2024年中考数学几何模型(全国通用)相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(教师版)

专题23解直角三角形模型之新定义模型解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。

高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。

这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。

恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

【知识储备】
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为△ABC 的3个角∠A 、∠B 、∠C ，分别对应边a 、b 、c ；
1）正弦定理：如图1，R C
c B b A a 2sin sin sin （其中R 是三角形外接圆的半径）。

图1
图22）余弦定理：如图2，2222cos a b c bc A
2222cos b a c ac B 2222cos c a b ab C ．3）正弦面积公式：如图2，B ac A bc C ab S sin 2
1sin 21sin 21 .4）同角三角函数的基本关系式:221sin cos ，sin tan cos。

5）和（差）、二倍角角公式：()sin sin cos cos sin ;
22sin sin cos .()cos cos cos sin sin ;
222222112cos cos sin cos sin .()1tan tan tan tan tan
2221tan tan tan
.
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在ABC 中，A 、B Ð、C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：
sin sin a b A B
．证明：如图1，过点C 作CD AB 于点D ，则：
在Rt BCD 中，CD =a sin B ；在Rt ACD 中，sin CD b A sin sin a B b A sin sin a b A B
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在ABC 中，A 、B Ð、C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：sin sin b c B C
；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知67A ，53B ，80AC 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin530.8 ，sin670.9)
【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作BC 边上的高，利用三角函数表示AD 后，即可建立关联并求解；
（2）作BC 边上的高，利用三角函数分别求出AE 和BC ，即可求解．
(1)证明：如图2，过点A 作AD BC 于点D ，在Rt ABD 中，sin AD c B ，
在Rt ACD 中，sin AD b C ， sin sin c B b C ， sin sin b c B C
；
(2)解：如图3，过点A 作AE BC 于点E ，67BAC ∵，53B ，60C ，
在Rt ACE 中， °3sin 60802AE AC m
又∵sin sin AC BC B BAC ，即800.80.9BC ， 90BC m ，
21902ABC S m △．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
例2．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2﹣2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2﹣2ab cos C
现已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝60°，则BC ＝_____．
例3．（2022·山东青岛·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．
探究一：如图1，在ABC 中，90ABC ，AC b ，BC a ，C ，求ABC 的面积．
在Rt ABC △中，90ABC ，sin AB AC
sin AB b ．11sin 22ABC S BC AB a b ．探究二：如图2，ABC 中，AB AC b ，BC a ，B ，求ABC 的面积（用含a 、b 、 代数式表示），写出探究过程．
探究三：如图3，ABC 中，AB b ，BC a ，B ，求ABC 的面积（用a 、b 、 表示）写出探究过程．
问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．问题应用：如图4，已知平行四边形ABCD 中，AB b ，BC a ，B ，求平行四边形ABCD 的面积（用a 、b 、 表示）写出解题过程．
问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a 、b 、c 、d 、 、 表示），其中AB b ，BC c ，CD d ，AD a ，A ，C ．
(1)一个三角形边长依次是
(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在
AC ，求
BC ，13
14
【答案】(1)66(2)ABC
由题意得：60DE 米，OED ∵三片风叶两两所成的角为120 又∵30OEA ，∴180OAE ∵30OEA ，45OED ，
AB k
5
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．
例8．（2022春·浙江
在学习完锐角三角函数后，
求sin2 （用含sinα,cosα
阅读以上内容，回答下列问题：在Rt ABC 中，90,1C AB ．
11
(1)若90180 ，则角α的三角函数值sin 、cos 、tan ，其中取正值的是(2)若角α的终边与直线2y x 重合，则sin cos +的值；(3)若角α是钝角，其终边上一点(,2)P x ，且1
cos =3
x ，求tan 的值；(4)若090 ，则sin cos +的取值范围是．
课后专项训练
1．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦
2．
（2020·四川广元市·中考真题）规定： sin sin ,cos cos ,cos cos cos sin sin x x x x x y x y x y 给出以下四个结论：（1） 1
sin 302
；（2）22cos 2cos sin x x x ；（3） cos cos cos sin sin x y x y x y ；（4）62cos154
其中正确的结论的个数为（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．【详解】解：（1） 1
sin 30sin 302
，故此结论正确；（2） 2
2
cos 2cos cos cos sin sin cos sin x x x x x x x x x ，故此结论正确；
（3） cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin x y x y x y x y x y x y 故此结论正确；
（4）cos15 = cos 4530 =cos 45cos 30sin 45sin 30 12222
44
62
4
，故此结论错误.故选：C ．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
∵sin ,cos a b A A c c ，∴sin ∵1sin 3 ，∴2cos 1sin ∵ sin sin cos cos
sin sin C sin
h h
(1)求cos75 的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪
测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5
点P的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（
(1)计算cos15 _______．(2)
(3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过
【答案】(1)62
(2)2(3)。