1＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
20.解：（1）设点M的坐标是（x,y)，P的坐标是(,)
P P
x y,
因为点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|=
4
5
|PD|，所以x P=x,且y P=
5
4
y.
因为P在圆x2+y2=25上，
所以22
5
()25
4
x y
+=,整理得
22
1
2516
x y
+=,即C的方程是
22
1
2516
x y
+=.
(2)过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线方程是y=
4
5
(x-3),
设此直线与C 的交点为A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),
将直线方程y=4
5
(x-3)代入C 的方程
2212516x y +=得： 22
(3)12525
x x -+=,化简得x 2-3x-8=0,
所以123322
x x +=
=,所以线段AB 的长度是：
41||,5
AB ==== 即所截线段的长度是
41
5
. 21.解：(1)∵MF 2⊥x 轴，
∴|MF 2|＝12，由椭圆的定义得，|MF 1|＋1
2
＝2a ，
∵|MF 1|2＝(2c )2＋14，∴(2a －12)2＝4c 2
＋14，
由e ＝
32得c 2
＝34
a 2， ∴4a 2
－2a ＝3a 2
，∴a >0，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2
＝14
a 2＝1，
∴所求椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)由(1)知点A (－2,0)，点B 为(0，－1)，
设点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－2－x ，－y )，AB →
＝(2，－1)， 由PA →·AB →
＝m －4得－4－2x ＋y ＝m －4，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x ＋m . 设点B 关于P 的轨迹的对称点为B ′(x 1，y 1)，则由轴对称对的性质可得
y 1＋1x 1＝－12，y 1－12＝2·x 12＋m ，解得x 1＝－4－4m 5，y 1＝2m －3
5
， ∵点B ′(x 1，y 1)在椭圆上， ∴(－4－4m 5)2＋4(2m －35
)2＝4，
整理得2m 2
－m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝32，
∴点P 的轨迹方程为y ＝2x －1或y ＝2x ＋3
2.。