软件无线电理论基础

第二章
1. 信号采样理论
软件无线电理论基础
1.1 Nyquist 采样理论 设有频率带限信号xa(t) , 其最高频率为fH , 如果以采样频率fs>2fH 对xa(t)进行采样, 得到时 间离散的采样信号x(n) = xa(nTs )（其中Ts=1/fs 为采样周期 ) ，则原信号xa(t)可被x(n)完全恢 复。
E k ( z ) = ∑ h( mD + k ) z
m = −∞ +∞ −m
例：h(n)的长度为32，抽取因子D=4
h(0) h(4) h(8) h(12) h(16) h(20) h(24) h(28)
h(1) h(5) h(9) h(13) h(17) h(21) h(25) h(29)
h(2) h(6) h(10) h(14) h(18) h(22) h(26) h(30)
ω
…
− 3π − 2π
1/2
−π
X D (e jw ) 混入带内的噪声
…
π
2π 3π
ω
为了不失真抽取，应先用一数字滤波器（带 宽为 π / D 的低通滤波器）对x(n)进行滤波。
w (n)
x (n)
h(n)
D
x D (m )
2.2 整数倍内插 x(n) I
x′ (m ) I
h(n)
x (n)
1
x I (m )
B
f ’s = f s / D =2B
f 0 = 40MHz
2fL /(m-1)
2fH /m
☆一种常见的采样频率取值为:
4 f0 fs = 2n − 1
n 取能满足 fs≥2B 的最大正整数. ☆当 fH = mB 时，有 fL = (m-1)B , f0 = (2m-1)B/2 Xi ( f ) X1( f ) X2( f ) X3( f ) -3B -2B -B 0 B 2B 3B f
r (n) ra (t )
A/D 数字下变频 信道分离
xk (n)
xk (m)
抽取 … …
fs
fs
fs / D
2.1 整数倍抽取 x(n) D x(n) · · · · ·
0 1 2 3 4

xD(m) xD(m) = x(Dm)
n
xD(m) ·
0
·
1
·
2
m
设x(n)的z 变换和富氏变换分别为X(z) 和X(ejω）， 则 xD(m)的 z 变换和富氏变换分别为：
fs I ⋅ fs
x′ (m ) I
x I (m )
x′ (m) D
xD (k )
hI(n)
I ⋅ fs
hD(n)
I ⋅ fs
D
f s _ out = I / D ⋅ f s
X (e )
jw
…
π
…
2π ω
I=3 …
X ′ (e jw ) I
…
π / 3 2π / 3
π
2π ω
带宽为 π / 3 的低通滤波器
h(3) h(7) h(11) h(15) h(19) h(23) h(27) h(31)
E0(n)
E1(n)
E2(n)
E3(n)
(2) 内插器的多相滤波结构
x(n)
EI-1(z) EI-2(z) . . . E0 (z)
I Z-1 I Z-1 I xI(m)
2.5 带通信号的抽取 设数字信号x(n)是(0 , fs/2)整个数字频带上某 一带宽 (fL , fH) 内的信号。 如果该带通信号的最 高频率和最低频率是信号带宽 B =fH – fL的整数 倍，即
x1(t)的频谱
-3B
-2B
-B
0
B
2B
3B f
f s= 2B
x1(m)的频谱
-3B
-2B
-B
0
B
2B
3B f
x2(t)的频谱
-3B
﹡ -2B -B f s= 2B
0
﹡ B
2B
3B f
x2(m)的频谱
﹡ ﹡ -3B
﹡ ﹡ -2B -B
0
﹡ ﹡ B
2B
﹡ ﹡ 3B f
2. 多速率信号处理
前述的带通采样定理的应用大大降低了所 需的射频采样速率。但从软件无线电的要求 看，带通采样的带宽越宽越好。随着采样速率 的提高，采样后的数据率很高，但实际的无线 电通信信号带宽一般为几十千赫到几百千赫， 我们可以对这种窄带信号进行降速处理。
+∞
π
1.2 带通信号采样定理 设频率带限信号x(t), 其频带限制在(fL , fH), X(f)
-fL -f0 -fH 带宽B=fH - fL
fL f0 fH
f
f0=( fH + fL ) / 2, fH = f0 + B/2, fL = f0 - B/2
根据采样值不失真地重建信号的充要条件 是采样频率满足:
jw
X (e jw )
…
1
π /2 π
…
2π
ω
X (e jw / 2 ) / 2
…
1/2
−π
…
π
2π 3π 4π
1/2
X (e j ( w − 2π ) / 2 ) / 2
ω
…
− 3π − 2π
−π
…
π
X D (e jw )
2π 3π
ω
…
− 3π − 2π
1/2
−π
…
π
2π 3π
ω
xa (t ) fs / D
1 D −1 − j 2π k / D 1 / D X D ( z ) = ∑ X (e z ) D k =0 1 D −1 j ( w − 2πk ) / D X D (e ) = ∑ X (e ) D k =0
jw
所以抽取序列的频谱为抽取前原始序列频 谱经频移和D倍展宽后的D个频谱的叠加和。
1 1 jw / 2 j ( w − 2π ) / 2 ) 当 D = 2 时， X D (e ) = 2 X (e ) + 2 X (e
H ( z ) = ∑ h( n) z − n
n = −∞ +∞
令n = mD + k, 则
H ( z ) = ∑ ∑ h( mD + k ) z − k z − mD
m = −∞ k = 0 D −1 k =0 −k
+ ∞ D −1
= ∑z
D −1 k =0
+∞
m = −∞
∑ h( mD + k )( z )
此时 f s= 2B
此时可用同一个采样频率 fS = 2B 对频分信号 （每个子信道间隔为B）进行采样。
B
∑ xi (t )
A/D fs=2B A/D fs=2B
x0(n)
…
B
fs
…
f01=B/2
B
xm(n)
B
fs
f0m= (2m-1)B/2
带通采样把位于{(m-1)B , mB}上不同频带的 信号都用位于（0 , B)上相同的基带信号频谱来表 示。但要注意，当m为偶数时， 其频率对应关系 是相对中心频率“反折”的。
设x(n)的z 变换和富氏 变换分别为X(z) 和X(ejω）， 则 x′ (m ) 的 z 变换和富 I 氏变换分别为：
。 。 。 。
0 2 3
n
。 。 。 。 。 。 。
x′ (m ) 。 。 I
01 2 3 4 5 6
m
X ′ (z) = X (z I ) I X ′ (e ) = X (e I
X I (e )
jw
…
π /3
…
π
2π ω
D= 2 …
X D (e jw )
…
2π / 3
π
4π / 3
2π ω
此时hd(n)可以去掉
D= 4 …
X D (e jw )
…
2π / 3
π
4π / 3
2π ω
必须加带宽为 π / 4 的低通滤波器，此时hI(n)可以去掉
2.4 抽取与内插的多相滤波器结构 前述的抽取器与内插器的抗混叠数字滤波器 均是在高取样率的条件下进行，因此对运算速度 的要求很高。多相滤波器结构可以降低其运算 量。 设数字滤波器的冲击响应为h(n), 则其z变换 为：
2 fH 2 fL ≤ fs ≤ m m −1
或
2 f0 + B 2 f0 − B ≤ fs ≤ m −1 m
其中m = 1, …, mmax , mmax=[fH / B]
所以带通信号采样频率的取值范由mmax个互 不重合的区间Sm=[2fH / m , 2fL / (m-1)]组成。
B = 5MHz,
jw jwI
x I (m ) 。 。 。 。 。
)
01 2 3 4 5 6
m
I=2 …
X (e )
jw
…
π
X ′ (e jw ) I
2π
ω
…
π /2
jw
…
π
2π
ω
X I (e )
…
π /2
…
π
2π
ω
2.3 取样率的分数倍变换
f s _ out = f s / R
设分数倍变换的变换比为 R = D / I , 则可 以通过先进行 I 倍内插再进行 D 倍抽取来实 现。 x(n) I
D −m
= ∑ z − k Ek ( z D )
其中
E k ( z ) = ∑ h( mD + k ) z
m = −∞ +∞ −m
(1) 抽取器的多相滤波结构 数字滤波器 h(n) 的多相结构为 x(n) Z-1 E1(zD) Z-1 Z-1 . . . ED-1(zD)
H ( z ) = ∑ z −k Ek ( z D )
fs
x (n)
不模糊带宽为 fs / 2 不模糊带宽为 fs / (2D)
D
x D (m )
X (e jw )
噪声
…
1
π /2 π
…
2π
ω
X (e jw / 2 ) / 2
…
1/2
−π
…
π
2π 3π 4π
1/2
X (e j ( w − 2π ) / 2 ) / 2
ω
…
− 3π − 2π −π
…
π
2π 3π
f H = ( n + 1) B , f L = nB
且抽样率满足： D = f s /( 2 B ) xi(n)的频谱 (i = 1, …, D) …
fs / 2D fs / 2
f
则可进行“整带”抽取：对感兴趣的子带进 行带通滤波后再进行D倍抽取，信号的频谱都将 搬至0 ~ B。注意：n为偶数的子带信号抽取后频 谱是反折的。
k =0 D −1
E0
(zD)
y(n)
D
xD(m)
利用对等关系： Z-1 D D Z-1/D xD(m)
得到抽取器的多相滤波结构为 x(n) E0(z) D Z-1 D Z-1 Z-1 . . . D ED-1(z) E1(z)
可见，数字滤波器 Ek(z)位于抽取器以后， 大大降低了对处理器的吞吐率要求。
X ( e jω )
-2π
ΩH fs
π
2π
ω
如果将抽样信号通过一个低通滤波器:
h( t ) = Sa (Ω s t / 2) = Sa (π t / Ts )
H(j Ω)
Ts
-Ωs / 2
Ωs / 2
Ω
则信号可不失真恢复:
x ( t ) = x s ( t ) ⊗ h( t ) = ∑ x ( n) Sa ( ( t − nTs )) Ts n = −∞
xa (t ) ⇔ X a (Ω),
Ω = 2π f
Ω H = 2π f H
1 x ( n ) ⇔ X (Ω) = Ts
n = −∞
∑X
+∞
a
(Ω − nΩ s ),
Ω s = 2π f s
1 -ΩH
1/Ts
Xa(Ω)
ΩH X(Ω)
Ω … …
……
-Ωs -ΩH ΩH Ωs
Ω
ω =Ω/fs
1/Ts