2014届高考数学(文)一轮练之乐：1.1.2函数及其表示

一、选择题
1．(2013·嘉兴模拟)设集合M ＝{x|－2≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )
A. B.
C. D. 解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中函数的定义域是[－2,0)，C 中任一x ∈[－2,2)对应的值不唯一，D 中的值域不是N ，故选B.
答案：B
2．已知f ：x→－sinx 是集合A(A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12
}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( ) A ．4个 B ．5个
C ．6个
D ．7个
解析：由－sinx ＝0，得sinx ＝0.又x ∈[0,2π]，故x ＝0或π或2π；由－sinx ＝12，得sinx ＝－12
. 又x ∈[0,2π]，故x ＝7π6或11π6
.选B. 答案：B
3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ＞0，x ＋1，x≤0.
若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1
C ．1
D ．3
解析：方法一：当a ＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a ＋2＝0，可见不存在实数a 满足条件，当a ＜0时，由f(a )＋f(1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件．
方法二：由指数函数的性质可知：2x ＞0，又因为f(1)＝2，所以a ＜0，所以f(a)＝a ＋1，即a ＋1＋2＝0，解得： a ＝－3.
方法三：验证法，把a ＝－3代入f(x)＝x ＋1得f(a)＝a ＋1＝－2，又因为f(1)＝2，所以f(a)＋f(1)＝0，满足条件．
答案：A
4．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1，则f(x)＝( )
A ．x －1
B ．x ＋1
C ．2x ＋1
D ．3x ＋3
解析：在2f(x)－f(－x)＝3x ＋1①
将①中x 换为－x ，则有2f(－x)－f(x)＝－3x ＋1②
①×2＋②得3f(x)＝3x ＋3，∴f(x)＝x ＋1.
答案：B
5．图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A ．y ＝32
|x －1| (0≤x≤2) B ．y ＝32－32
|x －1| (0≤x≤2) C ．y ＝32
－|x －1| (0≤x≤2) D ．y ＝1－|x －1| (0≤x≤2)
解析：取x ＝1，则y ＝32
，只有B 、C 满足．取x ＝0，则y ＝0，在B 、C 中只有B 满足，所以选B. 答案：B
6．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )
A ．y ＝[x 10]
B ．y ＝[x ＋310
]
C ．y ＝[x ＋410]
D ．y ＝[x ＋510
] 解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用
取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为y ＝[x ＋310
]． 答案：B
二、填空题
7．已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x ＝x2＋1x2，则函数f(3)＝________. 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x2＋1x2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 2＋2， ∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
答案：11
8．(2013·荆州模拟)设f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧ lgx ，x ＞0，10x ，x≤0，则f[f(－2)]＝__________. 解析：因为f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lgx ，x ＞0，10x ，x≤0，又－2＜0， ∴f (－2)＝10－2,10－2＞0，f(10－2)＝lg10－2＝－2.
答案：－2 9．(2012·陕西卷)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x≥0，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，x ＜0，则f[f(－4)]＝__________.
解析：f[f(－4)]＝f(24)＝
24＝4. 答案：4
三、解答题
10．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＞2x ＋5.
解析：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c ＝1.
把f(x)的表达式代入f(x ＋1)－f(x)＝2x ，有
a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax2＋bx ＋1)＝2x.
∴2ax ＋a ＋b ＝2x.
∴a ＝1，b ＝－1.
∴f(x)＝x2－x ＋1.
(2)由x2－x ＋1＞2x ＋5，即x2－3x －4＞0，
解得x ＞4或x ＜－1.
故原不等式解集为{x|x ＞4或x ＜－1}．
11．函数f(x)对一切函数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，
(1)求f(0)的值；
(2)试确定函数f(x)的解析式．
解析：(1)令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2.
又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.
(2)令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，
由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x2＋x －2.
12．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧ cx ＋1， ＜x ＜2－x c2＋1， ＜)满足f(c2)＝98
.
(1)求常数c 的值；
(2)解不等式f(x)＞2
8＋1.
解析：(1)因为0＜c ＜1，所以c2＜c ，
由f(c2)＝98，即c3＋1＝98，c ＝12
. (2)由(1)得f (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，
＜x ＜122－4x ＋1，12≤x＜
由f(x)＞28＋1得，当0＜x ＜12
时， 解得24＜x ＜12
， 当12≤x＜1时，解得12≤x＜58
， 所以f(x)＞28＋1的解集为{x|24＜x ＜58
}．。