人教高中数学A版必修一 (全称量词与存在量词)集合与常用逻辑用语教育教学课件

使 p(x) 成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x) 成立的元素 x 不存在，那么这个存在量词命
题是假命题.
三、例题讲解
解：（1）由于 22 43 8 0 ，因此一元二次方程 x2 2x 3 0 无实根.所以，存
在量词命题“有一个实数 x，使 x2 2x 3 0 ”是假命题
四、巩固训练
4.判断下列存在量词命题的真假： （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数 n，使得 n2 n 为奇数；
（3） x {y | y 是无理数}， x2 是无理数.
（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直； （2）假命题，因为若n 为整数，则 n(n 1) 必为偶数；
新知探究
2．建模解模
问题3 例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模 经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？
答案： 搜集数据，画散点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型 ——利用数据信息，求解函数模型．
活动： 教师或者学生画出散点图．
新知探究
2．建模解模
问题4 观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y随时 间t的变化规律？
A就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最 大距离；
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2．建模解模
简谐运动的周期是T 2π，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的
时间；
简谐运动的频率是 f 1 ，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复
T 2π
运动的次数；
ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得 p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题。
要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M
中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x) 成立的元素x不存在，则特称命题是假命题。
再见！
三角函数的应用
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交 直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线” 是假命题. （3）由于正方形既是 平行四边形又是菱形，所以存在量词命 题“有些平行四边形 是菱形” 是 真命题.
四、巩固训练
1.给出下列命题:
图3（1）
图3（2）
（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；
（2）当 t = 0,
1
,
1
,
7
1 ,
时，求电流i．
600 150 600 60
新知探究
4．建模解模
问题7 观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？其中每个 参数的物理意义是什么？
答案：由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用 i=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)来刻画．其中A为振幅，2π 为周期，ωt+φ为相位，
①平行四边形的对角线互相平分;
②梯形有两边平行;
③存在一个菱形，它的四条边不相等.
其中全称命题的个数为( C )
A.0
B.1
C.2
D.3
四、巩固训练
2.给出下列命题：
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R,总有|sin x|≤1.
其中特称命题的个数是 ( B )
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
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4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π= 1 s，解得ω=100π；
(1)x>3
不是
(2)2x+1是整数
不是
(3)对所有的x R，x>3
是
(4)对任意一个x Z，2x+1是整数
是
关系: (3)在(1)的基础上，用量词“所有的”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上，用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.
二、讲授新课
1. 全称量词及表示: 定义： 短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、
∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
三、例题讲解 例 2 判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数 x，使 x2 2x 3 0 ；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形
分析：要判定存在量词命题“ x M ， p(x) ”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
解：（1）2 是素数，但 2 不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.
（2）xR ，总有 x 0，因而 x 1 1.所以，全称量词命题“ xR ， x 1 1”是真
命题.
2
（3） 2 是无理数，但 2 2 是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数 x，x2 也
是无理数” 是假命题.
已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、 钟表指针的转动等．
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1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期 性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程 中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
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1．问题研究1——简谐运动
全称量词与存在量词
一、导入新课
请判断下列命题的真假？并说一说命题中红色的词有什么意思？对这 些命题的真假判断起什么作用？
（1）所有的正方形都是矩形； （2）每一个素数都是奇数； （3）有些实数的绝对值是负数； （4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直。
一、导入新课
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系?
二、讲授新课
3. 存在量词及表示: 定义: 短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、
“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示： 用符号“∃”表示,
2.存在量词命题及表示： 定义: 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为
“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
表示： 用符号“ ”表示
2. 全称量词命题及表示: 定义： 含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句
p(x）成立”表示为: x M,p(x)
读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
三、例题讲解 例 1 判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数①都是奇数；
答案： 根据散点图，分析得出可以用y=Asin(ωt+φ)这个函数模型进行刻画． 问题5 由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？ 答案： 依据数据表和散点图，可得A=20，T=60s，求得ω= 10π ，
3
然后将点（0，－20）的坐标代入解析式y=20sin( 10π t+φ)，
3
解得φ=－ π +2kπ，k∈Z，
答案： 振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化 ；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子 离开中心位置的位移s与时间t之间的函数关系，也可以用振子 所受的回复力F与时间t之间的函数关系来刻画其运动过程中周 期性现象．
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1．问题研究1——简谐运动
例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y （单位：mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位 移关于时间的函数解析式．
（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术 平方根是假命题；
（四2、）巩任固何训实练数都有算术平方根；
（3） x {y | y 是无理数}， x3 是无理数.
（3）假命题，
因为 x 3 2 是无理数， x3 2 是有理数， 所以 x {y | y 是无理数}， x3 是无理数是假命题.
A.0
B.1
C.2
D.3
四、巩固训练
3. 判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是 360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3） x {y | y 是无理数}， x3 是无理数. （1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而 一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命 题；
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2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是
什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
初相为－ π．
5
3
32
2
新知探究
Hale Waihona Puke 3．问题研究2——交变电流例2 如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单 位：s）变化的图象．将测得的图象放大，得到图3（2）．
（3）真命题，因为 是无理数， 2 是无理数.
五、课堂小结
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等. 常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断全称命题和特称命题真假
要判定全称命题“x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
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4．建模解模
2
所以函数的解析式为y=20sin( 10π t－ π)，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
第1课时
整体感知
问题1 你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角 函数模型刻画过哪些周期性现象？
答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型： （1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动， 摩天轮的运动等； （2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等； （3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化 ，生物钟，波浪，音乐等．
二、讲授新课
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3； 不是 (2)x能被2和3整除; 不是 (3)存在一个x∈R，使2x+1=3; 是 (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 是
关系 (3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定， 使(3)变成了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从 而使(4)变成了可以判断真假的语句.
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
（2） xR ， x 1 1；
（3）对任意一个无理数 x， x2 也是无理数. 分析：要判定全称量词命题“ x M ， p(x) ”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x，证
明 p(x) 成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x0 ，使 p x0 不成立，那么这个全称量词命
题就是假命题.②
三、例题讲解