吉林省四平市2019-2020学年八年级上学期期末考试数学试卷

2019-2020学年吉林四平八年级上数学期末试卷
一、选择题
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是()
A.x3+x2=x5
B.x4÷x=x4
C.x3⋅x2=x5
D.(x3)2=x5
3. 利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是()
A. B.
C. D.
4. 如果将分式2x
中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值x+y
()
A.扩大为原来的10倍
B.扩大为原来的20倍
C.缩小为原来的1
D.不改变
10
5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≅△DCB的是()
A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.AC=BD
D.∠ACB=∠DBC
6. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()
A.a2−b2=(a−b)2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a−b)2=a2−2ab+b2
D.a2−b2=(a+b)(a−b)
二、填空题
若关于x的分式方程2x−m
x−2=1
2
的解为非负数，则m的取值范围是________．
三、解答题
计算：3a⋅(a2+2a)−2a2(a−3). 计算：(x+y−3)(x−y+3).
因式分解：a3−4a2+4a
已知关于x的方程x
x−3=2−m
x−3
，m取何值时，方程有增根.
先化简：(3
x−1−x−1)⋅x−1
x2−4x+4
，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
已知△ABC，A(−4,1)，B(−1,−1)，C(−3,2).
(1)请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)请在同一平面直角坐标系中画出△A1B1C1关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，C2的坐标；
(3)直接写出△ABC边上一点M(x,y)，经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标.
如图，E是AC上一点，AB=CE，AB // CD，AC=CD．求证：BC=ED．
题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．
甲同学所列的方程为60
x −60
1.5x
=2，
乙同学所列的方程为60
y =1.5×60
y+2
.
(1)甲同学所列方程中的x表示________；
乙同学所列方程中的y表示________.
(2)任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目．
在等边△ABC的外侧作直线AP，∠CAP=α，点C关于AP的对称点为D，连接CD，BD，AD.
(1)如图1，若α=70∘，请求出∠BDC的度数；
(2)如图2，若0<α<60∘，
①依题意补全图形；
②请直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）.
先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2
再将A还原，得到原式=(x+y+1)2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1+2(x−y)+(x−y)2=________；
(2)因式分解：(a+b)(a+b−4)+4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
(1)求A，B两种粽子的单价各是多少？
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A，B两种粽子共2600个，已知A，B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
Rt△ABC中，∠ACB=90∘，直线l过点C．
(1)当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD 与△CBE是否全等，并说明理由；
(2)当AC=9cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M，N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm 的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F．点M，N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒.
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，请写出此时t的值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年吉林四平八年级上数学期末试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【解析】
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可。

【解答】
解：若某图形沿直线折叠后，左右两边可以完全重合，则该图形是轴对称图形.
故选项B，C，D都是轴对称图形，只有选项A不是；
故选A．
2.
【答案】
C
【解析】
根据同底数幂的乘法，可判断A、C，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断D．
【解答】
解：A，x3+x2≠x5，故错误；
B，x4÷x=x3，故错误；
C，x3⋅x2=x5，故正确；
D，(x3)2=x6，故错误.
故选C．
3.
【答案】
B
解：过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
故选B.
【解答】
解：过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
故选B.
4.
【答案】
D
【解析】
把分式中的x换成10x，y换成10y，然后根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】
解：x，y都扩大10倍，
2×10x 10x+10y =10×2x
10(x+y)
=2x
x+y
，
所以分式的值不改变．
故选D．
5.
【答案】
C
【解析】
根据题目所给条件∠ABC=∠DCB，再加上公共边BC=BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
【解答】
解：A，添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≅△DCB，故此选项不合题意；
B，添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≅△DCB，故此选项不合题意；
C，添加AC=BD不能判定△ABC≅△DCB，故此选项符合题意；
D，添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≅△DCB，故此选项不合题意；
故选C.
6.
D
【解析】
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【解答】
解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a −b ， 即平行四边形的高为a −b ，
∵ 两个图中的阴影部分的面积相等，
即甲的面积=a 2−b 2，乙的面积=(a +b)(a −b)．
即：a 2−b 2=(a +b)(a −b)．
所以验证成立的公式为：a 2−b 2=(a +b)(a −b)．
故选D .
二、填空题
【答案】
m ≥1且m ≠4
【解析】
在方程的两边同时乘以2(x −2)，解方程，用含a 的式子表示出x 的值，再根据x ≥0，且x ≠2，解不等式组即可．
【解答】
解：两边同时乘以2(x −2)，
得：4x −2m =x −2.
解得x =2m−23.
由题意可知，x ≥0，且x ≠2，
∵ {2m−23≥0,2m−23≠2,
解得：m ≥1，且m ≠4.
故答案为：m ≥1且m ≠4.
三、解答题
【答案】
解：原式=3a3+6a2−2a3+6a2
=a3+12a2.
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=3a3+6a2−2a3+6a2
=a3+12a2.
【答案】
解：(x+y−3)(x−y+3)
=[x+(y−3)][x−(y−3)]
=x2−(y−3)2
=x2−(y2−6y+9)
=x2−y2+6y−9.
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(x+y−3)(x−y+3)
=[x+(y−3)][x−(y−3)]
=x2−(y−3)2
=x2−(y2−6y+9)
=x2−y2+6y−9.
【答案】
解：原式=a(a2−4a+4)=a(a−2)2.
【解析】
（1）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；【解答】
解：原式=a(a2−4a+4)=a(a−2)2.
【答案】
解：由题意得：
x x−3=2−m
x−3
，
x=2(x−3)−m，
x=6+m.
因为方程有增根，
所以x−3=0，
解得x=3.
m=x−6=3−6=−3.【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：
x x−3=2−m
x−3
，
x=2(x−3)−m，
x=6+m.
因为方程有增根，
所以x−3=0，
解得x=3.
m=x−6=3−6=−3.【答案】
解：原式=[3
x−1−x(x−1)
x−1
−x−1
x−1
]•x−1
(x−2)2
=
(2−x)(2+x)
x−1
⋅
x−1
(x−2)2
=2+x
2−x
，
当x=1或2时分式无意义，故只能取x=3，
则原式=2+3
2−3=5
−1
=−5．
【解析】
直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】
解：原式=[3
x−1−x(x−1)
x−1
−x−1
x−1
]•x−1
(x−2)2
=(2−x)(2+x)
x−1
⋅
x−1
(x−2)2
=2+x
2−x
，
当x=1或2时分式无意义，故只能取x=3，
则原式=2+3
2−3=5
−1
=−5．
【答案】
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2，C2的坐标分别为(6，−1)和(5，−2).
(3)已知M(x,y)，
第一次变化后，点M1坐标为(x，−y)，
第二次变化后，点M2坐标为(2−x，−y).
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示，△A 2B 2C 2 即为所求，点A 2，C 2的坐标分别为(6，−1)和(5，−2).
(3)已知M(x,y)，
第一次变化后，点M 1坐标为(x ，−y)，
第二次变化后，点M 2坐标为(2−x ，−y).
【答案】
证明：∵ AB // CD ，
∵ ∠A =∠ECD ，
在△ABC 和△ECD 中，
{AC =CD ，∠A =∠ECD ，AB =CE ，
∵ △ABC ≅△ECD(SAS)，
∵ BC =ED ．
【解析】
根据两直线平行，内错角相等可得∠A =∠ECD ，然后利用“角角边”证明△ABC 和△ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】
证明：∵ AB // CD ，
∵ ∠A =∠ECD ，
在△ABC 和△ECD 中，
{AC =CD ，∠A =∠ECD ，AB =CE ，
∵ △ABC ≅△ECD(SAS)，
∵ BC =ED ．
【答案】
原计划平均每月的绿化面积,实际完成这项工程需要的月数
(2)按甲同学的作法解答.
60x −601.5x
=2 方程两边同乘以1.5x ，得90−60=3x ，
解得x =10.
经检验，x =10是原分式方程的解.
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)甲同学找所列方程中的x 表示原计划平均每月的绿化面积；
乙同学所列方程中的y 表示实际完成这项工程需要的月数.
故答案为：原计划平均每月的绿化面积；实际完成这项工程需要的月数.
(2)按甲同学的作法解答.
60x −601.5x
=2 方程两边同乘以1.5x ，得90−60=3x ，
解得x =10.
经检验，x =10是原分式方程的解.
【答案】
解：(1)∵ 点C 关于AP 对称点为D ,
∴AD =AC, ∠CAP =∠DAP =70∘，
∴∠ACD =∠ADC =20∘，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴AB =AC ，∠BAC =60∘，
∴AB =AC =AD ，
∴∠ABD =∠ADB .
∵∠BAD=360∘−70∘−70∘−60∘=160∘，∴∠ADB=10∘，
∵ ∠BDC=∠ADB+∠ADC=30∘，
即∠BDC的度数为30∘.
(2)①根据题意补全图形如下：
②∵ 点C关于AP对称点为D,
∴AD=AC, ∠CAP=∠DAP=α.
∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∴AB=AC=AD，∠BAD=60∘+2α，
∴∠ABD=∠ADB=1
(180∘−60∘−2α)=60∘−α.
2
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 点C关于AP对称点为D,
∴AD=AC, ∠CAP=∠DAP=70∘，
∴∠ACD=∠ADC=20∘，
∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∴AB=AC=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠BAD=360∘−70∘−70∘−60∘=160∘，∴∠ADB=10∘，
∵ ∠BDC=∠ADB+∠ADC=30∘，
即∠BDC的度数为30∘.
(2)①根据题意补全图形如下：
②∵ 点C关于AP对称点为D,
∴AD=AC, ∠CAP=∠DAP=α.
∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∴AB=AC=AD，∠BAD=60∘+2α，
(180∘−60∘−2α)=60∘−α.
∴∠ABD=∠ADB=1
2
【答案】
(x−y+1)2
(2)解：令A=a+b，则原式变为
A(A−4)+4=A2−4A+4=(A−2)2，
故(a+b)(a+b−4)+4=(a+b−2)2.
(3)证明：(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1，
令n2+3n=A，
原式=A2+2A+1
=(A+1)2
=(n2+3n+1)2.
∵ n为正整数，
∵ n2+3n+1也为正整数，
∵ 代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
【解析】
（1）把(x−y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【解答】
(1)解：令x−y=A，
1+2(x−y)+(x−y)2
=1+2A+A2
=(1+A)2
=(x−y+1)2.
故答案为：(x−y+1)2.
(2)解：令A=a+b，则原式变为
A(A−4)+4=A2−4A+4=(A−2)2，
故(a+b)(a+b−4)+4=(a+b−2)2.
(3)证明：(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1，
令n2+3n=A，
原式=A2+2A+1
=(A+1)2
=(n2+3n+1)2.
∵ n为正整数，
∵ n2+3n+1也为正整数，
∵ 代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．【答案】
解：(1)设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：1500
x +1500
1.2x
=1100，
解得：x=2.5，
经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意，
∵ 1.2x=3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600−m)个，
依题意，得：3m+2.5(2600−m)≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
【解析】
（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600−m)个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】
解：(1)设B 种粽子单价为x 元/个，则A 种粽子单价为1.2x 元/个，
根据题意，得：1500x +15001.2x =1100，
解得：x =2.5，
经检验，x =2.5是原方程的解，且符合题意，
∵ 1.2x =3．
答：A 种粽子单价为3元/个，B 种粽子单价为2.5元/个．
(2)设购进A 种粽子m 个，则购进B 种粽子(2600−m)个，
依题意，得：3m +2.5(2600−m)≤7000，
解得：m ≤1000．
答：A 种粽子最多能购进1000个．
【答案】
解：(1)△ACD ≅△CBE ，
理由如下：
∵ ∠ACB =90∘，
∵ ∠ACD +∠BCE =90∘，
∵ AD ⊥直线l ，
∵ ∠ACD +∠DAC =90∘，
∵ ∠DAC =∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
{∠ADC =∠CEB ，
∠DAC =∠ECB ，CA =BC ，
∵ △ACD ≅△CBE(AAS).
(2)①由题意得，
AM =t ，FN =3t ，
则CM =9−t ，
由对称的性质可知，CF =CB =6.
点N 在BC 上，△CMN 为等腰直角三角形时，
当点N 沿CB 方向运动时，由题意得，9−t =3t −6，
解得t =154，
当点N 沿BC 方向运动时，由题意得，9−t =18−3t ，
解得t =92，
综上，当t =92或t =154时，△CMN 为等腰直角三角形；
②CF =BC =6cm ，
由(1)得，
当点N 与点F 重合时，
∠DMC =∠ECB ，∠MDC =∠CEB ，
又点B 与点F 关于直线l 对称，
∵ △CBE ≅△CNE ，
∵ ∠DMC =∠ECN ，∠MDC =∠CEN ，
∵ 当CM =CN 时，△MDC ≅△CEN ，
当点N 沿F →C 路径运动时，9−t =6−3t ，
解得，t =−32，不合题意，
当点N 沿C →B 路径运动时，9−t =3t −6，
解得，t =154，
当点N 沿B →C 路径运动时，9−t =18−3t ，
解得，t =92，
当点N 沿C →F 路径运动时，9−t =3t −18，
解得，t =274，
综上所述，当t =
154秒或t =92秒或t =274秒时，△MDC ≅△CEN ．
【解析】 （1）根据同角的余角相等得到∠DAC =∠ECB ，根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）分点N 沿F →C 路径运动、点N 沿C →B 路径运动、点N 沿B →C 路径运动、点N 沿C →F 路径运动四种情况计算即可．
【解答】
解：(1)△ACD ≅△CBE ，
理由如下：
∵ ∠ACB =90∘，
∵ ∠ACD +∠BCE =90∘，
∵ AD ⊥直线l ，
∵ ∠ACD +∠DAC =90∘，
∵ ∠DAC =∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
{∠ADC =∠CEB ，
∠DAC =∠ECB ，CA =BC ，
∵ △ACD ≅△CBE(AAS).
(2)①由题意得，
AM =t ，FN =3t ，
则CM =9−t ，
由对称的性质可知，CF =CB =6.
点N 在BC 上，△CMN 为等腰直角三角形时，
当点N 沿CB 方向运动时，由题意得，9−t =3t −6，
解得t =154，
当点N 沿BC 方向运动时，由题意得，9−t =18−3t ，
解得t =92， 综上，当t =92或t =154时，△CMN 为等腰直角三角形；
②CF =BC =6cm ，
由(1)得，
当点N 与点F 重合时，
∠DMC =∠ECB ，∠MDC =∠CEB ，
又点B 与点F 关于直线l 对称，
∵ △CBE ≅△CNE ，
∵ ∠DMC =∠ECN ，∠MDC =∠CEN ，
∵ 当CM =CN 时，△MDC ≅△CEN ，
当点N 沿F →C 路径运动时，9−t =6−3t ，
解得，t =−32，不合题意， 当点N 沿C →B 路径运动时，9−t =3t −6，
解得，t =154，
当点N 沿B →C 路径运动时，9−t =18−3t ，
解得，t =92，
当点N 沿C →F 路径运动时，9−t =3t −18，
解得，t =274，
综上所述，当t =
154秒或t =92秒或t =274秒时，△MDC ≅△CEN ．。