05桥梁结构的材料几何非线性分析.ppt

（4）桥梁结构非线性 材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料 本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始 终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因 素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后 ，再近似叠加考虑综合因素影响。 圬土材料桥梁结构的材料非线性特性是材料非线性问题在桥梁 工程上的又一难点，这方面的研究文献亦不多见，长安大学公路学 院胡大琳教授的研究[3]具有代表性。 相对材料非线性问题来说，桥梁结构的几何非线性问题更多一 些，特别是跨径增大，结构变柔，系统复杂后，分析中的梁柱效应 、索垂度效应、结构位移与后期荷载的二次影响等变得不可忽略。 所建立的挠度理论平衡微分方程求解也越来越困难。 寻求更精确、更方便的理论和方法一直是研究者努力的方向， 也是工程界所渴望的
（b）常刚度迭代法 }f({ }) 如果材料的本构关系可以写为 { 将其用具有初应力的线弹性物理方程来代替
} 0 时的切线弹性矩阵 线性弹性矩阵，即 {
若调整 { 0 }，使上列两式等价，则
{ } [ D ]{ } { } 初应力列阵 0
有平衡方程 { } [ D ]{ } el T T ( [ B ] [ D ][ B ] d V ){ } { F } [ B ] ] d V 0 [
T [ ] [ B ] { } d V { F } n n
[ ] { } [ ] n 1 n n 1
迭代步骤如下 }n)]， ①已知 { } n ，求得 { } n ，切线弹性矩阵[D T ({ [ K ] [ K ({ } )] T n T n
②算出
} { } { } { } n 及 { }n1 ，则 { n 1 n n 1
{ }n1 给定小数 ③重复①、②步骤，直到接近真实解，使
计算时，可取 {}0 0 进行首次迭代。 下图是此种迭代过程的应力变化。可看出，弹性矩阵[D({})] 表示应力、 应变曲线上的切线斜率，所以此法亦称为切线刚度法。
卸载前材料曾 经受到过的最 大应力值，称 后屈服应力
力增量与应变增增量之间存在 线性关系，即
d E d
为非线性关系
f ()
e p
⑤可用下列条件判断是加载还 是卸载： 当 d 时为加载，且满 0 f () 足； d 0时为卸载，且满 当 足 d E d ⑥在卸载后某应力 下重新加载， 则当 0 时， d E d

J K0 2
②特雷斯卡（Tresca,1864）准则：最大剪应力达到某一极限值时， 材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论，即
1 1 1 m ax , , K 0 1 2 2 3 3 1 2 2 2
③Drucker-Prager准则：

d { } [ B ]d { } d V
T


切线刚度矩阵 切线弹 T 性矩阵 [ K ] [ B ] [ D ({ })][ B ] d V T T
可以采用Newton-Raphson切线刚度迭代法，其迭代公式为


[ K ] { } { } T n n 1 n
（1）材料非线性问题 若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制 方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝 土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的 非线性。 在桥梁工程问题中: 混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段， 呈现出材料非线性本质。 材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类， 前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本 质是相同的，求解方法亦完全一样。 （2）几何非线性问题 若放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变 化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性 问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚 度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有 关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题
d { } d { } d { } e p
而应力增量与弹性应变增量之间是线性关系，即
弹性矩阵
[ D ] ( d { } d { } ) d { } [ D ] d { } e p e e
塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑 性变形增量。若采用相关联流动法则（普朗特 —— 路斯流动法则 [1] ）。塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交， R 用数学公式表示为
此即为材料非线性问题的平衡方程
(2) 迭代求解方法 用迭代方法求解材料非线性问题的平衡方程，可分为 变刚度迭代法 常刚度迭代法 （a）变刚度迭代法 变刚度法分为割线刚度法（直接刚度法）和切线刚度法。如果 材料的本构关系能够表示成
则应力位移关系
刚度矩阵
{ } [ D ({ })][ B ]{ }



0 迭代步骤类似于切线刚度法，首次近似解通常取 {F}0 ，切线性弹性问题的解。 以上叙述的是常刚度迭代法中的初应力法，类似的还有适于求解蠕变问题的初应变法，可 参阅文献[1]
K ]{ } { F } { F } 写成迭代公式 [ 0 n 1 n

T { F } [ B ] ({ } { } ) d V n n nel
桥梁结构材料非线性分析
(1) 材料非线性问题的平衡方程
以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主 要是弹塑性问题。 以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为
T [ B ] } d V { F } {
{ } [ B ]{ }
由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍 然成立，但物理方程是非线性的，可以写成
（3） 增量求解方法 （a）弹塑性本构关系的特点 单轴应力下的材料典型弹塑性本构关系如图所示，其特点可归纳 为： ④应力在0 s 下卸载，则应 ①应力在达到比例极限前，
材料为线弹性； ②应力在比例极限和弹性 极限之间，材料为非线性弹 性。 ③应力超过屈服点（ s ） ，材料应变中出现不可恢复 的塑性应变，应力和应变间
aI K 0 1 J 2
在一般情况下，对于弹塑性状态的物理方程，无法建立起最终 应力状态和最终应变状态之量的全量关系，而只能建立反映加载路 径的应力应变之间的增量关系，且可反映加载和卸载过程。研究弹 塑性增量理论必须从本构矩阵开始。设屈服函数为
应力状态
R ( )0 ij,K
硬化函数
全应变增量可以分为两部分：弹性增量 (d{}e ) 塑性增量 (d{ } p )




⑦由卸载转入反向加载，应力 应变关系继续依线性关系，一 直到反向屈服。
若 若
0 s ，称此材料为理想塑性材料 0 s，称此为硬化现象或加工硬化。
理想塑性材料
（b）增量形式的弹塑性矩阵通式 在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可用应力的某种函数表示 即此式的几何意义为
R (ij ) 0
桥梁结构的材料几何非线性分析



桥梁结构的非线性问题 桥梁结构材料非线性分析 桥梁结构几何非线性分析 活载非线性分析 小结 本章参考文献 本章附录：几种常见单元的切线刚度矩阵
桥梁结构的非线性问题
从20世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础 上世纪 60年代末，有限元法与计算机相结合，使工程中的非线 性问题逐步得以解决； 目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要 的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂 问题的简化方法。 经典线性理论基于: 小变形 弹性本构关系 理想约束 三个基本假定，使得: 本构方程 几何运动方程 平衡方程 成为线性。 若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各 种非线性问题。
f({ }, { }) 0
注意到平衡方程式是以应力 { } 表示的，由于小变形的关系仍然是 线性的，但是以结点位移{ } 表示的平衡方程则不再是线性的，因为 应力和应变 { } 之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关 系所联系，于是改写为
[ K ({ })]{ } { F }
恒、活载计算问题 结构稳定 等均属几何非线性问题。 众所周知的吊桥挠度理论以及第19章的拱桥挠度理论则是典型 的桥梁几何非线性问题。 几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大 位移大应变即有限应变理论两种。 桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。 一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定问题 ，拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，悬索桥在简单荷载 作用下的大挠度问题等。 但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解 （3）接触问题 若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束 假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。 如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题 支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象 等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。
1 { } [ K ] F } 1 0{
③取 { }1，算得 [ K ]1 1 ④{ } [ K ] F } 2 1{ } { } ⑤多次迭代直止 { 给定小数，则 { } n就是方程的解 n n 1
此图是此种迭代 过程的应力变化， 可以看出，弹性 矩阵[D({})]表示 应力应变曲线上 的割线斜率，所 以此法称为割线 刚度法或称直接 迭代法
T [ K ({ })] [ B ] D ({ })][ B ] d V [
{ } [ D ({ })]{ }
平衡方程迭代公式
[ K ] { } { F } n 1 n
迭代步骤如下 ①首先取 {}0 0 ，则 [ K ({ } )] [ K ] 0 0 ②由式
以 ij 为坐标轴的空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个 点，当此点落在屈服面之内时， R (ij ) 0 ，材料呈弹性状态； R (ij ) 0 时，材料开始进入塑性。 各向同性材料的屈服条件与坐标轴的选取无关，屈服函数可以主 ( , , ) 0 应力函数形式表示为 R 1 2 3 屈服准则表达形式较多，常用的有： ①米赛斯（Von Mises,1913）准则：应力偏量的第二不变量（ J ）达 2 到某一极限时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第四强度理论， 即
T [ K ] [ B ] D ][ B ] d V 0 [
{ } { } [ D ]{ } f ({ }) [ D ]{ } 0 { } { } 0 el 假想弹性应力
T [ K ]{ } { F } [ B ] } d V 0 0 {

d{}p
得 对
R ( )0 全微分得 ij,K
F R d { } [ D ] { } [ D ] e e d { } [ D ]d { }
如果材料的应力应变关系能够表示为增量的形式，即
T ({ })} [ B ] } d V { F } 0 并将平衡方程式改写为 { {
d { } [ D ({ })] d { 为 则有
T [ K d { } d { } ( [ B ] D ({ })][ B ] d V ) d { } T T] [