2022年江苏省初三下学期第一次月考数学试卷(附答案)

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江苏省初三下学期第一次月考数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（每题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
1．-202X 的相反数是（ ） A ．－202X B ．2015
1
-
C ．202X
D ．20151
2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（ ）
A ．60.310⨯
B ．5310⨯
C ．6310⨯
D ．43010⨯
3．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
4．下列计算正确的是（ ）
A ．4416
x x x ⋅= B. 3249()a a a ⋅= C. 2424()()ab ab ab ÷-=- D. 6243()()1a a ÷=
5．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（ ）
班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 人数
52
60
62
54
58
62
A ．平均数是58
B ．中位数是58
C ．极差是40
D ．众数是60
6．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心.若∠B ＝25o ，则∠C 的大小等于（ ） A ．20o B ．25o C ．40o D ．50o
7．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD ，B 与 D 两 点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A ．四边形 A BCD 由矩形变为平行四边形
B ．BD 的长度增大
C ．四边形 A BC
D 的面积不变 D ．四边形 A BCD 的周长不变
8．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，且A ，C 在坐标轴上，满足3OA =，1OC =．将矩形OABC 绕原点O 以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t 秒()06t ≤≤，旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S ，表示S 与t 的函数关系的图象大致如右图所示，则矩形OABC 的初始位置是（ ）
x
y O
A
B
C B
O y x
A
C
C B A C B A
x
y O
O y
x
二、填空题（每题3分，共24分）
9．把多项式2
2
4ax ay -分解因式的结果是 ．
10．如图，直线a ∥b ，直线l 与a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，且PM 垂直于l ，若∠1=58°，则∠2= ． 11．在函数1
1+=
x y 中,自变量x 的取值范围是 ．
12．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是直线 ． 13．菱形的周长为20cm ，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度
是 cm ．
14．已知关于x 的 一元二次方程22340x kx -+=的一个根是1，则k= ．
15．如图，A 是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A 与桌面接触
的概率是________．
16．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网 4m 的位置上，则网球的击球的高度 h 为
m ．
17．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y （cm ）和注水时间x （s ）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 s 能把小水杯注满．
18．如图所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，
与反比例函数(0)k
y x x
=>的图象分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B ，
2B ，3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ，2C ，3C ，连接1
OB ，2OB ，3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为18
49
，则k 的值为 ．
三、解答题（10题，共96分）
19．（8分）（1）计算：2014131
(1)8()2sin 453
--+-+︒ 第10题 第15题 第16题 第18题
第6题
第7题
o
3
32
6
2
S t
第8题
第17题图1 第17题图2 D
C
B
A
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（2）解方程：
3211x x x
-=--
20．（8分）先化简，再求值：22
2
11()x y
x y x y x y
+÷-+-，其中31,31x y =+=-
21．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的中点为O ，过点O 作AC 的垂直平分线分别与AD 、BC 相交于点E 、F ，连
接AF ． 求证：AE=AF 。

22．（8分）甲、乙两条轮船同时从港口A 出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求港
口A 与小岛C 之间的距离．
23．（10分）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A ．非常赞同；B ．赞同但要有时间限制；C ．无所谓；D ．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次被抽查的居民有多少人？ （2）将图1和图2补充完整； （3）求图2中“C ”层次所在扇形的圆心角的度
数；
（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A 层次和B 层次）的大约有多少人．
24．（10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本
是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
25．（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A=2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过
点D.
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留
根号和π）
26．（10分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
22题图
E
O
C
B
A
1D
第25题 第22题
第25题图
D
A
B
C
第26题
A E F
C
B D O
第21题
第23题图2
第23题图1
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27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 和抛物线交于点A(-4，0)，B(0，4)，且点B 是抛物线的顶点．
（1）求直线AB 和抛物线的解析式．
（2）点P 是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB 面积最大时点P 的坐标．
（3）M 是直线AB 上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N ，使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N
的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（12分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线， AF ⊥BE ， 垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC
a ，AC
b ，
AB c .
特例探索
（1）如图1，当∠ABE =45°，c
22时，a = ，b ； 如图2，当∠ABE =30°，c 4时， a = ，b ；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想,,a b c 222
三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明
你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD ,BC ,CD
的中点，
BE ⊥EG ， AD = 25，AB =3. 求AF 的长.
B
A
y
x
o
第27题
F
B
E
G
C
D A
第28题图4
答案
一、选择题（每题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D A C C D
二、填空题（每题3分，共24分）
9、a(2x+y)(2x-y) ；10、32°；11、>
x -1 ；12、x=-1 ；
13、53；14、 2 ；15、1
2
；16、 1.4 ；
17、 5 ；18、 4 .
三、解答题（10题，共96分）
19．（8分）（1）原式=1……………………………4分
（2）x=5 ……………………………8分
20．（8分）原式=2
=1
xy
……………………………化简计算各4分
21．（8分）证明：连接CE。

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。

又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。

∴AE=CF。

∴四边形AECF是平行四边形。

……………6分又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。

∴AE=AF。

……………8分
22．（8分）解：作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意可知：AB=30×1=30，∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt△ABD中，∵AB=30，∠BAC=30°，
∴BD=15，AD=ABcos30°=153，……………4分
在Rt△BCD中，∵BD=15，∠BCD=45°，
∴CD=15海里，
∴AC=AD+CD=153+15，
即A、C间的距离为（153+15）海里．……………8分
23．（10分）解：（1）∵90÷30%=300（人），
∴本次被抽查的居民有300人．……………2分（2）∵D所占的百分比：30÷300=10%，
B所占的百分比：1﹣20%﹣30%﹣10%=40%，
B对应的人数：300×40%=120（人），
C对应的人数：300×20%=60（人），
∴补全统计图，如图所示：…………6分
（3）∵360°×20%=72°，
∴“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°．……………8分
（4）∵4000×（30%+40%）=2800（人），
∴估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同
（包括A层次和B层次）的大约有2800人．……………10分
24．（10分）解：（1）y=，
……………5分
（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；
在10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x，
当x=21时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．……………（10分）
25．（10分）解：（1）证明：如图，连接OD
∵OD
OB=，∴2
1∠
=
∠，
∴∠1
2∠
=
DOC，
∵1
2∠
=
∠A，∴DOC
A∠
=
∠，
∠ABC=90°，
90
=
∠
+
∠
∴C
A
∴
90
=
∠
+
∠C
ODC，
90
=
∠
∴ODC
∵OD为半径，
∴AC是⊙O的切线；…………5分
（2）解：
60
=
∠
=
∠DOC
A，2
=
OD
在ODC
Rt∆中，
OD
DC
=
60
tan
3
2
3
2
60
tan=
⨯
=
=
OD
DC
∴3
2
3
2
2
2
1
2
1
=
⨯
⨯
=
⋅
=
∆
DC
OD
S
ODC
Rt
π
π
π
3
2
360
2
60
360
2
2
=
⨯
⨯
=
=
r
n
S
ODE
扇形
π
3
2
3
2-
=
-
=
∴
∆ODE
ODC
Rt
S
S
S
扇形
阴影
…………10分
26．（10分）解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示。

4 / 5
5 / 5
…………每图2分
27．（12分）解:
（1）y=x+4； 2
144y x =-+…………4分
（2） 设P （m ，2
144
m -+），Q （m ，m+4）
2
22111[4(4)]422411
2(2)222PAB A B S
PQ x x m m m m m =
•-=-+-+•=--=-++∴当m=-2时,S △PAB 面积最大,此时P （-2,
3）…………8分
（3）共四个点.(22,22),(-22,-22)，（-4，4）（2，2） ①当OB 为边时:直线1N O 与AB 平行,故与X 轴夹角为45, 又1N O =4∴1N (22,22)由对称性可知
2N (-22,-22).显然3N （-4，4）
②当OB 为对角线时: 4N （2，2）). …………12分
28．（12分） 解析：（1） a
b 25.
a 213 ,
b 27.…………4分
(2) a b
c 22
25 如图3，连接EF ， 设AP=m ,BP=n.,则c
AB m n 2
222
∵EF //AB 1
2
, ∴PE=12BP=12n , PF=12AP=12m,
∴AE m n 22214 , BF n m 222
14
,
∴b AC AE m n 2222244,
a BC BF n m 2
222244
∴()a
b m n
c 2
222255…………8分
（3）设AF 、BE 交于点P.
取AB 的中点H ，连接FH 、AC 。

∵E,G 分别是AD ，CD 的中点，F 是BC 的中点 ∴EG ∥AC ∥FH 又∵BE ⊥EG ∴FH ⊥BE
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC,AD=BC ∴AE ∥BF, AE=BF
∴AP=FP ∴△ABF 是“中垂三角形”
∴222
5AB AF BF =+
即222
355（
）AF =+ ∴=4AF …………12分
图3
C
E
F
B
P
A
N 4
N 3
N 2
N 1B
A
y
x
o
Q
P B
A
y
x
o。