数理方程------中国科学技术大学-季孝达

数理方程------中国科学技术大学-季孝达数学物理方程:讨论的对象是物理问题里提出来的数学方程，这个方程以偏微分方程为主，也包括常微分方程、积分方程、差分方程。

也可以叫数学物理的偏微分方程。

不是泛泛的讨论偏微分方程，跟数学上的讨论不同，是从物理角度讨论物理里重要的偏微分方程。

研究数理方程归纳为三个步骤:
第一步建立数学模型(导出一个偏微分方程)，把物理问题变成数学问题。

第二步求解。

把解找出来。

第三步把解回复到物理中，做出物理的解释。

一方面检验解的正确性，即检验解与观测到的物理现象、总结的物理规律是不是吻合，另一方面，通过解对物理现象进行预测。

我们这个课程主要做的是第二步，即求解。

第一步和第三步也会涉及到一些，但这些主要是在相应的专业课程中学习的。

我们的主要任务是求解，研究对象是数学物理方程，求解:一要从物理上认识这个问题，找出求解的思路，物理上直观的想法很重要(要有物理的直观)，希望大家不要搞成纯粹数学。

需要调动所有的数学工具来求解偏微分方程，需要既要从物理上又要从数学上。

从历史上，前面是微积分、线性代数、复变函数，都学过了，凡是能用的我们把它都拿过来，目标是一个，把解找出来。

结合物理问题，一结合实际问题往往比较复杂，从计算量上或许就会大一些，求解方法常常是比较繁琐的，不一定难，有可能很繁，希望大家把这个作为我们科学工作能力的(锻炼)一个方面来要求自己，不怕繁、要坚持做到底，
发明、创新第一步是找准方向，然后去实现它，实现必须踏踏实实、一步步的做。

我们所涉及到的数学物理方程主要是三个，这部分内容主要是19世纪的内容，物理和数学是紧密结合的，数学帮助解决物理问题，物理提供了数学发展的动力。

从牛顿、莱布尼茨创立微积分开始就是紧密结合的，很多问题就是从物理里促使了微积分的出现，从历史上讲，偏微分方程在18世纪的时候就由了，最重要的发展是19世纪力学、热学、电磁学(独立成分支)的发展急需数学工具解决，偏微分方程就是适应了这种形式发展起来的，且发展的比较快。

20世纪偏微分方程仍是应用数学(数学物理)的一个主要方向，同时也有了新的发展，对于求解，除了古典解，还有广义解;运用的工具不只是微积分，还有泛函分析、变分法等。

另外非线性方程也出来了，动用的数学工具不光是分析，还有代数的、几何的都集中起来讨论数理方程，把各个数学的分支都揉和在一起解决物理问题。

当然我们这门课不可能涉及这些。

我们学习的内容为19世纪的这部分内容。

学习的目的:在专业课学习中树立防方程起着重要作用;学习讨论的方法和思路。

对大家以后的学习和工作都会有所帮助。

第一章偏微分方程的定解问题
介绍偏微分方程的一些相关概念、介绍求解的通用方法
从研究偏微分方程的第一步出发，怎样从物理问题建立数学模型，导出偏微分方程。

第一节三个典型方程的导出
1.弦的横振动
一根绷紧的弦，受扰动后怎样运动的问题，这个问题是1747年达朗贝尔最开始提出的，得到这个方
程，历史上把这个事情作为偏微分方程开始的标志。

我们也来看看弦振动方程如何建立的。

绷紧的的弦处于平衡位置，弦受小的扰动后开始运动。

任何实际问题，产生的原因都很复杂，若把所有因素都考虑进来，没法研究。

去粗存精、去伪存真，
忽略次要因素，抓住主要矛盾。

理想化假设:均匀——弦的截面处处相等、为常数，有同一介质构成) ,
柔软——可任意弯曲(没有抵抗弯曲的内应力，只有抵抗拉伸的内应力) 弹性——抵抗拉伸的内应力，即为张力。

张力满足胡克定律。

细弦——不管横截面，视为几何上的线。

横振动——弦的振动在黑板平面内，运动的位移垂直于平衡位置。

,u微小(横振动)——位移很小，相对位移也很小。

即u很小，也很小。

,x 建立坐标系:(1)确定未知函数(刻画运动u ( x , t ))
建立方程:微元分析的方法(微元可把非均匀的东西看成是均匀的东西)
(2)取微元:x ,x，dx
运动方程:F=ma
2,u(x,t) 其中:m,,dsa,2,t
,,x方向: Tcos,,Tcos,,0
,,y方向: ,Tsin,，Tsin,,,gds,ma
,u(x，dx,t),,sin,tan, ,,,x
2uxdxtuxtuxt,(，,),(,),(,) T,gds,dx[,],,2xxt,,,
2uxdxtuxtuxtuxt,(，,),(,),,(,),(,)其中: dxdx,,[],2xxxxx,,,,,
22,u(x,t)uxt,(,) [T,,g]dx,,dx22t,,x
22T,uxt(,),u(x,t)化简得:,g,——二阶常系数线性偏微分方程 22,,t,x
:未知多元函数，x=(x，x，x…x)， u(x)123n
2m,u,u,u,uFxu=0——偏微分方程 (,,,......)mmm1mn,x,x,x,x,x,x,xn11mm12 偏微分方程中出现的最高阶的偏导数为偏微分方程的阶
偏微分方程中u及u的各阶偏导数都是线性(线性组合)的——线性偏微分方程。