山西省忻州市2020年高二第二学期数学期末质量检测试题含解析

山西省忻州市2020年高二第二学期数学期末质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数ln ()x f x x =
，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b << 【答案】D
【解析】
【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010
a c =
=，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．
【详解】 ()ln 2ln 322210a f ==
=, ()1ln 255ln 5510
c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ．
故选D ．
【点睛】
考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.
2．安排5位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（ ）种
A ．20
B ．24
C ．36
D ．48
【答案】C
【解析】
【分析】
利用间接法，在甲同学与乙同学相邻的所有排法种减去甲同学既与乙同学相邻，又与乙同学相邻的排法种数，于此可得出答案．
【详解】
先考虑甲同学与乙同学相邻，将这两位同学捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法总数为424248A A =种，
再考虑甲同学既与乙同学相邻又与丙同学相邻的相邻的情况，即将这三位同学捆绑，且将甲同学置于正中
间，与其余两位同学形成三个元素，此时，排法数为232312A A =.
因此，所求排法数为481236-=，故选C.
【点睛】
本题考查排列组合问题，问题中出现了相邻，考虑用捆绑法来处理，需要注意处理内部元素与外部元素的排法顺序，结合分步计数原理可得出答案．
3．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v 则正三棱锥的体积为()
A B ．34 C D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v 判断出O 为等边三角形ABC 的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积.
【详解】
由于三棱锥是正三棱锥，顶点P 在底面的射影是底面中心.由0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v
可知，O 为等边三角形ABC 的中心，由于正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，故由正弦定理得
π
2sin
3AB BC AC ===⨯=
21
13⨯=.所以本小题选A. 【点睛】
本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题的求解，属于中档题.
4．命题“0x ∃∈R ，20010x x -->”的否定是（ ）
A ．x ∀∈R ，210x x --≤
B ．x ∀∈R ，210x x --＞
C ．0
x ∃∈R ，20010x x --≤ D ．0
x ∃∈R ，20010x x --≥ 【答案】A
【解析】
【分析】 根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案.
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“0x ∃∈R ，20010x x -->”的否定是
“x
∀∈R，210
--≤”.
x x
故选：A.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
5．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）,那么对于图中给定的0t和1t，下列判断中一定正确的是（）
A．在1t时刻，两车的位置相同
B．1t时刻后，甲车在乙车后面
C．在0t时刻，两车的位置相同
D．在0t时刻，甲车在乙车前面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象可知在0t前，甲车的速度高于乙车的速度；根据路程与速度和时间的关系可得到甲车的路程多于乙车的路程，从而可知甲车在乙车前面.
【详解】
由图象可知，在0t时刻前，甲车的速度高于乙车的速度
=可知，甲车走的路程多于乙车走的路程
由路程S Vt
t时刻，甲车在乙车前面
∴在
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查函数图象的应用，关键是能够准确选取临界状态，属于基础题.
6．六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（）
A．180种B．240种C．360种D．720种
【答案】C
先作分类，甲在左边第一位，有55A ；甲在左边第二位，有1444A A ；甲在左边第三位，有1434A A ； 甲在左边第四位，有1424A A ；甲在左边第五位，有44A ；然后直接相加求解即可
【详解】
甲在左边第一位，有55A ；
甲在左边第二位，有1444A A ；
甲在左边第三位，有1434A A ；
甲在左边第四位，有1424A A
甲在左边第五位，有4
4A ；
不同的站法有514544A A A +1434A A +1424A A +44A +360=种，选C. 【点睛】
本题考查排列问题，属于基础题
7．若a ，b 为实数，则“a 1<-”是“
11a >-”的( ) A ．充要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.
【详解】 解不等式11a
>-得a 1<-或a 0>； 所以由“a 1<-”能推出“a 1<-或a 0>”，反之不成立，所以“a 1<-”是“
11a >-”的充分不必要条件.
故选B
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.
8．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( )
A ．1122i +
B ．1122i -
C ．1122-+i
D ．1122
i --
由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222z z -=
==-∴=+++-，故选A. 9．已知()()211f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( )
A ．54
B ．34
C ．3
D ．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值三角不等式可知()21f x a x x ≤-+；根据1a ≤可得()2
1f x x x ≤-+，根据x 的范围可得()21524f x x ⎛⎫≤--+ ⎪⎝
⎭，根据二次函数的性质可求得结果. 【详解】
由题意得：()()
222111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+ 11x -≤≤Q 2
2221511124x x x x x x x ⎛⎫∴-+=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∴当12x =，即12x =±时，()
2max 514
x x -+= 即：()54f x ≤，即()f x 的最大值为：54 本题正确选项：A
【点睛】 本题考查函数最值的求解，难点在于对于绝对值的处理，关键是能够将函数放缩为关于x 的二次函数的形式，从而根据二次函数性质求解得到最值.
10．设a Z ∈，且0100a ≤<，若9291a +能被100整除，则a 等于（ ）
A ．19
B ．91
C ．18
D ．81
【答案】A
【解析】
【分析】
将9291a +化为92(901)a ++，根据二巷展开式展开后再根据余数的情况进行分析后可得所求．
【详解】
由题意得9291a +92
(901)a =++
0921912290919192929292929292190190190190C C C C C a =⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯+L
1229191929292929292190909090C C C C a =+⨯+⨯++⨯+⨯+L
2291919292929292(909090)8281C C C a =⨯++⨯+⨯++L ，
其中2291919292929292909090C C C ⨯++⨯+⨯L 能被100整除， 所以要使9291a +能被100整除，
只需要8281a +能被100整除．
结合题意可得，当19=a 时，82818281198300a +=+=能被100整除．
故选A ．
【点睛】
整除问题是二项式定理中的应用问题，解答整除问题时要关注展开式的最后几项，本题考查二项展开式的应用，属于中档题．
11．如图过抛物线24y x =焦点的直线依次交抛物线与圆()2
211x y -+=于A 、B 、C 、D ，则AB CD ⋅=
A ．4
B ．2
C ．1
D ．12
【答案】C 【解析】
【分析】 根据抛物线的几何意义转化1=A AB AF x =-，1D CD DF x =-=，再通过直线过焦点可知
2
4
A D p x x ⋅=，即可得到答案. 【详解】 抛物线焦点为()1,0F ，1=A A
B AF x =-,1D CD DF x =-=,，于是
2
14
A D p A
B CD x x ⋅=⋅==，故选C. 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.
12．设i 是虚数单位，则复数22i i -
的虚部是（ ） A ．2i
B ．2
C ．2i -
D ．2-
【答案】B
【解析】
【分析】 利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.
【详解】
2222112i i i i i
-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选B. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数()y f x =在点(1,)P m 处切线方程为60x y +-=，则(1)(1)'+f f =______.
【答案】4
【解析】
分析：因为()y f x =在点()1,P m 处的切线方程60x y +-=，所以'11,f =-（） ，615m =-=，由此能
求出()()11f f +'．
详解：因为()y f x =在点()1,P m 处切线方程为60x y +-=，，
所以'11,f =-（）()6151m f =-==，
从而1'1514f f -+=-=（
）（）． 即答案为4.
点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
14．若复数
521i a i z +-=43z =，（i 为虚数单位）则实数a =__________．
【答案】【解析】
【分析】
43
=，解方程即得解. 【详解】
由题得
522
22
2(1)4 ||
3
2(9)
a
z
a
+
==
+
,
所以3
a=±.
故答案为3
±
【点睛】
本题主要考查复数模的性质和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．
【答案】
2π1
2π
+
【解析】
【分析】
利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比.
【详解】
设正方形的边长为a，圆柱的底面半径为r，则2r a
π=，
2
a
r
π
=，
所以圆柱的全面积为
2
2
2
2
4
a
S a
π
π
=⨯+
全
，故侧面积与全面积之比为
2
2
2
2
2
12
2
4
a
a
a
π
π
π
π
=
+
⨯+
，填
2
12
π
π
+
. 【点睛】
圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.
16．设变量满足约束条件，则的最大值是__________.
【答案】
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，如图所示．
表示可行域内的点与点连线的斜率．
结合图形得，可行域内的点A 与点
连线的斜率最大． 由，解得．所以点A 的坐标为
． ∴． 答案：
点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,,,,A B B C C D D E +++
共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共1500人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布(60,144)N ．
（Ⅰ）求化学原始分在区间(48,84)的人数；
（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，求这4人中至少有2人成绩在[61,80]的概率； （III ）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得A 等的概率都是45
，地理成绩获得A 等的概率是34
，且三个科目考试的成绩相互独立.记X 表示小明选考的三个科目中成绩获得A 等的科目数，求X 的分布列.
（附：若随机变量2~(,)N u ξσ()2ξN μ,σ~，则()0.682P u u σξσ-<<+=，
(22)0.954P u u σξσ-<<+=，.()P μ3σξμ3σ0.997-<<+=）
【答案】（Ⅰ）1227人（Ⅱ）
328625
（III ）见解析 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正态分布的区间及对称性质，利用3σ原则及数据即可得化学原始分在区间(48,84)的概率，进而求得改区间内的人数；
（Ⅱ）先求得再区间[61,80]内学生所占比例，即可得随机抽取1人成绩在该区间的概率，由独立重复试验的概率公式，即可求得4人中至少有2人成绩在改区间的概率；
（III ）根据题意可知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. 根据所给各科目获得A 等的概率，由独立事件的乘法公式可得各可能取值对应的概率，即可得分布列.
【详解】
（Ⅰ）因为化学考试原始分基本服从正态分布(60,144)N ，即2(60,12)N ，
所以(4884)(4872)(7284)P P P ξξξ<<=<<+<< 10.682(0.9540.682)0.8182
=+-=，所以化学原始分在区间(48,84)的人数为15000.8181227⨯=人. （Ⅱ）由题意得，位于区间[61,80]内所占比例为16%24%40%+=，
所以随机抽取1人，其成绩在[61,80]内的概率为25
， 所以随机抽取4人，相当于进行4次独立重复试验. 设这4人中至少有2人成绩在[61,80]为事件A ，则
1344233328()1()()()555625
P A C =--=. （III ）随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. 则2111(0)()54100
P X ==⨯=， 1224111311(1)()55454100P X C ==⨯⨯⨯+⨯=，1224134140(2)()55454100
P X C ==⨯⨯⨯+⨯=， 24348(3)()54100
P X ==⨯=. 所以X 的分布列为
【点睛】。