弦切角定理及推论

弦切角定理及推论
顶点在圆上，一边和圆相交，另
一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等同于它所缠的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设立圆心为o，相连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-
∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠
tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）
∵∠boc=2∠cab（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：
（1）圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab乌⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca面元的圆周角
b点应在a点左侧
（2）圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m面元的
劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、
∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴（弦切角定理）
（3）圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么
∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴（弦切角定理）
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
基准1：例如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac切线于点a，
∠cba=60°,ab=a谋bc长.求解：联结oa，ob.∵在rt△abc
中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等同于斜边的一半）
例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线
∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc
基准3：例如图，δabc内韦索⊙o，ab就是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn乌⊙o于c，谋
证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径
∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac 平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.。