高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》单元汇编及解析

【高中数学】数学高考《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．函数
f ( x)
| x |
a (a
R) 的图象不行能是
(
)
x
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 C 【分析】 【剖析】
变为分段函数后分段求导，经过对
a 分类议论，获得函数的单一性，依据单一性联合四个
选项可得答案 .
【详解】
x
a
, x 0
1
a
2 , x 0
f ( x)
x
x
.
,∴ f ( x)
x
a
1
a
, x 0
x 2 , x 0
x
(1)当 a
0 时 , f ( x)
x, x 0 x, x
,图象为 A;
a
a
f ( x) 在 (0,
) 上单一递加 ,
(2) 当
时 ,
1
0 ∴ x 2
,
令 1
a
0 得 x
a , x
2
∴当 x
a 时 , 1
a 0 ,
x
2
当 a
x
0 时 , 1
a 0 ,
x
2
∴ f ( x) 在 ( , a ) 上单一递减 ,在 ( a,0) 上单一递加 ,图象为 D; (3)当 a
0 时 ,
1
a 0 ,∴ f ( x) 在 (
,0) 上单一递减 ,
x
2
令 1
a 0 得 x
a , x 2
∴当 x
a 时,1
a 0 ,
x
2
当 0
x
a 时 , 1
a 0 ,
x
2
∴ f ( x) 在 (0,
,
, B;
a) 上单一递减 在 ( a, ) 上单一递加 图象为
应选： C.
【点睛】
此题考察了分段函数的图像的辨别，考察了分类议论思想，考察了利用导数研究函数的单一性，属于中档题 .
2．已知 f ( x)
1 x 3
3 则函数 f (x 1 )
f ( x 2 )
5 2
6ax b 的两个极值点分别为
x 1 , x 2 x 1
，
3
ax
x 2 且 x 2
x 1 ，
2
2
（ ）
1
A ． 1
B ．
C ． 1
D ．与 b 相关
6
【答案】 B 【分析】 【剖析】
求出函数的导数，利用韦达定理获得 a, x 1 , x 2 知足的方程组，解方程组能够获得
a, x 1, x 2 ，
从而可求 f x 1
f x 2
．
【详解】
f ' x
x
2
5ax 6a ，故 x 1 x 2
5a ， x 1 x 2 6a
，且 25a 2
24a 0 ，
又 x 2
3
x 1 ，所以 x 1 2a, x 2 3a ，故 6a
6a 2 ，解得 a 0 （舎）或许 a
1 ．
2
此时 x 1
2, x 2 3 ， f x
1 x 3 5 x
2 6x b ，
3 2
故 f x 1
f x 2
1
8 27
5
49 623
1
3
2
6
应选 B ． 【点睛】
假如 f
x
在 x 0 处及邻近可导且 x 0 的左右双侧导数的符号发生变化，则 x x 0 必为函数的
极值点且 f x 0 0．极大值点、极小值点的判断方法以下：
（1）在 x 0 的左边邻近，有
f ' x 0 ，在 x 0 的右边邻近，有 f ' x 0 ，则 x
x 0 为函数
的极大值点；
（2）在 x 0 的左边邻近，有
f ' x 0 ，在 x 0 的右边邻近 f ' x 0 ，有，则 x
x 0 为函数
的极小值点．
x
2
2 x
3．函数 f ( x) 的图像大概为
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 A
【分析】
x 2
∵函数 f
x
2x ?x 的定义域为 ( ,0) U (0,
)
4 1
∴
f ( x)
2 x ( x)2 2x x 2 f ( x)
4 x 1
1 4x
∴函数 f x 为奇函数，故清除 B ， C.
∵ f (1)
2 ，故清除 D.
3
应选 A.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面下手：(1)
从函数的定义域，判断图象的左右地点；从
函数的值域，判断图象的上下地点． (2)从函数的单一性，判断图象的变化趋向． (3)从函数
的奇偶性，判断图象的对称性． (4) 从函数的特点点，清除不合要求的图象．利用上述方法清除、挑选选项．
4．已知直线 y kx 2 与曲线 y
x ln x 相切，则实数 k 的值为（ ）
A ．
ln 2
B ． 1
C ． 1 ln2
D ． 1 ln2
【答案】 D 【分析】
由 y xlnx 得 y'
ln x 1 ，设切点为 x 0, y 0 ，则 k ln x 0 1 ，
y 0
kx 0 2
y 0
，
x 0 ln x 0
kx0 2 x0 ln x0， k ln x02
ln x0 1 ， x0 2 ，k ln 2 1 ，故，对照 k
x0
选 D.
5．设复数z a bi （i为虚数单位，a, b R ），若 a, b知足关系式 b2a t ，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是 ( )
A．[0,1]B．[ 1,1]C．(0,1) (1, )D．(1,)
【答案】 C
【分析】
【剖析】
第一依据复数的几何意义获得z 的轨迹方程y 2x t ，再依据指数函数的图象，获得对于
t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为x, y ，
x a
，即x，
y b2a y 2 t
t
由于 z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当解得x 0 时， 1 t 1 且 1 t0 ，t 0 且 t 1 ，
即 t 的取值范围是0,1 U 1,.
应选： C
【点睛】
此题考察复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，要点考察数形联合剖析问题的能力，属于基础题型.
ln x 6．函数f x
3的部分图象是（）
x
A．B．
C．D．
【答案】 A
【分析】
【剖析】
依据奇偶性清除B，当x1时，f
ln x
x0 ，清除CD，获得答案.
x3
【详解】
f x ln x
x
ln x
x， f x 为奇函数，清除B x3 , f x3
f
当 x 1 时，f
ln x
0 恒建立，清除CD x
x3
故答案选A
【点睛】
此题考察了函数图像的判断，经过奇偶性，特别值法清除选项是解题的要点. 7．函数y x3x 2 x的图象大概是（）
A．B．
C．D．
【答案】 C
【分析】
【剖析】
x
1，0，1 三
清除法：依据函数 y x 3 x 2 为奇函数，故图象对于原点对称；函数有
个零点；当 x 2 时，函数值为正数，进行选项清除即可.
【详解】
函数 y x 3
x 2 x 为奇函数，故图象对于原点对称，故清除
D ；
函数有 1， 0， 1 三个零点，故清除 A ； 当 x
2时，函数值为正数，故清除
B.
应选： C.
【点睛】
此题考察函数的图象，依据分析式求图像往常利用清除法，依照有函数奇偶性、单一性、 零点、定义域、值域、特别值等，属于中等题
.
8．三个数 a
70.3 , b 0.37 ,c ln 0.3 大小的次序是（ ）
A ． a c b
B ． a b c
C ． b a c
D ． c a b
【答案】 B 【分析】
试题剖析：依据指数函数和对数函数的单一性知：
a
70.3
70 1，即 a 1 ；
0 b 0.37 0.30 1，即 0 b 1 ； c
ln0.3 ln1 0 ，即 c 0 ；所以 a b c ，
故正确答案为选项
B ．
考点：指数函数和对数函数的单一性；间接比较法．
x 2 6x 3, x 0
f
f x
的零点个数为（
）
9． f x 4, x 0
，则函数 y
3x
A ．3
B ． 5
C ． 6
D ． 7
【答案】 D
【分析】
【剖析】
作出 f (x) 的图像，将
y
f f x 的零点个数即
f f x
0 的实数根个数，令
t f ( x) ，解 f (t)
0 有三个实数根，再联合图像即可获得答案
.
【详解】
由题意， y f f x 的零点个数即
f f x
0 的实数根个数，
作 f
x 的图像以下图，
设 t f ( x) ，则 f (t ) 0 ，
当 t 0 时，即 t 2 6t
3
0 ，解得， t 1
3 6, t 2
3 6 ；
当 t
时，即 3t
4
0 ，解得 t 3
log 3 4 ；
联合图像知，
f ( x)
3
6 时有一个根，
f ( x)3
6 时有三个根， f ( x) log 3 4 时有三个根，
所以 f f x
0 有 7 个根，即 y
f f
x
的零点个数为
7.
应选： D
【点睛】
此题主要考察函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考察学生数形联合的思想，属于中档题 .
10 ． 已知定义在 R 上的函数 f ( x ），其导函数为 f x ，若 f x f x3，
f
0 4 ，则不等式 f x
e x 3的解集是（ ）
A ．
,1
B ．
,0
C ．
0, D ． 1,
【答案】 B
【分析】
x
f x 3
f x
3
不等式 f x e
3得
1
e x
1，
e x
e x
设 g x
f x
3
， g x
f x
f x 3
e x
e x
所以 g
x 在 R 上是减函数，由于
g 0
4 3
g x g 0x 0 ．
1 1
应选 B ．
点睛：此题的难点在于解题的思路．
已知条件和研究的问题看起来仿佛没有剖析联系，这
里主要利用了剖析法，经过剖析结构函数，利用导数的知识解答．
1
1 3
11． 已知函数 f x
x 2 cos x ，若 a f log 1 3 ， b
f lo
g 3
， c f ，
5
5
5
则（ ）
A ． a b
c
B ． b a c
C ． c b a
D ． c
a b
【答案】 B
【分析】
【剖析】
判断 f x 为偶函数，利用导数得出 f x 在 0,
上单一递加，由对数函数的性质，联合
函数 f
x 的单一性和奇偶性，即可得出答案.
【详解】
f x
2
cos x
x 2 cos x
f x ，故 f
x 为偶函数
x 故只要考虑 x 0,
的单一性即可 .
f ' x
2x sin x ，当 x 0, 时，易得 f ' x 0
故 f
x 在 0, 上单一递加， a
f lo
g 1 3
f lo
g 5 3 ，
5
1
，
b
f log
3
5
f lo
g 3 5
3
由函数单一性可知
f
1 f log 5 3
f lo
g 3 5 ，即 c a b
5
应选： B
【点睛】
此题主要考察了利用函数的奇偶性以及单一性比较大小，属于中档题
.
12． 已知函数 f ( x) 为偶函数，当 x ＜ 0 时， f (x) x 2
ln( x) ，则曲线 y
f (x) 在 x ＝ 1
处的切线方程为（ ）
A ． x-y ＝ 0
B ． x-y-2＝ 0
C ． x+y-2 ＝ 0
D ． 3x-y-2＝ 0
【答案】 A 【分析】 【剖析】
先求出当 x 0 时， f ( x) 的分析式，再利用导数的几何意义计算即可获得答案.
【详解】
当 x 0 时，
x 0， f ( x)
x 2 ln x ，又函数 f ( x) 为偶函数，所以
f ( x)
x 2 ln x ，
f (1) 1，所以 f ' (x)
2x
1 ， f ' (1) 1，故切线方程为 y 1 x 1，即 y x .
x
应选： A ．
【点睛】
此题考察导数的几何意义，波及到函数的奇偶性求对称区间的分析式，考察学生的数学运算能力，是一道中档题 .
13． 已知函数 f x
1 e x
1
x x
y 轴
e
x 1
x 0
与 g x e ln x 1
ae 的图象上存在对于
对称的点，则实数 a 的取值范围是（
）
A ．
,1
1
B ．
1 , C ．
,1
1
D ． 1
1 ,
e
e
e
e
【答案】 D
【分析】
【剖析】 先求得 f
x 对于 y 轴对称的函数
h x ,则 h x
g x ,整理可得
1
ln x
1 1
a
e x
e
在 0,
上有解 ,设
1 ln x
1 ,可转变问题为 y
x 与
y
a 的图象在
x
1
e x
e
0,
上有交点 ,再利用导函数求得
【详解】
x 的范围 ,从而求解 .
由 f
x 对于 y 轴对称的函数为 h
x f x
1 e x 1
e x 1
1 x 0
,
e x 1
令 h x
g x ,得 e x 1 1 e x ln x 1 ae x x 0 ,
x 1
1 x x 1
x
在 0,
上有解 ,
则方程 e
e ln ae
即方程
1
ln x 1
1 a 在 0,
上有解 ,
e x
e
设 x
1 ln
x 1
1 ,
e
x
e
即可转变为 y
x 与 y a 的图象在 0,
上有交点 ,
Q
x
1
1 e x x 1
e
x
x
1 e
x
x 1 ,
令 ( )=e x
x 1 ，则 m (x)=e x
1 0 在
0,
上恒建立，所以 m(x)=e x
x 1在
m x
0,
上为增函数，∴
m x m 0
0 ，
即Q
x 0在 0,
上恒建立，
x 在 0,上为增函数 ,
当 x0时,则x0 11 , e
所以 a
1
, 1
e
应选 :D
【点睛】
此题考察利用导函数判断函数单一性,考察利用导函数办理函数的零点问题,考察转变思想 .
14．已知函数f x的导函数为 f x ，在 0,上知足 xf x f x ，则以下必定成立的是（）
A．2019 f20202020 f2019B．f2019f2020
． 2019 f20202020 f2019
D ． f2019f2020
C
【答案】 A 【分析】【剖析】
结构函数g x f x
，利用导数判断函数 y g x 在 0,上的单一性，可得出x
g 2019 和 g 2020
的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
令
g x f x
x0，则 g
xf x f x x x x2.
由已知得，当x0时， g x0 .
故函数 y g x在 0,上是增函数，所以g 2020g 2019 ，
即 f 2020f2019，所以 2019f20202020 f2019.
20202019
应选： A.
【点睛】
此题考察利用结构函数法得出不等式的大小关系，依据导数不等式的结构结构新函数是解
答的要点，考察推理能力，属于中等题.
15．已知函数f x x2mx 图象在点 A 1, f 1处的切线 l 与直线x 3y 20 垂直，1
的前 n 项和为 S n，则 S2018的值为（
若数列）
f n
2015
B．2016
C．
2017
D．
2018
A．
201720182019 2016
【答案】 D
【分析】
【剖析】
求出原函数的导函数，获得y f x在 x1时的导数值，进一步求得m ，可得函数分析式，而后利用裂项相消法可计算出S2018的值．
【详解】
由 f x x2mx ，得 f x2x m ， f 1 m 2 ，
由于函数 f x x2mx图象在点 A 1, f1处的切线 l 与直线x 3y 2 0垂直，
f 1m23，解得
m
，f x x2x ，则1
11111 f n n2n n n 1n n 1
.
S 201811111112018
所以，
22
L
20182019
1. 320192019
应选： D.
【点睛】
此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题．
16．一对夫妻为了给他们的独生孩子支付未来上大学的花费，从孩子一周岁诞辰开始，每
年到银行积蓄 a 元一年按期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动
转为新的一年按期，当孩子18 岁诞辰时不再存入，将所有存款（含利息）所有取回，则取
回的钱的总数为(
17 A． a (1r )
C． a (1r )18
【答案】 D
【分析】
【剖析】
由题意可得：孩子
)
B．
a
[(1r )17(1r )]
r
D．
a
[(1r )18(1r )]
r
18 岁诞辰时将所有存款（含利息）所有取回，能够当作是以 a (1r ) 为
首项， (1 r ) 为公比的等比数列的前17 项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】
解：依据题意，
当孩子 18 岁诞辰时，孩子在一周岁诞辰时存入的 a 元产生的本利共计为a(1r )17，
同理：孩子在 2 周岁诞辰时存入的 a 元产生的本利共计为a(1r )16，
孩子在 3 周岁诞辰时存入的 a 元产生的本利共计为a(1r )15，
孩子在 17 周岁诞辰时存入的 a 元产生的本利共计为 a (1 r ) ，
能够当作是以 a(1r ) 为首项， (1r ) 为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）所有取回，
则取回的钱的总数：
1716a(1 r )[(1r )171]a
18
S a(1 r )a(1r )a(1 r )
1[(1r )(1 r )] ；
1 r r 应选： D．
【点睛】
此题考察了不完整概括法及等比数列前n 项和，属中档题.
17
的定义域为 R ，其导函数为f x ．若 f x 3 恒建立，
．若函数 f x
f 20 ，则 f x 3x 6 解集为（）
A．, 2B．2,2C．,2D．2,
【答案】 D
【分析】
【剖析】
设 g x f x 3x 6 ，求导后可得g x 在 R 上单一递减，再联合g 20 即可得解.
【详解】
设 g x f x3x 6 ，
Q f x3，g x f x 3 0 ，g x在 R 上单一递减，
又 g2f2660 ，不等式 f x3x 6 即 g x0 ，
x2，不等式 f x3x 6 的解集为2,.
应选： D.
【点睛】
此题考察了导数的应用，要点是由题意结构出新函数，属于中档题.
18．已知函数 f ( x) 是定义在R上的偶函数，当x 0 ，f ( x) x33x ，则
3
f (log31
) ，c f (
a f (2 2 ) ,b
2) 的大小关系为（）
27
A． a b c B．a c b C．b a c D．b c a 【答案】 C
【分析】
【剖析】
利用导数判断 f ( x) x 3 3x 在 [0,
) 上单一递加，再依据自变量的大小获得函数值的大
小.
【详解】
Q 函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，
b
f (lo
g 3 1
)
f ( 3)
f (3) ，
27
3
3
，
Q 0
2 22
2 2
当 x
0 ， f ' ( x) 3x 2 3
0 恒建立， ∴ f (x)
x 3 3x 在 [0,
) 上单一递加，
1 )
3
f (lo
g 3 f (2 2 )
f ( 2) ，即 b a c .
27
应选： C.
【点睛】
此题考察利用函数的性质比较数的大小，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察逻
辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单一区间中
.
19． 已知函数 f
x
e x
x 2
ln x 的极值点为 x 1 ，函数 g x e x x 2 的零点为 x 2 ，
2
函数 h x
ln x
的最大值为 x 3 ，则（
）
2x
A ． x 1 x 2
x 3
B ． x 2
x 1 x 3
C ． x 3 x 1 x 2
D ． x 3 x 2
x 1
【答案】 A
【分析】
【剖析】
依据 f x 在 0,
上单一递加，且 f
1 1
0 ，可知导函数零点在区间
f
4
2
1 , 1
内，即 f x 的极值点 x 1 1 , 1 ；依据 g x 单一递加且 g
1 g 1
0 可知
4 2
4 2
2 4
x 2
1 , 1 ；经过判断 g x 1
g x 2 ，联合 g
x 单一性可得 x 1
x 2 ；利用导数可求得
4 2
h x
max
1 1 1
2e
4 ，即 x 3
，从而可得三者的大小关系 .
4
【详解】
Q f
x
e x x
1 在 0, 上单一递加
x
1
1
3
1 1
15
1 , 1 且 e x
1
x 1 1
且 f
e 2
0 ， f e 4 0
x 1
2
2 4
4
4 2
x 1
Q 函数 g x
e x x
2在 0,
上单一递加
且 g
1
1
3 0 ， g
1
1 1
1 1
e
2
e
4
2 0 x 2
,
2
2
4
4
4 2
又 g x 1
e
x
1
x 1 2
1 x 1 x 1
2 1
2 0 g x 2
x 1
x 1
且 g x 单一递加
x 1 x 2
由 h
x
1 ln x 可得： h
x
max
h e
1 1 1
2x 2
，即 x 3
4
2e
2e x 1 x 2 x 3
此题正确选项： A
【点睛】
此题考察函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，波及到零点存在定理的应用，易错
点是判断 x 1, x 2 大小关系时，未联合
g x 单一性判断出
g x
g x ，造成求解困难 .
1
2
20． 已知函数 f ( x)
x 2 1,x 0
a
1，则实数 a 的取值范围是（ ）
log 2 x , x
，若 f
A ． ( 4] U [2, )
B ． [ 1,2]
C ． [
4,0) U (0,2]
D ． [ 4,2]
【答案】 D
【分析】
【剖析】
不等式 f a
1等价于
a
0, 或
a 0,
分别解不等式组后，取并集可求得a
a 2 1
log 2 a
1,
1,
的取值范围 .
【详解】
f a
1
a 0,
或
a 0,
，
a 2
log 2 a
1 1, 1,
解得： 4 a 0 或 0 a
2 ，即 a [
4,2] ，应选 D.
【点睛】
此题考察与分段函数相关的不等式，会对
a 进行分类议论，使
f ( a) 取不一样的分析式，从
而
将不等式转变为解绝对值不等式和对数不等式.。