(江苏专用)高考数学二轮复习 (热点命题探究)专题1开放探究问题学案

专题1开放探究问题
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.
高考中主要考查学生对条件和结论的探索、猜想、归纳以及对存在性问题的探索、判断.
1．已知平面α，β和直线，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. (1)当满足条件________时，有m ∥β；
(2)当满足条件______时，有m ⊥β.(填所选条件的序号)
解析：由线面平行关系知：m ⊂α，α∥β，可得m ∥β；由线面垂直关系得：m ⊥α，α∥β，可得
m ⊥β.
答案：(1)③⑤ (2)②⑤
2．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
y ＋x ≤s ，
y ＋2x ≤4
下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是
________．
解析：画出可行域如图所示，当3≤s ≤4时，目标函数z ＝3x ＋2y 在点B (4－
s,2s －4)处取得最大值，即z max ＝3(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4∈[7,8)；
当4≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 在点E (0,4)处取得最大值， 即z max ＝3×0＋2×4＝8，故z ∈[7,8]． 答案：[7,8]
3．观察sin 2 20°＋cos 2 50°＋sin 20° cos 50°＝34，sin 2 15°＋cos 2
45°＋sin 15°·cos 45°
＝3
4
，写出一个与以上两式规律相同的等式________． 解析：由50°－20°＝(45°－15°)＝30°，可得sin 2
α＋cos 2
(α＋30°)＋sin α cos(α
＋30°)
＝34
. 答案：sin 2α＋cos 2
(α＋30°)＋sin α cos(α＋30°)＝34
4．集合A ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪
⎪⎭
⎬
⎫
x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值
范围是________．
解析：由“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，得A ＝{x |－1<x <1}与B ＝{x |b －1<x <1＋b }交集不为空集．所以－2<b <2.
答案：(－2,2)
5．如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的投影可能是________(要求把所有可能的图形都填上)
解析：在前、后、上、下四个面上的投影为平行四边形，在左、右两个面上的投影为线段． 答案：平行四边形、线段
问题1：条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．
[典例1]
(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平
面
上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －
120
(1＋k 2)x 2
(k >0)表示的曲线上，其中k 与
发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
[解] (1)令y ＝0，得kx －
120
(1＋k 2)x 2
＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k 2＝
20k ＋
1k
≤20
2
＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔ 存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2
成立
⇔关于k 的方程a 2k 2
－20ak ＋a 2
＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a )2
－4a 2
(a 2
＋64)≥0
⇔a ≤6.
所以当a 不超过6千米时，可击中目标．
本题(2)要确定炮弹可击中目标的条件，属条件探索性问题，解题过程把结论看作条件，合理转化，有利于培养学生的逆向思维能力．
[演练1]
如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中
点，OP ⊥底面ABC .
(1)求证：OD ∥平面PAB ；
(2)当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？
源:学科网]
解：(1)证明：∵O ，D 分别为AC ，PC 的中点：∴OD ∥PA ， 又PA ⊂平面PAB ，OD ⊄平面PAB ， ∴OD ∥平面PAB . (2)∵AB ⊥BC ，OA ＝OC ，
∴OA ＝OC ＝OB ，又∵OP ⊥平面ABC ， ∴PA ＝PB ＝PC .
取BC 中点E ，连结PE ，OE ，则BC ⊥平面POE ，作OF ⊥PE 于F ，则OF ⊥平面PBC . ∴F 是O 在平面PBC 内的射影．
∵D 是PC 的中点，若F 是△PBC 的重心，则B ，F ，D 三点共线，直线OB 在平面PBC 内的射影为直线
BD .
∵OB ⊥PC ，∴PC ⊥BD ，∴PB ＝BC ，即k ＝1. ]
反之，当k ＝1时，三棱锥O －PBC 为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心． 问题2：结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论
[典例2]
若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)．
①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n . (其中n 为大于1的整数，S n 为{a n }的前n 项和)
[解析] ①由S 1和S 2，可知a 1和a 2.由a 2a 1
＝q 可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”． ②由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得a 2＝a 1q ，a 1＝a 2q
，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2
. ∴S 3＝a 2q
＋a 2＋a 2q ，∴a 2q 2
＋(a 2－S 3)q ＋a 2＝0.
满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{a n }的基本量． ③由a 1与a n ，可得a n ＝a 1q
n －1
，q
n －1
＝a n a 1
，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所
以也不一定是数列的一组基本量．
④由q 与a n ，由a n ＝a 1q n －1
，可得a 1＝
a n
q n －1
，故数列{a n }能够确定，是数列{a n }的一组基本量． [答案] ①④
本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．求解时应全面考察问题的各个方面，这样不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．
[演练2]
某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)； (3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由． 解：(1)y ＝50x －⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤12x ＋
x x －1
2
×4－98＝－2x 2＋40x －98.
(2)解不等式－2x 2
＋40x －98>0， 得10－51<x <10＋51.
∵x ∈N ，∴3≤x ≤17.故从第3年工厂开始盈利．
(3)①∵y x ＝－2x ＋40－98x
＝40－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12，
当且仅当2x ＝98
x
时，即x ＝7时，等号成立．
∴x ＝7时，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7＋30＝114万元． ②y ＝－2x 2
＋40x －98＝－2(x －10)2
＋102，当x ＝10时，y max ＝102. 故x ＝10时，盈利额达到最大值，工厂共获利102＋12＝114万元．
综合上述可知：方案①7年的总利润与方案②10年的总利润相等，故选择方案①较为合算． 问题3：存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．
[典例3]
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 2
9
＝1
的右顶点，点
D (1,0)，点P ，B 在椭圆上，BP ＝DA
.
(1)求直线BD 的方程；
(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；
(3)是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．
[解] 因为BP ＝DA
，且A (3,0)，D (1,0)，所以BP ＝DA ＝2，且B ，P 关于y 轴对称，所以点P 的横
坐标为1，从而得P (1,2)，B (－1,2)，
所以直线BD 的方程为x ＋y －1＝0.
(2)由(1)可知线段BP 的垂直平分线方程为x ＝0，线段AP 的垂直平分线方程为y ＝x －1， 所以圆C 的圆心坐标为(0，－1)，且圆C 的半径为r ＝10.
又圆心(0，－1)到直线BD 的距离为d ＝|x ＋y －1|2＝2，所以直线BD 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2
＝
4 2.
(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中PB 是圆M 的弦，PA 是圆N 的弦，则点M 一定在y 轴上，点
N 一定在线段PA 的垂直平分线y ＝x －1上，当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有P ，M ，N 在一条
直线上，且PM ＝PN .
设M (0，b )，则N (2,4，－b )，根据N (2,4，－b )在直线y ＝x －1上，解得b ＝3.
所以M (0,3)，N (2,1)，PM ＝PN ＝2，故存在这样的两个圆，且方程分别为x 2＋(y －3)2＝2，(x －2)2
＋(y －1)2
＝2.
“存在”就是有，或者给予证明或者找出一个．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．
[演练3]
已知函数f (x )＝－x 2
＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m . (1)求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；
(2)是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出
m 的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)f (x )＝－x 2
＋8x ＝－(x －4)2
＋16.
当t ＋1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，
h (t )＝f (t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；
当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h (t )＝f (4)＝16； 当t >4时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，
h (t )＝f (t )＝－t 2＋8t .
综上，h (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－t 2
＋6t ＋7， t <3，16， 3≤t ≤4，
－t 2＋8t ， t >4.
(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x )＝g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵φ(x )＝x 2
－8x ＋6 ln x ＋m ，
∴φ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2
－8x ＋6x ＝2 x －1 x －3
x
(x >0)，
当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，φ′(x )<0，φ(x )是减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数； 当x ＝1或x ＝3时，φ′(x )＝0. φ(x )极大值＝φ(1)＝m －7， φ(x )极小值＝φ(3)＝m ＋6ln 3－15.
当x 充分接近0时，φ(x )<0，当x 充分大时， φ(x )>0.
∴要使φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
φ x 最大值＝m －7>0，φ x 最小值＝m ＋6ln 3－15<0，
即7<m <15－6ln 3.
∴存在实数m ，使得函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln 3)．
问题4：规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．
[典例4]
已知数列a 1，a 2，…，a 30，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20
是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2
的等差数列(d ≠0)．
(1)若a 20＝40，求d ；
(2)试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；
(3)续写已知数列，使得a 30，a 31，…，a 40是公差为d 3
的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？
[解] (1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40，∴d ＝3. (2)a 30＝a 20＋10d 2
＝10(1＋d ＋d 2
)(d ≠0)，
a 30＝10⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛⎭
⎪⎫d ＋122
＋34，
当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[)7.5，＋∞.
(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，a 10(n ＋1)是公差为d n
的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围． 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3
＝10(1＋d ＋d 2
＋d 3
)， 依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10×1－d n ＋1
1－d ， d ≠1，10 n ＋1 ， d ＝1.
当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)．
本题以数列为依托考察学生对等差数列基本知识的理解应用． [演练4]
在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *
)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________________________________________成立．
解析：首先等差数列{a n }具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n ＋(19－n )＝19(定值)，19与
a 10的序号关系为：2×10－1＝19；
类比上述性质，等比数列{b n }应有：等式两边为积式，项数之和为x (定值)，由于b 9＝1，x 与b 9的序
号关系为2×9－1＝17＝x ，故应填入的等式为：b 1b 2·…·b n ＝b 1b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *
)．
答案：b 1b 2·…·b n ＝b 1b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *
) [专题技法归纳]
1．条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理，推导出所需寻求的条件．
2．结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．
3．存在判断型问题，以探究“是否存在”为目标的开放性问题是高考的一个热点，此类问题的探究，常以假设推理为基础．当得到存在性的结论时，需要检查逆向推理是否正确；当得出矛盾时，形成反证法，得出不存在的结论，对于不存在的问题，也可举反例说明．
4．规律探究型问题，从已知条件出发，寻找共性，总结出一般性结论，是从具体到抽象的认识过程．
1．写出一个满足f (xy )＝f (x )＋f (y )－1(x >0，y >0)的函数f (x )＝________. 解析：满足性质f (xy )＝f (x )＋f (y )－1(x >0，y >0)的函数可以是f (x )＝log a x ＋1. 答案：log a x ＋1
2．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2
＋y 2
4＝1的交点为A ，B ，点P
为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为1
2
的点P 的个数为________．
解析：直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′：2x ＋y －2＝0，该直线与椭圆相交于A (1,0)和B (0,2)，P 为椭圆上的点，且△PAB 的面积为12，则点P 到直线l ′的距离应为5
5，与l ′平行且与l ′
之间距离为
5
5
的直线方程为2x ＋y －3＝0或2x ＋y －1＝0，而2x ＋y －1＝0与椭圆有两个交点，2x ＋y －3＝0与椭圆没有交点，所以满足条件的点有2个．
答案：2
3．设α，β，γ为平面，m ，n ，l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是________． ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ ③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α
解析：①中，缺少条件m ⊂α；②中，当α∥β，β⊥γ时，m ∥β；③中，当α，β，γ两两垂直，β∩γ＝m 时，m ⊂β；④中，同时垂直于同一条直线的两个平面平行，即α∥β，又m ⊥α，则m ⊥β为真命题．
答案：④
4．已知平面区域D 由以A (1,3)，B (5,2)，C (3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y )可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.
解析：由A (1,3)，B (5,2)，C (3,1)的坐标位置知，△ABC 所在的区域在第一象限，故x >0，y >0.由z ＝x ＋my 得y ＝－1m x ＋z m ，它表示斜率为－1m ，截距为z
m
的直线．
(1)若m >0，则要使z ＝x ＋my 取得最小值，必须使z m 最小，此时需－1m ＝k AC ＝1－3
3－1
，即m ＝1；
(2)若m <0，则要使z ＝x ＋my 取得最小值，必须使z m
最大，此时在区域D 上只有A 点可使z 取得最小值，不合题意．
综上可知，m ＝1. 答案：1
5．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b
>0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．
解析：∵c a －d b ＝bc －ad
ab
，
∴ab ，bc －ad ，
bc －ad
ab
中有两个大于零时，第三个也大于零． 故三个命题均为真命题． 答案：3
6．已知点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (a,2)及到直线x ＝－12的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，则实数a 的值为________．
解析：由题意知，点P 在抛物线y 2
＝2x 上，故可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22，y ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＋122＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
2－a 2＋(y －2)2
，化简，
得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－a y 2－4y ＋a 2
＋154＝0.因为满足题意的P 点只有一个，所以，(1)若a ＝12，符合题意；(2)若a ≠12，
则Δ＝0，即a 3
－12a 2＋154a ＋178＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝
⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋174＝0，所以a ＝－12.综上可知，a 的值为12或－12.
答案：12或－1
2
7．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是________(只需写出一个可能的值)．
解析：根据“三角形中两边之和大于第三边”，可知每个面的三条边为{1,1,1}，{1,2,2}，{2,2,2}三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：116，11
12
，14
12
. 答案：
116⎝ ⎛⎭
⎪⎫或1112，1412
8．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )＞0.则不等式f (x ＋1)＞
x －1·f (x 2－1)的解集为________．
解析：记g (x )＝xf (x )，则有g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，故g (x )在R 上是增函数．不等式f (x ＋1)＞x －1·f (x 2
－1)等价于x ＋1f (x ＋1)＞x 2
－1.f (x 2
－1)，即g (x ＋1)＞g (x 2
－1)．由于g (x )在R 上是增函数，于是有x ＋1＞x
2
－1，x ＋1＞x 2
－1≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－1≥0，
x ＋1＞x 2
－1，解得1≤x ＜2.综上所述，
不等式f (x ＋1)＞x －1f (x 2
－1)的解集是{x |1≤x ＜2}．
答案：{x |1≤x ＜2}
9.给定正整数n (n ≥2)，按右图方式构成倒立的三角形数表，第一行依次写上
数1,2,3，…，n ，在第一行的每相邻两个数的正中间的下方写上这两个数的和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数，例如n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2 012时最后一行的数是
________． 解析：设最后一行(第n 行)的一个数为a n ，则通过计算，容易
得到：a 2＝3＝
3×20
，a 3＝8＝4×21
，a 4＝20＝5×22
，a 5＝48＝6×23
，a 6＝112＝7×24
……由此，可得a n ＝(n ＋1)×2n －2
，
所以当n ＝2 012时，最后一行的数a 2 012＝2 013×2
2 010
.
答案：2 013×2
2 010
10．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为________．(将代号C 1，C 2，C 3填入)
解析：由①得AB ＋AC ＝6，轨迹为椭圆，方程为C 3；由②得12BC ·|y |＝10，|y |＝5，即y 2
＝25；由③
将A 的轨迹是以BC 为直径的圆方程为C 2.
答案：C 3、C 1、C 2
11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2
上异于坐标原点O 的两不同动点A ，B
满足AO ⊥BO (如图所示)．
(1)求△AOB 得重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程．
(2)△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设△AOB 的重心为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 23，
y ＝y 1＋y 23，
∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，
又点A ，B 在抛物线上，∴y 1＝x 21，y 2＝x 22，代入上式并化简得x 1x 2＝－1.
∴y ＝y 1＋y 23＝13(x 21＋x 22)＝13[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝13×(3x )2＋23＝3x 2＋23
. ∴重心为G 的轨迹方程为y ＝3x 2＋23
. (2)S △AOB ＝12OA ·OB ＝12 x 21＋y 21 x 22＋y 22 ＝12
x 21x 22＋x 21y 22＋x 22y 21＋y 21y 22， 由(1)得S △AOB ＝12x 21＋x 22＋2≥12·2x 21·x 22＋2＝12 2 －1 6＋2＝12
×2＝1，当且仅当x 21＝x 22，即x 1＝－x 2＝－1时，等号成立．
∴△AOB 的面积存在最小值，且最小值为1.
12.对任意函数f (x )，x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如
下
①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f (x 0)；
②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f (x 1)，并依此规律继续下去．现定义f (x )＝4x －2x ＋1
. (1)若输入x 0＝4965
，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； (2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；
(3)若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n <x n ＋1，求x 0的取值范围． 解：(1)∵f (x )的定义域D ＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∴数列{x n }只有三项，x 1＝1119，x 2＝15
，x 3＝－1. (2)∵f (x )＝4x －2x ＋1
＝x ，即x 2－3x ＋2＝0. ∴x ＝1或x ＝2，即x 0＝1或2时，
x n ＋1＝4x n －2x n ＋1
＝x n . 故当x 0＝1时，x n ＝1，当x 0＝2时，x n ＝2(n ∈N *)．
(3)解不等式x <4x －2x ＋1
，得x <－1或1<x <2， 要使x 1<x 2，则x 2<－1或1<x 1<2.
对于函数f (x )＝4x －2x ＋1＝4－6x ＋1
. 若x 1<－1，则x 2＝f (x 1)>4，x 3＝f (x 2)<x 2，不满足题意． 若1<x 1<2时，x 2＝f (x 1)>x 1且1<x 2<2. 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n ＋1>x n (n ∈N *)．
综上所述，x 1∈(1,2)．
由x 1＝f (x 0)，得x 0∈(1,2)．。