2021年高二数学12月月考试题

2021年高二数学12月月考试题
一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1．在下列命题中，不是公理的是（）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
2．,为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A． B．
C． D．
3．三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若是中心，则与平面所成的角大小是（）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（）
A. B. C. D.
5．如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）
A． B． C． D．
6．下列四种说法中，错误的个数是（）
①的子集有3个；②“若，则”的逆命题为真；
③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
④命题“，均有”的否定是：“，使”．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A． B． C． D．
8．椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，则椭圆的方程为( ) A． B． C． D．
9．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，
动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）
（1）；（2）；
（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁
要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面
（不能通行），则爬行的最短路程是（）
A． B． C． 4 D．
11．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，
底面为正方形，侧面，为底面内
1121 D C
B A F E 的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为( )
12．如图，在四面体中，，且两两互相垂直，点是的中心，将绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．在空间直角坐标系中，已知点，点在轴上，
且到与的距离相等，则的坐标是 ．
14．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ．
15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，
经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置
的椭圆形球盘，点是它的两个焦点，长轴长，焦距，
静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线（不与长轴共线．．．．．．
） 发出，经椭圆壁反弹后第一次．．．
回到点时，小球经过的路程为 ．
16．下列命题：
①的三边分别为则该三角形是等边三角形的充要条件为
；
②在中，“”是“”的充要条件；
③若命题命题则命题是假命题；
④已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为，则
是的充分必要条件；
⑤“函数为奇函数”的充要条件是“”．
其中正确的命题是 ．
三．解答题（本题共5大题，共48分）
17．（本小题满分8分）
如图所示的多面体中，是菱形，是矩形， 面，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
18．（本小题满分10分）
设：实数满足，其中，：实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（本小题满分10分）
已知某椭圆，它的中心在坐标原点，左焦点为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若已知点，当点在椭圆上变动时，求出线段中点的轨迹方程．
20．（本小题满分10分）
如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）（文科做）求直线与平面所成角的大小；
（理科做）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？
21．（理科做）（本题满分10分）
如图，已知三棱柱，侧面⊥底面.
（1）若分别是的中点，求证：；
（2）若三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，问在线段上是否存在一点，使得平面⊥平面？若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．
21．（文科做）（本题满分10分）
如图，四边形中，,//,6,4,2,,AB AD AD BC AD BC AB E F ⊥===分别在上，现将四边形沿折起，使得平面平面．
（1）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值．
（2）当，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出的长，若不存在，说明理由；
山西大学附中
xx学年第一学期高三12月月考（总第
三次）
数学试题评分细则
考试时间：90分钟考试内容（立体几何、简易逻辑、椭圆）
一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1-6 AABBAD 7-12 DCBAAA
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 14. 15.20 16. ①②③
三．解答题（本题共5大题，共48分）
17．（本小题满分8分）
解：（1）由是菱形
…………………….1分
由是矩形
…………………….2分
面面
⊂⊂=
,,
BC BCF BF BCF BC BF B
所以…………………….4分
（2）连接，
由是菱形，
由面,
，
则为四棱锥的高…………………….6分
由是菱形，，则为等边三角形，
，…………………….7分
由；则
，
…………………….8分
18．（本小题满分10分）
解：由，得，即为真命题时，，
由，得，…………………….2分
即，即为真命题时 . …………………….3分
（1）时，p：，由为真知和均为真命题，则，
得，所以实数的取值范围为．……………….6分
（2）设，，由题意知是q的必要不充分条件，
所以，……………….8分
有，所以实数a的取值范围为．……………….10分
19．（本小题满分10分）
解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，
∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣，0），
∴a=2，c=，可得b=1
因此，椭圆的标准方程为．……………….5分
（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），
由根据中点坐标公式，可得，……………….7分
∵点P（x0，y0）在椭圆上，
∴可得，化简整理得， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是． ……………….10分
20．（本小题满分10分）
解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，
CB ⊥AB ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，
∴CB ⊥平面ABEF ，
∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ， ……………….2分
又AB 为圆O 的直径，
∴AF ⊥BF ， ……………….3分
又BF∩CB＝B ，
∴AF ⊥平面CBF. ……………….4分 ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF. ……………….5分
(2)由(1)知AF ⊥平面CBF ，
∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影，
因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角． ……………….7分
∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，
过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H.
已知AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12
. 在Rt △AFB 中，根据射影定理得AF 2＝AH·AB，∴AF ＝1，
sin ∠ABF ＝AF AB ＝12
，∴∠ABF ＝30°. ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°. ……………….10分
(3)设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，，，方向分别为x 轴、y 轴、z 轴
正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝t(t ＞0)，则点D 的坐标
为(1,0，t)，C(－1,0，t)，又A(1,0,0)，B(－1,0,0)，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，0， ∴＝(2,0,0)，＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－32，t ， 设平面DCF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1·＝0，n 1·＝0.
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0x 2－32y ＋tz ＝0，令z ＝3，
解得x ＝0，y ＝2t ，∴n 1＝(0,2t ，3)． ……………….7分 由(1)可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为
n 2＝＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32，0， ……………….9分 依题意，n 1与n 2的夹角为60°.
∴cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|， 即12＝3t 4t 2＋3·1
，解得t ＝64. 因此，当AD 的长为64
时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°. ………………10分
21．（理科做）（本题满分10分）
解：(1)证明：连接AC 1，BC 1，则AC 1∩A 1C ＝N ，AN ＝NC 1，
因为AM ＝MB ，
所以MN ∥BC 1. ………………2分
又BC 1⊂平面BCC 1B 1，
所以MN ∥平面
BCC 1B 1. ………………4分
(2)作B 1O ⊥BC 于O 点，连接AO ，
因为平面BCC 1B 1⊥底面ABC ，
所以B 1O ⊥平面ABC ，
以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，3，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，
B 1(0,0，3)．
由＝＝，可求出
A 1(1，3，3)，C 1(2,0，3)，
设点P(x ，y ，z)，＝λ.
则P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1λ＋1，3－3λ，3， ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1λ，3－3λ，3， ………………5分 ＝(－1,0，3)．
设平面B 1CP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·＝0n 1·＝0，
令z 1＝1，解得n 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，1＋λ1－λ，1. ………………7分 同理可求出平面ACC 1A 1的法向量n 2＝(3，1，－1)． ………………9分
由平面B 1CP ⊥平面ACC 1A 1，得n 1·n 2＝0，即3＋1＋λ1－λ
－1＝0，解得λ＝3，所以A 1C 1＝3A 1P ，
从而C 1P ∶PA 1＝2. ………………10分
21．（文科做）（本题满分10分）
解：（1）因为平面ABEF 平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AFEF ，所以AF ⊥平面EFDC ． ………………1分
由已知BE ＝x ，，所以AF ＝x （0x4），FD ＝6x ． ………………2分 故222111112(6)(6)[(3)9](3)332333
A CDF V x x x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-=--+=--+．所以，当x ＝3时，有最大值，最大值为3. ………………4分
（2）存在使得满足条件CP ∥平面ABEF ，且此时． ………………5分
下面证明： ，过点作MP ∥FD ，与AF 交于点， ………………6分
则有，又FD ＝，故MP ＝3，又因为EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MPEC ，故四边形MPCE 为平行四边形， ………………8分
所以PC ∥ME ，又CP 平面ABEF ，ME 平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF 成立．…10分
填空题每题一个打分板，解答题18一个打分板，
其他解答题：17， 19，20，21每问各一个打分板，31546 7B3A 笺&29591 7397 玗C28698 701A 瀚31100 797C 祼28867 70C3 烃29676 73EC 珬20299 4F4B 佋cN DP38521 9679 陹。