广东省实验中学高三数学9月月考试题(文)

2009届省实高三第一次月考数学试题（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔填涂在答题卡上;答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，只须将答题卡、答题卷交回.
第一部分 选择题（共50分）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A
B 为 ( )
A ． {0,1}-
B ．{1,1}-
C ．{1}-
D ．{0}
2．命题“0x R ∃∈，3
2
10x x -+>”的否定是 ( )
A ．x R ∀∈，3
2
10x x -+≤ B ．0x R ∃∈，3
2
10x x -+< C ．0x R ∃∈，3
2
10x x -+≤ D ．不存在x R ∈，3
2
10x x -+> 3．函数f(x)是以π为周期的奇函数，且f(4
π
-)=-1，那么f(
4
9π
)等于 ( ) A ．
4
π B. 4π
- C. 1 D. -1
4．函数sin cos y x x =-的一个单调减区间是（ ） A. 3[,]44
ππ
-
B. 37[
,]44ππ C. 7[0,]4π D. 711[,]44
ππ 5．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（ ）
A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
B ． 1
342n -⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
C ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
D ．1
243n -⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
6．函数π2sin 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像
（ ）
A ．关于原点成中心对称
B ．关于y 轴成轴对称
C ．关于)0,12
(
π
成中心对称 D ．关于直线π
12
x =
成轴对称 7、函数1)(3
++=x ax x f 有极值的充要条件是 （ ）
A ．0≥a
B ．0>a
C ．0≤a
D ．0<a
8．若函数(2)(2)
()2
(2)x
f x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则(3)f -的值为（ ） （A ）
18 （B ）1
2
（C ）2 （D ）8 9．函数y f (x)=的部分图像如图所示，则y f (x)=的解析式为 （ ） A ．f (x)x sin x =+
B ．f (x)xsin x =
C ．f (x)x cos x =
D ．f (x)x cos x =+
10．如果关于x 的方程 ||2
1
[()2]202
x a ---=有实数根，则a 的取值范围是（ ） （A ）[)+∞-,2
（B ）(]2,1-
（C ）(]1,2-
（D ）[)2,1-
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．化简cos27cos33cos63cos57-= .
12．.______100}a {,n
(3211)
a }a {n n n 项的和是的前则数列满足：已知数列
++++=
13．已知曲线2
1y x =-在0x x =点处的切线与曲线3
1y x =-在0x x =点处的切线互相平行，则0x 的值为 ．
14．已知a y a y a a x 3|2|,10=-=≠>与函数且的图象有两个交点，则a 的取值范围
是 。

三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分12分）
已知函数x x x f 2sin )12
(cos 2)(2
++
=π
．
（1）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值；
o
x
y
（2）求)(x f 的单调增区间．
16. （本小题满分12分）
已知函数1
3
()log ,(0,1]f x x x =∈，⎩⎨⎧=<->+0)2
1(02)(x x x x x x x g
（1）证明g(x)是奇函数。

（2）若f(x)的值域为A ，h(x)=g(x)+a ,[1,)x g x x a x =++∈+∞时值域为B.当A B A =时，求a 的取
值范围。

17. （本小题满分14分）
已知在数列{}n a 中，已知01=a ，且*+∈+=N n a a n n ,631.
(1)求32,a a
(2)求数列{}n a 的通项公式； (2)设*∈+=N n a n c n n ),3(,求和：)(.......21*∈+++=N n c c c S n
n .
18、（本小题满分14分）
已知函数x x ax x f ln 22
1)(2
-+= （1）当0=a 时，求)(x f 的极值.
（2）当0≠a 时，若)(x f 是减函数，求a 的取值范围；
19．（本小题满分14分）
设函数2
2
34)(a ax x x f -+-=
（1）当a=1，[]3,3-∈x 时，求函数f(x)的取值范围。

（2）若
1
231,0 1.3
x ax a x a =-+-+<<,[]1,1x a a ∈-+时，恒有a x f a ≤≤-)(成立，试确定a 的取值范围．
20、（本小题满分14分）
),2(0
42,
2}a {2112
1n N n n n na a a a a n n n n ∈≥=---=--中，已知正项数列
（1）写出2a 、3a 的值（只须写结果）。

（2）求出数列}{n a 的通项公式。

（3）设123
2111
1
n n n n n
b a a a a +++=
++++
，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式21
26
n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围．
2009届省实高三第一次月考 数 学 试 题（文科）参考答案
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（共5小题，11—13题是必做题，14—15题是选做题.每小题5分，满分20分）
11.
12 12. 101
200
13. 00x =或023x =-
14. 2
(0,)3
三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分12分）
已知函数x x x f 2sin )12
(cos 2)(2
++
=π
．
（1）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值； （2）求)(x f 的单调增区间． 15．（本小题满分12分） 解： x x x f 2sin )6
2cos(1)(++
+=π
………………………………………… 2分 x x x 2sin 6
sin
2sin 6
cos
2cos 1+-+=π
π
x x 2sin 2
1
2cos 231++
=………………………………………… 4分 1)3
2sin(++
=π
x ……………………………………………………. 6分 （1）0)3
2sin(1
1)3
2sin()(=+
∴=++
=π
απ
ααf ；
6
53),0(),(62,3
2π
παπαππαππ
α或又=∴∈∈-=
=+
z k k k …………… 8分 （2）)(x f 单调增，故]2
2,2
2[3
2π
ππ
ππ
+
-
∈+
k k x ，…………………………… 10分
即)](12
,125[Z k k k x ∈+-
∈π
πππ，
从而)(x f 的单调增区间为)](12
,125[Z k k k ∈+-π
πππ．…………………… 12分 16. （本小题满分12分）
已知函数13
()log ,(0,1]f x x x =∈，
⎩⎨⎧=<->+0)2
1
(02)(x x x x x x x g
（1）证明g(x)是奇函数。

（2）若f(x)的值域为A ，h(x)=g(x)+a ,[1,)x g x x a x =++∈+∞时值域为B.当A B A =时，求a 的取
值范围。

16、(1)证明：)x (f 2x )2
1(--x f (-x)0,x ,0x x
-=--==<->-则时x ……………2分
又)x (f )2
1
(x 2
-x f (-x)0,x ,0x x
-=+-=+=>-<-则时x …………………….….4分
由上可知，g(x)是奇函数。

……………………………………………………………….…5分 （2）解：由函数()f x 的性质易知：A=[0，+)∞………………………………………7分 又h(x)=a x x
++2在[1,)+∞上为增函数 ∴a h x h +==3)1()(min ∴[3,)B a =++∞.………………………………………………………………9分 由A
B A =，知B A ⊆……………………………………………………….10分
令30a +≥，∴3a ≥-
因此，a 的取值范围是[3,)-+∞………………………………………………12分
17. （本小题满分14分）
已知在数列{}n a 中，已知01=a ，且*+∈+=N n a a n n ,631.
(1)求32,a a
(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)设*∈+=N n a n c n n ),
3(,求和：)(.......21*∈+++=N n c c c S n
n .
17．解：（1）24,632==a a ………………………………………2分 （2）*+∈+=+N n a a n n ),
3(331………………………………………4分
为公比的等比数列
为首项，是一以数列333a }3a {1n =++∴…………5分 *∈-=∴=+∴N n a n 3
3a ,33n n n ………………………………………………7分 （3）*∈⋅=+=N n a n c n n ,
3n )3(n …………………………………………………8分
n
1n 213n 3)1n (......323⨯+⨯-++⨯+=-n S 1n n 323n 3)1n (......3233+⨯+⨯-++⨯+=n S …………………10分
1n 1n 1n n 323n 2
3
3213n 3......3332-+++⨯--⨯=⨯-++++=n S …………13分 4
3
341-2n 1n +⋅=
+n S …………14分 18、（满分14分）已知函数x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
（1）当0=a 时，求)(x f 的极值.
（2）当0≠a 时，若)(x f 是减函数，求a 的取值范围；
18、解：（1）∵x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
当a=0时，x x x f ln 2)(-=，则x
x f 1
2)('-= ……………………2分 ∴)(),(',x f x f x 的变化情况如下表
…………………………………………………………5分
∴当2
1
=
x 时，)(x f 的极小值为1+ln2，函数无极大值. ……………………7分 （2）由已知，得，则且0,ln 22
1)(2
>-+=x x x ax x f
x
x ax x ax x f 1
212)('2-+=-+= ………………9分
∵函数)(x f 是减函数
∴0)('≤x f 对x>0恒成立，即不等式 0122
≤-+x ax 对0>x 恒成立……11分
得 ⎩
⎨
⎧≤+=∆<0440
a a …………………………13分
解得 a a ，即1
-≤的取值范围是 ]1,(--∞ ………………14分 19．（本小题满分14分）设函数2234)(a ax x x f -+-= （1）当a=1，[]3,3-∈x 时，求函数f(x)的取值范围。

（2）若
1
231,0 1.3
x ax a x a =-+-+<<,[]1,1x a a ∈-+时，恒有a x f a ≤≤-)(成立，试确定a 的取值范围． 解：(1)a=1时，f(x)=()122
+--x …………………………………………1分 []3,3-∈x 时, 24)3()(,1)2()(min max -=-===f x f f x f …………… 3分
得此时函数f(x)的取值范围为[-24，1] ……………………………………4分
（2）∵
f(x)()()2
222432f x x ax a x a a '=-+-=--+， 当1
03
a <<
时，12a a ->， ∴f(x)在区间[]1,1a a -+内是单调递减．…………………………………………6分
12)1()(,168)1()(min 2max -=+=-+-=-=a a f x f a a a f x f .
∵a x f a ≤≤-)(，∴2861,
21.a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩
此时，a ∈∅．…………………………………………………………………………9分
当1
13
a ≤<时，2max )2()(a a f x f ==． ∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩
即01,
1,3717
.16a a a ⎧
⎪≤≤⎪⎪≥⎨-≤≤
13a ≤……12分
此时，13
a ≤ ………………………………………………………… 13分
综上可知，实数a
的取值范围为13
⎡⎢⎣⎦．…………………………………14分
20、（本小题满分14分）
),2(0
42,
2}a {21121n N n n n na a a a a n n n n ∈≥=---=--中，已知正项数列
（1）写出2a 、3a 的值（只写结果）。

（2）求出数列}{n a 的通项公式。

（3）设123
21111
n n n n n
b a a a a +++=
++++
，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式21
26
n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围．
20解：（1）26a =，312a =；……………………………………………………2分 （2）由已知可得：0)2()2)(2(1=+-+--n a a n a n a n n n n
)2n (02n a a ,0a ,0)2)(2(1n n n 1>=--∴>=--+∴--又，n a a n a n n n …4分
)
a )a -(a ......)a a ()a a (a 1122n 1n 1n n n +++-+-=∴---
1)n(n 2n ......642+=++++= …………………………………………………6分
（Ⅲ）123
21111n n n n n
b a a a a +++=
++++
11
1
(1)(2)(2)(3)
2(21)
n n n n n n =
++
+
+++++
2111
112123123
n n n n n n n =
-==
++++⎛⎫++ ⎪⎝
⎭．……………………………8分 令1()2f x x x =+（1x ≥），则21
()2210f x x
'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函
数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，max 1
()6
n b =．………………11分
21
26n t mt b -+>（n *∀∈N ，[1,1]m ∀∈-）
2max 11
2()66
n t mt b ⇔-+>=，即220t mt ->（[1,1]m ∀∈-）
2
2
20
20
t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩． 解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．………………………………14分
另解：
)11
321(1212112111321211+++-+++=+++-+-+=
-+n n n n n n n n b b n n
61
b )b (}b {03
5243252331
max n n 22==∴∴<+++-+++=
是单调递减数列，数列n n n n n n。