河南省长葛市第一初级中学2019-2020学年中考数学模拟考试试题

河南省长葛市第一初级中学2019-2020学年中考数学模拟考试试题
一、选择题
1．关于x 的一元二次方程2(2)0x m x m -++=根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定 2．有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是( )
A ．2
B ．2.5
C ．3.5
D ．5
3．如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF ．则线段OF 长的最小值（ ）
A ．
B 2
C ．
D ．
4．如果的值是（ ）
A ．6+a
B ．﹣6﹣a
C ．﹣a
D ．1
5．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( )
A ．2sinA 3
= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 6．下列运算中正确的是（ ） A ．235()a a =
B ．()()2212121x x x +-=-
C ．824a a a =
D ．22(3)69a a a -=-+ 7．如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着下图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开
后的形状一定为（ ）
A ．三角形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
8．关于x ，y 的方程组322x y x y k -=⎧⎨+=+⎩
的解满足x ＝y ，则k 的值是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2
9．一元二次方程2660x x --=配方后化为（ ）
A.()2315x -=
B.()2
315x += C.()2315x += D.()2
33x += 10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，直线l 1，l 2，l 3分别经过△ABC 的顶点A ，B ，C ，且l 1∥l 2∥l 3，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
11．如图，AB∥CD，点EF平分∠BED，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF的度数是（）
A.70°
B.60°
C.50°
D.35°
12．如图，在△ABC中，EF//BC，AB=3AE。

若S四边形BCFE=8，则S△ABC的值为（）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题
13．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x (h) 之间的函数关系，且OP与EF相交于点M.则经过_____小时，甲、乙两人相距3km.
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，连接PD，PG，则PD+PG的最小值为_____．
15．0
2019的相反数是____.
16．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的概率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有__________个白球.
17．如图1为两个边长为1的正方形组成的格点图,点A,B,C,D都在格点上,AB,CD交于点P,则tan ∠BPD=_____,如果是n个边长为1的正方形组成的格点图,如图2,那么tan∠BPD=_____.
18．把多项式mn 2﹣6mn+9m 分解因式的结果是_____．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，对于点P （a ，b ），若点P′的坐标为（b a k +
，ka b +）（其中k 为常数，且k≠0），则称点P′为点P 的“k 关联点”．
（1）点P （﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________;
（2）若a 、b 为正整数，点P 的“k 关联点”P′的坐标为（3，9），请直接．．
写出k 的值及点P 的坐标；
（3）如图，点Q 的坐标为（0，2 ），点A 在函数(0)y x x
=-
<的图象上运动，且点A 是点B 的
关联点”，求线段BQ 的最小值．
20．小王从同事小李手中接收一批生产任务，派单方要求必须在15天内完成，届时承以每件60元的价格全部回收，小王在接受任务之后，其生产的任务y （件）与生产的天数x （天）关系如图1所示，其中在生产6天之后，每天的生产数量达到了30件．
（1）求y 与x 之间的函数表达式；
（2）设第x 天生产的产品成本为m 元/件，m 与x 的函数图象如图2所示，若小王第x 天的利润为W 元，求W 与x 的关系式，并求出第几天后小王的利润可达到最大值，最大值为多少？
21．已知反比例函数()0m y m =≠x
与一次函数y ＝kx+b （k≠0）交于点A （﹣1，6）、B （n ，2）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点A 关于y 轴的对称点为A′，连接AA′，BA′，求△AA′B 的面积．
22．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∠AEF 的角平分线交AB 于点M ，∠EFC 的角平分线交CD 于点N ，连接MF 、NE ．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
23．数学实践课小明利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为18米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．(结果保留根号)
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变（用图（2）解答）
①求树与地面成45°角时的影长；
②求树的最大影长．
24．如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝k
x
的图象相交于A（m，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当﹣2x≤k
x
时，请直接写出x的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，且经过点d（﹣6，﹣6），连接AD，BD．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD 相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）
【参考答案】***
一、选择题
13．3
8
或
5
8
14．3﹣2 ．
15．-1
16．15
17．
18．m（n﹣3）2
三、解答题
19．（1）(-1,-2)；（2）3
k=， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ
【解析】
【分析】
（1）根据题中的新定义求出点P（-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可；
（2）根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；
（3）设点B的坐标为（m，n），从而表示出点A的坐标（
m+n），由点A在函数
0)
y x
=<的图象上可得到m、n之间的关系m．然后将BQ2用m的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ最小值．
【详解】
（1）∵x=-3+4
2
=-1，y=2×（-3）+4=-2，
∴P′（-1，-2）；
（2）设P（a，b），则P′（
b
a
k
+，ka+b）
∴39
b a k ka b ⎧+⎪⎨⎪+⎩＝＝， ∴k=3，
∴3a+b=9．
∵a 、b 为正整数
∴P′（1，6）、（2，3）；
（3）设点B 的坐标为（m ，n ），
∵点A 是点B
关联点”，
∴点A 的坐标为（
m+n ），
∵点A
在函数(0)y x x =-
<的图象上， ∴（
m+n ）
，且
＜0．
整理得：（
）2
=8． ∵
＜0， ∴
∴
m ．
∴点B 的坐标为（m ，
m ）．
过点B 作BH ⊥OQ ，垂足为H ，如图所示．
∵点Q 的坐标为（0，2），
∴QH 2=（
m ）2=（
m ）2，BH 2=m 2．
∴BQ 2=BH 2+QH 2
=m 2+（
m ）2
=3m 2
m+4
=3（
2+43
∵3＞0， ∴当
BQ 2最小，即BQ 2 =43．
∴
BQ=3
． 【点睛】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识，考查了新定义下的阅读理解能力，有一定的综合性．
20．（1）2090,(16)3030,(615)
x x y x x +⎧=⎨+<<⎩剟；（2）当1≤x≤6时，W 1＝500x+2250（1≤x≤6）；当6＜x≤15时，W 2＝﹣30（x ﹣15）2+7680（6＜x≤15）；第15天后小王的利润可达到最大值，最大值为7680．
【解析】
【分析】
（1）分当1≤x≤6、6＜x≤15时，分别求解即可；
（2）分1≤x≤6、6＜x≤15，分别求解即可．
【详解】
解：（1）①当1≤x≤6时，设函数的表达式为：y ＝kx+b ，
由题意得：15032106k b k b =+⎧⎨=+⎩
， 解得：2090k b =⎧⎨=⎩
， y 1＝20x+90（1≤x≤6）；
②当6＜x≤15时，同理可得：y 2＝30x+30（6＜x≤15）；
故函数的表达式为：y ＝2090(16)3030(615)
x x x x +≤≤⎧⎨+<≤⎩； （2）①当1≤x≤6时，m 1＝35，
②当6＜x≤15时，同理可得：m 2＝x+29（6＜x≤15），
故m ＝35(16)29(615)x x x ≤⎧⎨+<≤⎩
…； 故当1≤x≤6时，
每件产品的利润为60﹣35＝25，
总利润W 1＝25（20x+90）＝500x+2250（1≤x≤6）；
当6＜x≤15时，
每件产品的利润为60﹣（x+29）＝﹣x+31，
W 2＝（30x+30）（﹣x+31）＝﹣30（x ﹣15）2+7680（6＜x≤15），
故当x ＝15时，函数有最大值7680，
答：第15天后小王的利润可达到最大值，最大值为7680．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x ＝2b a
-
时取得． 21．（1）y ＝2x+8；（2）4．
【解析】
【分析】
（1）先把A 点坐标代入反比例函数y ＝()0m y m x
=≠中求出m 的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B 点坐标代入即可求出n 的值，把A 、B 两点的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b 中可求出k 、b 的值，进而可得出一次函数的解析式；
（2）根据题意求得A′的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】
解：（1）∵反比例函数()0m y m x
=
≠的图象过点A （﹣1，6）， ∴6＝1m -，即m ＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为：y ＝6x -
； ∵比例函数y ＝6x -
的图象过点B （n ，2）， ∴2＝6n
-，解得n ＝﹣3， ∴B （﹣3，2），
∵一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象过点A （﹣1，6）和点B （﹣3，2），
∴632k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得k 2b 8=⎧⎨=⎩
； ∴一次函数的解析式为：y ＝2x+8；
（2）∵点A （﹣1，6）关于y 轴的对称点为A′，
∴A′（1，6），
∴AA′＝2，
∵B （﹣3，2），
∴△AA′B 的面积：
12×2×（6﹣2）＝4． 【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟练掌握待定系数法是解答此题的关键．
22．（1）见解析；（2）∠EFM ＝∠BMF ，AM ＝BM （或：M 是AB 中点）．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C ，∠AEF ＝∠CFE ，AD=BC ，根据角平分线的定义和中点的定义可得∠AEM ＝∠CFN ，AE ＝CF ，利用ASA 即可证明△AME ≌△CNF ，可得EM ＝FN ，∠FEM ＝∠FEN ，根据内错角相等可得EM//FN ，即可证明四边形EMFN 是平行四边形；（2）由AE=BF ，AE//BF 可得四边形ABFE 是平行四边形，可得EF//AB ，可得∠MEF=∠AME ，∠EFM=∠BMF ，由角平分线可得∠AEM=∠MEF ，即可证明∠AEM=∠AME ，可得AE=AM ，由AB=AD 可得M 为AB 中点，即可证明BM=BF ，进而可得∠BMF=∠BFM ，即可证明∠BFM=∠EFM ，可得∠EFM+∠EFN=90°，可得四边形EMFN 是矩形．
【详解】
(1)在□ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，AD ＝BC
∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，
∴AE ＝12AD ，CF ＝12
BC ，
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC，
∴∠AEM＝∠FEM＝1
2
∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝
1
2
∠CFE，
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝1
2
∠AEF，∠CFN＝
1
2
∠CFE，
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中
A C
AE CF
AEM CFN ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AME≌△CNF（ASA），
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN，
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形．
（2）∵AE=BF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB//EF，
∴∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，
∵∠AEM=∠MEF，
∴∠AEM=∠AME，
∴AE=AM，
∵E为AD中点，AB=AD，
∴M为AB中点，即AM=BM，
∵AE=BF，
∴BM=BF，
∴∠BMF=∠BFM，
∴∠BFM=∠EFM，
∵∠EFN=∠CFN，
∴∠EFM+∠EFN=90°，即∠MFN=90°，
∴四边形EMFN是矩形．
故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中点）．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定及矩形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.
23．（1）
（2
）①②
【解析】
【分析】
（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）①在△AB 1C 1中，已知AB 1的长，即AB 的长，∠B 1AC 1=45°，∠B 1C 1A=30°．过B 1作AC 1的垂线，在直角△AB 1N 中根据三角函数求得AN ，BN ；再在直角△B 1NC 1中，根据三角函数求得NC 1的长．即可求解； ②当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．
【详解】
（1
答：树高
（2）作B 1N ⊥AC 1于N ．
①如图（2），B 1N=AN=AB 1sin45°==
NC 1=NB 1tan60°==．
AC 1=AN+NC 1=（米）．
答：树与地面成45°角时的影长为米．
②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC 2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB 的⊙A 相切时影长最大）
AC 2=2AB 2=
答：树的最大影长为
【点睛】
一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的问题．
24．（1）8y x
=-
，B （2，﹣4）；（2）﹣2≤x＜0或x≥2． 【解析】
【分析】 （1）将A 坐标代入正比例函数2y x =-求出m 的值，将(24A -，）代入反比例解析式求k 的值，根据A 、B
关于O 点对称即可确定出B 坐标；
（2）根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x 的范围即可．
【详解】
解：（1）将4A m （，）
代入正比例函数2y x =-得：42m =-， 解得2m =-，
∴(24A ﹣，）， ∵反比例函数k y x
= 的图象经过24A （﹣，） ， ∴248k =-⨯=- ， 则反比例解析式为8y x =-
， ∵A 、B 关于O 点对称
∴B （2，﹣4）；
（2）由图象得：当
2k x x
≤﹣时，x 的取值范围为20x -≤＜或2x ≥． 【点睛】 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（1）2113442y x x =--+；（2）30,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭ ，点(2N - 或(2 或（﹣3，0）或5,04⎛⎫-
⎪⎝⎭
；（3）125 . 【解析】
【分析】 （1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x ﹣2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；
（2）分∠MAB ＝∠BAD 、∠MAB ＝∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；
（3）QH ＝PHcos ∠PQH ＝22441133314125544242555
PH x x x x x ++⎛⎫=---=-- ⎪⎝+⎭，即可求解． 【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x ﹣2）（x+3），
将点D 坐标代入上式并解得：a ＝14-
， 故函数的表达式为：y ＝2113442x x -
-+…①， 则点C （0，32
）；
（2）由题意得：AB ＝5，AD ＝10，BD ＝ ，
①当∠MAB ＝∠BAD 时，
当∠NMA ＝∠ABD 时，△AMN ∽△ABD ，
则tan ∠MAB ＝tan ∠BAD ＝34
， 则直线MA 的表达式为：y ＝﹣
34
x+b ， 将点A 的坐标代入上式并解得：b ＝32
， 则直线AM 的表达式为：y ＝﹣34x+32…②， 联立①②并解得：x ＝0或2（舍去2），
即点M 与点C 重合，则点M （0，2），则AM ＝，
∵△AMN ∽△ABD ，∴AN AM AD AB
=，解得：AN ＝，
故点N （2﹣，0）；
当∠MN′A＝∠ABD 时，△ANM ∽△ABD ，
同理可得：点N′（2，0），
即点M （0，32
），点N （2﹣，0）或（2，0）； ②当∠MAB ＝∠BDA 时， 同理可得：点M （﹣1，
32），点N （﹣3，0）或（﹣54，0）；
故：点M （0，
32）或（﹣1，32
）， 点N （2﹣，0）或（2，0）或（﹣3，0）或（﹣54，0）；
（3）如图所示，连接PH ，
由题意得：tan ∠PQH ＝34
，则cos ∠PQH ＝45， 则直线BD 的表达式为：y ＝
34
x ﹣32， 设点P （x ，2113442x x --+），则点H （x ，3342x --）， 则QH ＝PHcos ∠PQH ＝
45PH ＝2411333544242x x x ⎛--+-+ ⎝）＝21412555x x --+， ∵15
-＜0，故QH 有最大值，当x ＝﹣2时，其最大值为125． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．。