高中数学北师大版第一章《正弦函数的图像》word教案优选版

高中数学北师大版第一章《正弦函数的图像》word教案优选
版
§5.2正弦函数y＝sinx的图像
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）回忆锐角的正弦函数定义；
（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；
（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；
（4）掌握任意角的正弦函数的定义；
（5）理解有向线段的概念；
（6）了解正弦函数图像的画法；
（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

2、过程与方法：
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重、难点
重点:
1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。

2.正弦函数图像的画法。

难点:
1.正弦函数值的几何表示。

2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像。

三、学法与教法
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。

教法: 探究讨论法。

四、教学过程
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。

今天我们来学正弦函数y ＝sinx 的图像的做法。

在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？ 作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。

【探究新知】 1、正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示， 角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），提出问题 ①线段MP 的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，
段的概念．有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP 看作是带方向的线段， ① y ＞0时，把MP 看作与y 轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在一、二象限
时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴同向)． ② y ＜0时，把MP 看作与y 轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴反向)．
师生归纳：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M→P，而PM 则是从P→M。

②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sinα＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．
当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。

演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在x 轴上时，正弦线变为一个点，即 sinα＝0。

2．作图的步骤
边作边讲（几何画法）y=sinx x ∈[0,2π]
（1） 作单位圆，把⊙O 十二等分（当然分得越细，图像越精确）
（2） 十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π
,…2π等角，并作出相应的正弦线， （3） 将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应
“变形”
（4） 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
（5） 描图（连接）得y=sinx x ∈[0,2π]
（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x ∈[2k π，2(k+1)π] （k ∈Z ，k ≠0） 与函数y=sinx x ∈[0,2π]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长。

3的有以下五个关键点： (0,0) (
2π,1) (π,0) (2
3π,-1) (2π,0)。

描出这五个点后，函数y=sinx
，x ∈[0,2π]的图像的形状就基本上确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。

我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。

【巩固深化，发展思维】
1．例题探析
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。

（1）y ＝－sinx （2）y ＝1＋sinx 解：（1）列表
描点得y ＝－sinx 的图像：（略，见教材P22）
2．学生练习： 教材P25 二、归纳整理，整体认识：
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：作业：习题1—5A 组第2题． 四、课后反思：
§1.5估计总体的分布(一)
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）通过实例体会分布的意义和作用。

（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。

2、过程与方法：
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

3、情感态度与价值观：
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。

二、重点与难点：
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。

三、教学方法：探究归纳，思考交流
四、教学设想
（一）、创设情境
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。

（二）、探究新知〖探究〗：
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超
过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。

如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。

因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。

分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。

表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。

可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。

1、频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。

一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。

其一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差（1）决定组距与组数；⑵将数据分组；⑶列频率分布表；⑷画频率分布直方图。

以制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。

（让学生自己动手作图）
频率分布直方图的特征：⑴从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

⑵从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。

〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。

不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）
2、频率分布折线图、总体密度曲线
（1）．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率
分布折线图。

（2）．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。

它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。

〖思考〗：
1．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？
2．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？
实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．
3、茎叶图
（１）．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。

（2）．茎叶图的特征：①用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。

②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。

（三）、例题精析：〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)
(1)列出样本频率分布表；(2)一画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。

解：（1）样本频率分布表如下：
/组距
（2）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
〖例2〗：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落
在哪个小组内？请说明理由。

分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面
积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数
成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之
和等于1。

解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反
映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二
小组的频率为：
4
0.08 24171593
=
+++++
又因为频率=第二小组频数样本容量
所以
12
150
0.08
===
第二小组频数
样本容量
第二小组频率
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
171593
100%88% 24171593
+++
⨯=
+++++
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

（四）课堂精练：P36 练习
（五）、课堂小结：
1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。

2、总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。

（六）作业：1．P69习题 A组 1、 2
五、教后反思：
数列的概念
教学目标
1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重难点
教学重点是数列的定义的归纳与认识； 教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学过程 一．揭示课题
先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书）
象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．
（板书）第一章 数列 （一）数列的概念 二．讲解新课
要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：
①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9
②我国1998~20XX 年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533
④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一
列数:2
π
-
25π-
29π- 213π- 2
17π
- ……
⑤正整数
的倒数排成一列数：4
1
,31,21,
1…… ⑥某人20XX 年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 …… 1100 ⑦函数21x y =
当 依次取n ,...,3,2,1(*
∈N n )时得到一列数：2
1,...,91,41,1n
请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．
（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．
由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系． 对概念的理解
数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？ 教师提出问题：
1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？ 2： -1，1，-1，1是否为一个数列？
遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．
（板书）2．数列的表示法
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用
表示第一项，用
表示第一项，……，用
表示第 项，依次写出成为
（板书）（1）列举法
． 简记为 ．
一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （板书）（2）图示法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项
为纵坐标，即以
为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
4
1
,31,21,1…为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以
直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫
做数列的通项公式．
（板书）（3）通项公式法 认识数列的通项公式
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。

对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。

如 1100 1100 1100 …… 1100的通项公式为 1100=n a (121≤≤n )
41,31,21,1… 的通项公式为n
a n 1
=*∈N n ； 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 例如，数列
的通项公式
，则
．
值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．
除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式． （板书）3．数列与函数的关系 认识数列与函数的关系
数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？
教师：举例。

将序号写在上面，下面的相应位置写上数列的各项。

首先引导学生说出上下两行是两组变量，然后分析这两组变量之间的关系。

学生：联想到函数间的变量依赖关系，认识到数列是函数。

教师：数列的定义域和值域分别是什么？
教师引导学生归纳出：数列可以看成是以正整数N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，n ｝）为定义域的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数
值。

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集
，或是正整数集
的有限子集
．
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．
例：P5课本例题
练习：（1）数列{}
n a 的通项公式n a =
4是该数列中的第 16 项．
（2）已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = 12-，7a = 9 ，65是它 的第 11 项 ；从第 7 项起各项为正；{}n a 中第 2 项的值最小为 16- （3）{}n a 中29100n a n n =--，则值最小的项是第 4或5 项． 三．小结
1．数列的概念 2．数列的四种表示 四．作业 略 五．板书设计
§1.5估计总体的分布(一)
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）通过实例体会分布的意义和作用。

（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。

2、过程与方法：
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

3、情感态度与价值观：
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。

二、重点与难点：
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。

三、教学方法：探究归纳，思考交流
四、教学设想
（一）、创设情境
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。

（二）、探究新知〖探究〗：
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超
过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。

如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。

因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。

分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。

表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。

可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。

2、频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。

一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。

其一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差（1）决定组距与组数；⑵将数据分组；⑶列频率分布表；⑷画频率分布直方图。

以制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。

（让学生自己动手作图）
频率分布直方图的特征：⑴从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

⑵从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。

〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。

不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）
2、频率分布折线图、总体密度曲线
（1）．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率。