九年级数学下册 第二十七章 圆27.2 与圆有关的位置关系 1点与圆的位置关系授课
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∴点R在⊙O内．
总结
知1－讲
判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距 离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关 系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用 辅助方法．
知1－讲
例2 若点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，
则a的取值范围为( A ) A．－1＜a＜3
3 已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆
心作⊙A, 使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少
有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( )
A．6＜r＜10
B．8＜r＜10
C．6＜r≤8
D．8＜r≤10
知识点 2 确定圆的条件
知2－导
圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一 个圆 呢？ 如图,画出过点A的圆.
离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( )
A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
知1－练
2 若⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(3，4)，点P的坐 标为(5，2)，则点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或在⊙O外
知1－练
再看其他点是否在圆上．是，则能作；不是，就不能作． 3. 易错警示：三点确定一个圆时，前提条件是“三点不在同一
条直线上”．
知2－讲
例3 如图①是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个 同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
知2－讲
导引：可先在圆弧上任意取三个点，然后作出两条弦，分别 作这两条弦的垂直平分线即可确定圆轮所在圆的圆心．
知2－练
1 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在线 AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
2 已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有 ()
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
知2－练
3 下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( ) A．三个点一定能确定一个圆 B．以已知线段为半径能确定一个圆 C．以已知线段为直径能确定一个圆 D．菱形的四个顶点能确定一个圆
知3－讲
(3)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 它到三角形三个顶点的距离相等．
2. 三角形外接圆的作法： (1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； (2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的
距离为半径作圆即可．
知3－讲
例4 如图所示，△ ABC 内接于⊙ O，∠ C=45 °，AB=4， 求⊙ O 的半径.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
知3－练
3 如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B， C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
点和圆的位置关系的“两点注意”： (1)等价关系：点和圆的位置关系⇔点到圆心的距离
d和半径r的关系，即由位置关系可以判断数量关 系，反过来由数量关系可以判断位置关系． (2)数形结合思想：解决点和圆的位置关系问题的捷 径是利用数形结合思想，借助图形进行判断．
知1－讲
说明：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号的左端可 以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两端互为 因果关系． 拓展： (1)圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合； (2)圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合．
知2－讲
例1 已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD= 3 cm， 在直线l 上有P，Q，R 三点， 且有PD=4 cm， QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置 关系各是怎样的？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
B．a＜3
C．a＞－1 导引：如图 .
D．a＞3或a＜－1
∵点B在⊙A内部，∴|a－1|＜2.
∴－1＜a＜3.
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，关键是将条件转化成点到 圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，即列出方程 或不等式来解答．
知1－练
1 (2015·湘西州)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距
如图,画出过两点A、B的圆.
知2－导
经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何 找 出这个圆的圆心呢？
知2－讲
1. 经过一点可作无数个圆；过已知的两点可作无数个圆．不 在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2. 确定一个圆的条件： (1)已知圆心、半径可确定一个圆． (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 拓展：过多点作圆，先过不在同一条直线上的三点作一个圆，
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
第1课时 点与圆的位置 关系
1 课堂讲解 点和圆的位置关系
确定圆的条件
2 课时流程 三角形的外接圆
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我国射击运动员在里约奥运会上获得金牌，为我国赢得 荣誉，如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆 心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位 置的成绩是如何计算的吗？ 提示：解决这个问题要研究点和圆的位置关系．
解：如图②所示： (1)在圆轮所在的圆弧上任取三点A， B，C，并连结AB，BC； (2)分别作AB，BC的垂直平分线DE， FG，DE，FG相交于点O； (3)以O为圆心，OA为半径作⊙O， ⊙O就是圆轮所在的圆．
总结
知2－讲
经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心O 是线段AB，BC的垂直平分线的交点，再以OA(或OB, OC)为半径作圆即可，这样的圆只能作一个．
知识点 3 三角形的外接圆
知3－导
什么是圆的内接三角形？有什么性质？
知3－讲
1. 经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆， 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三 角形叫做这个圆的内接三角形． 要点精析：
(1)任何一个三角形都有一个外接圆，而一个圆有无数个 内接三角形．
(2)锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外 心在斜边中点处；钝角三角形的外心在 三角形的外 部．
知2－讲
解：如图，连结OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
∴OP＝ P D 2O D 24232 ＝5 (cm)＝r，
∴点P在⊙O上； ∵QD＝5 cm，
∴OQ＝ Q D 2O D 2523234(cm)>5 cm＝r，
∴点Q在⊙O外； ∵RD＝3 cm，
∴OR＝ R D 2 O D 23 2 3 2 32＝3 (cm)<5 cm＝r，
知识点 1 点和圆的位置关系
知1－导
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 答：点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外
知1－导
问题２：设⊙O半径为r,说出来点A，点B，点C与圆心O的距 离与半径的关系。 答：OA < r，OB = r，OC > r 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断 点和圆的位置关系？ 答：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
导引：
总结
知3－讲
求三角形的外接圆半径的方法： 求三角形的外接圆半径时, 最常用的方法是作出圆 心与三角形顶点的连线( 即半径)，或延长使这条半 径变为直径, 将求半径转化为直角三角形中求边的 长.
知3－练
1 任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆.
2 下列说法中，正确的是( ) A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆
点P在圆内 d<r 点P在圆上 d=r 点P在圆外 d>r
知1－讲
一般地，平面内的点与圆的位置关系有三种： (1)点在圆上：该点到圆心的距离等于半径； (2)点在圆外：该点到圆心的距离大于半径； (3)点在圆内：该点到圆心的距离小于半径． 即：若⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则存在如下关系： (1)点在圆内⇔d<r； (2)点在圆上⇔d＝r； (3)点在圆外⇔d>r.
总结
知1－讲
判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距 离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关 系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用 辅助方法．
知1－讲
例2 若点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，
则a的取值范围为( A ) A．－1＜a＜3
3 已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆
心作⊙A, 使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少
有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( )
A．6＜r＜10
B．8＜r＜10
C．6＜r≤8
D．8＜r≤10
知识点 2 确定圆的条件
知2－导
圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一 个圆 呢？ 如图,画出过点A的圆.
离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( )
A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
知1－练
2 若⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(3，4)，点P的坐 标为(5，2)，则点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或在⊙O外
知1－练
再看其他点是否在圆上．是，则能作；不是，就不能作． 3. 易错警示：三点确定一个圆时，前提条件是“三点不在同一
条直线上”．
知2－讲
例3 如图①是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个 同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
知2－讲
导引：可先在圆弧上任意取三个点，然后作出两条弦，分别 作这两条弦的垂直平分线即可确定圆轮所在圆的圆心．
知2－练
1 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在线 AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
2 已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有 ()
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
知2－练
3 下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( ) A．三个点一定能确定一个圆 B．以已知线段为半径能确定一个圆 C．以已知线段为直径能确定一个圆 D．菱形的四个顶点能确定一个圆
知3－讲
(3)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 它到三角形三个顶点的距离相等．
2. 三角形外接圆的作法： (1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； (2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的
距离为半径作圆即可．
知3－讲
例4 如图所示，△ ABC 内接于⊙ O，∠ C=45 °，AB=4， 求⊙ O 的半径.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
知3－练
3 如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B， C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A．点P B．点Q C．点R D．点M
点和圆的位置关系的“两点注意”： (1)等价关系：点和圆的位置关系⇔点到圆心的距离
d和半径r的关系，即由位置关系可以判断数量关 系，反过来由数量关系可以判断位置关系． (2)数形结合思想：解决点和圆的位置关系问题的捷 径是利用数形结合思想，借助图形进行判断．
知1－讲
说明：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号的左端可 以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两端互为 因果关系． 拓展： (1)圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合； (2)圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合．
知2－讲
例1 已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD= 3 cm， 在直线l 上有P，Q，R 三点， 且有PD=4 cm， QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置 关系各是怎样的？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
B．a＜3
C．a＞－1 导引：如图 .
D．a＞3或a＜－1
∵点B在⊙A内部，∴|a－1|＜2.
∴－1＜a＜3.
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，关键是将条件转化成点到 圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，即列出方程 或不等式来解答．
知1－练
1 (2015·湘西州)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距
如图,画出过两点A、B的圆.
知2－导
经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何 找 出这个圆的圆心呢？
知2－讲
1. 经过一点可作无数个圆；过已知的两点可作无数个圆．不 在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2. 确定一个圆的条件： (1)已知圆心、半径可确定一个圆． (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 拓展：过多点作圆，先过不在同一条直线上的三点作一个圆，
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
第1课时 点与圆的位置 关系
1 课堂讲解 点和圆的位置关系
确定圆的条件
2 课时流程 三角形的外接圆
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我国射击运动员在里约奥运会上获得金牌，为我国赢得 荣誉，如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆 心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位 置的成绩是如何计算的吗？ 提示：解决这个问题要研究点和圆的位置关系．
解：如图②所示： (1)在圆轮所在的圆弧上任取三点A， B，C，并连结AB，BC； (2)分别作AB，BC的垂直平分线DE， FG，DE，FG相交于点O； (3)以O为圆心，OA为半径作⊙O， ⊙O就是圆轮所在的圆．
总结
知2－讲
经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心O 是线段AB，BC的垂直平分线的交点，再以OA(或OB, OC)为半径作圆即可，这样的圆只能作一个．
知识点 3 三角形的外接圆
知3－导
什么是圆的内接三角形？有什么性质？
知3－讲
1. 经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆， 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三 角形叫做这个圆的内接三角形． 要点精析：
(1)任何一个三角形都有一个外接圆，而一个圆有无数个 内接三角形．
(2)锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外 心在斜边中点处；钝角三角形的外心在 三角形的外 部．
知2－讲
解：如图，连结OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
∴OP＝ P D 2O D 24232 ＝5 (cm)＝r，
∴点P在⊙O上； ∵QD＝5 cm，
∴OQ＝ Q D 2O D 2523234(cm)>5 cm＝r，
∴点Q在⊙O外； ∵RD＝3 cm，
∴OR＝ R D 2 O D 23 2 3 2 32＝3 (cm)<5 cm＝r，
知识点 1 点和圆的位置关系
知1－导
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 答：点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外
知1－导
问题２：设⊙O半径为r,说出来点A，点B，点C与圆心O的距 离与半径的关系。 答：OA < r，OB = r，OC > r 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断 点和圆的位置关系？ 答：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
导引：
总结
知3－讲
求三角形的外接圆半径的方法： 求三角形的外接圆半径时, 最常用的方法是作出圆 心与三角形顶点的连线( 即半径)，或延长使这条半 径变为直径, 将求半径转化为直角三角形中求边的 长.
知3－练
1 任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆.
2 下列说法中，正确的是( ) A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆
点P在圆内 d<r 点P在圆上 d=r 点P在圆外 d>r
知1－讲
一般地，平面内的点与圆的位置关系有三种： (1)点在圆上：该点到圆心的距离等于半径； (2)点在圆外：该点到圆心的距离大于半径； (3)点在圆内：该点到圆心的距离小于半径． 即：若⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则存在如下关系： (1)点在圆内⇔d<r； (2)点在圆上⇔d＝r； (3)点在圆外⇔d>r.