河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学(理)试题

南阳市2019届高三上学期期末质量评估
数学试题（理）
第Ⅰ卷 选择题(共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi += A ．22 B ．2 C ．2 D ．4 2．设集合{}a P 2log 3，=,{}b a Q ，=，若{}0=Q P ，则=Q P A.{}03， B.{}203，， C.{}103，， D.{}2103，，，
3.把四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有 A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
4.已知双曲线C ：()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为02=+y x ，则C 的离心率为
A 、5
B 、
525或 C 、2 D 、52
5
或 5.数列{}n a 首项11=a ，对于任意*
∈N n m ,，有m a a n m n 3+=+，则{}n a 前5项和=5S A 、121 B 、25 C 、31 D 、35
6.下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的b a ,分别为16、18，输
出的
结果为a ，则二项式6
1a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项是
A. -20
B. 52
C. -192
D. -160
7．已知y x ，满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-+≤+-4030
1y y x y x ，若存在y x ，使得a y x ≤+2成立，
则a
的取值范围是 A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．[4，+∞）
D ．[10，+∞）
8.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[1,0]
x ∈-时，
2()f x x =．若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为
A ．[3,5]
B ．[4,6]
C ．(3,5)
D ．(4,6)
9、函数)0)(6cos()(>+=ωπ
ωx x f 在[0，π]内的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-231，，则ω的取值范围是
A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3523，
B 、 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡3565， C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，65
D 、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2365，
10．在区间[0，4]上随机取两个数x ，y ，则xy ∈[0，4]的概率是 A ．
44ln 2- B ． 44ln 23- C ． 44ln 1+ D ．4
4
ln 21+ 11．已知三棱锥S ﹣ABC 的底面△ABC 为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M ，N 分别是棱SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱32=SA ，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积是 A ．12π B ．32π C ．36π D ．48π
12.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R .若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，则
a 的取值范围是
A ．[e,)+∞
B ．2e [,)2+∞
C ．22e [,e )2
D ．2
[e ,)+∞
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设函数()211log (2)2
3222
x x x f x x ---<⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩，则((3))f f =
14.已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为_________． 15.等比数列
的前项和记为，若
，则
__________．
16.抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦
AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
MN AB
的最大值为__________．
三、解答题（本大题必作题5小题，共60分.选作题2小题，考生任作一题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分为12分） 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，且B A A C sin 2sin 3cos sin 2=+,AD 为角A 的内角平分线，
6=AD ．
（1）求三角形内角C 的大小； （2）求△ABC 的面积．
18、（本小题满分为12分）
某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：
t
[0，15） [15，30） [30，45） [45，60） [60，75） [75，90）
男同学人数 7 11 15 12 2 1 女同学人数
8
9
17
13
3
2
若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．
(1)将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？ (2)从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动． （i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；
（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19.（本小题满分为12分）
如图1，在矩形ABCD 中，35AB =，25BC =，点E 在线段DC 上，且5DE =，现将AED ∆沿AE 折到D AE '∆的位置，连结D C '，D B '，如图2.
（1）若点P 在线段BC 上，且2
5
=
BP ，证明：P D AE '⊥； （2）记平面E D A '与平面D BC '的交线为l .若二面角D AE B '--为3
2π
，求l 与平面CE D '所成角的正弦值.
20．（本小题满分为12分）
一张坐标纸上涂着圆()81:22
=++y x E 及点()01，P ，折叠此纸片，使P 与圆周上某点P '重合，每次折叠都
会留下折痕，设折痕与P E '的交点为M . （1）求M 的轨迹C 的方程；
（2）直线m kx y l +=:与C 的两个不同交点为B A ,,且l 与以EP 为直径的圆相切，若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈⋅4332，OB OA ，
求ABO ∆的面积的取值范围． 21．（本小题满分为12分） 已知函数)1(ln )(--=x a x x f (1)求函数)(x f 的极值；
(2)当0≠a 时，过原点分别做曲线)(x f y =与x e y =的切线1l ，2l ，
若两切线的斜率互为倒数，求证：21<<a .
选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,
2,
x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2
2
21sin ρθ
=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
(2)已知点P 的极坐标为2,24π⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
,求PA PB ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()34f x x x =-++. （1）求()(4)f x f ≥的解集；
（2）设函数()(3)()g x k x k R =-∈，若()()f x g x >对x R ∀∈成立，求实数k 的取值范围.
11。