《离心率求值的几种必会套路》解析版-高考数学90个考点90个专题

【考点辨析】
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，在历年高考试题中屡见不鲜，试题难度不定。

此类试题考查一般包括
求离心率的值和求离心率的范围两类，本质上都是考查圆锥曲线的基本量和基本性质。

要此解决此类问题
一定要基础知识扎实熟练掌握圆锥曲线的基本定义，基本量、基本性质以及二级结论，还要求注重联系之前
所学的各种知识比如解三角形和平面向量。

【知识储备】
（1）圆锥曲线的各类定义：
《离心率求值必会的几种套路》高考数学90个考点90个微专题
①椭圆的各类定义：
②双曲线的各类定义：
（2）圆锥曲线的基本量a,b,c,e：
①椭圆的基本量关系：平方关系，商数关系
②双曲线的基本量关系：平方关系，商数关系
（3）圆锥曲线中关于a,b,c,e的结论：
①椭圆的常用结论：
②双曲线的常用结论：
【典例剖析】
类型一：给数据关系处理离心率
例1.若m是2和8的等比中项，则圆曲曲线x2+y2
m=1的离心率是
【解析】答案3
2或5
由m是2和8的等比中项，则m=4或-4
当m=4时，方程为x2+y2
4=1此时离心率为
3
2
当m=-4时，方程为x2-y2
4=1此时离心率为5
例2.中心在原点的双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0，则C的离心率为
【解析】【答案】3或6 2
【分析】分焦点在不同坐标轴讨论即可.
【详解】解：如果焦点坐标在x轴，双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0，
则b
a=2，所以b=2a，所以c=a
2+b2=3a，此时e=3；
如果双曲线的焦点坐标在y轴，双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0，
则a
b=2，所以a=2b，可得c=
6
2a，所以e=
6
2．
类型二：给图形关系通过坐标处理离心率
例3.已知F
1、F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点，过F1垂直于x轴的直线，交椭圆于A、B两
点，若△ABF2为等边三角形，则椭圆离心率为
【解析】【分析】利用已知条件，推出a、b、c的关系，然后求解椭圆的离心率即可．
【详解】令椭圆x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，则直线AB:x=-c，
由x =-c
x 2a 2+y
2b 2
=1
消去x 得：|y |=b 2a ，则|AB |=2b 2a ，由△ABF 2为等边三角形，得|F 1F 2|=32|AB |，即2c =32⋅2b 2
a
，
即2ac =3b 2=3(a 2-c 2)，整理得3e 2+2e -3=0，又0<e <1，
所以e =3
3
.
例4.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂
足为A ，并与双曲线C 交于点B ，且有FB =2BA
，则双曲线C 的离心率为
【解析】【答案】5
【分析】计算出B 点坐标，然后带入椭圆方程，化简即可得到a ,c 关系的方程，进而得出e.
【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线为y =b
a
x ,
因为左焦点F (-c ,0),所以直线FA 的方程为y =-a b
(x +c ),与y =b
a x
两式联立可得A -a 2c ,-ab
c ,
设B (x ,y )，因为FB =2BA ⇒x +c ,y =2-a 2c -x ,-ab
c
-y ,
即x +c =-2x +a 2c ,y =-2y +ab c ，所以B -2a 2-c 23c ,-2ab
3c
,
将B 点坐标代入双曲线方程得：-2a 2-c 23c 2-a b 2-2ab 3c 2=a 2
,上式整理得c 2=5a 2,即离心率e = 5.
类型三：给图形关系通过多边多角处理离心率
例5.已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2
=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，A ,B 是椭圆C 上关于原点对称的
两点，且AF 1 =3BF 1 ，若OA =OF 2 ，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率是
【解析】【答案】
10
4
【分析】通过椭圆的对称性及椭圆定义求出AF 1 ,AF 2 ，然后通过∠F 1AF 2=90°列式计算求出离心率.
【详解】由椭圆的对称性可得AF 2 =BF 1 ，
则AF 1 +AF 2 =AF 2 +3AF 2 =4AF 2 =2a ，
所以AF 2 =12a ，AF 1 =3
2
a ，
又OA =OF 2 =OF 1 ，得∠F 1AF 2=90°，
所以AF 1 2+AF 2 2=14a 2+94a 2=5
2
a 2=F 1F 2 =4c 2
所以e =c a =58=10
4
.
例6.已知双曲线C
:x 2
a 2-y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别是F 1,F 2，M 是双曲线C 右支上的一点，
F 1M 交双曲线C 的左支于点N ，若NF 1 :MN :MF 2 =1:2:2，则C 的离心率为.
【解析】【答案】7【详解】如图所示：
因为M 是双曲线C 右支上的一点，F 1M 交双曲线C 的左支于点N ，若NF 1 :MN :MF 2 =1:2:2，
由双曲线的定义，可得2a =MF 1 -MF 2 =NF 1 +MN -MF 2 =NF 1 ，NF 2 -NF 1 =2a ，
则NF 2 =2a +NF 1 =4a ，所以MN =MF 2 =2NF 1 =4a =NF 2 ，
故△MNF 2为等边三角形，则∠F 1MF 2=π
3，
在△MF 1F 2中，MF 1 =6a ,MF 2 =4a ,∠F 1MF 2=π
3
，由余弦定理可得2c =F 1F 2 =MF 1
2
+MF 2 2-2MF 1 MF 2 cos π3
=
(6a )2+(4a )2-2×6a ×4a ×1
2
=27a ，
因此，双曲线C 的离心率为e =c
a
=7．故答案为：7．
类型四:给特殊图形通过二级结论巧算离心率
例7.斜率为12的直线与椭圆x 2
a 2+y 2
b 2
=1(a >b >0)交于A ，B 两点，M (-2,1)为线段AB 的中点，则
椭圆的离心率为．
【解析】【答案】
3
2
【详解】结论法：k AB ∙k OM =e 2-1即可算出e =
3
2
另解：
令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 21a 2+y 21b
2=1x 22a 2+y 22b
2=1 ，可得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2
=0，
所以y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)，又M (-2,1)为线段AB 的中点，且直线AB 斜率为12，
所以12=--4b 22a 2=2b 2a 2⇒b 2a 2=14，则e =1-b 2
a
2=32.故答案为：
3
2
例8.
已知双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1a >0，b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，以
F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P ，且∠PA 1A 2=π
3
，则双曲线C 的离心率为
【解析】【答案】13
【分析】利用双曲线渐近线确定cos ∠POA 2=a
c
，由余弦定理可得PA 2 =b ，再由勾股定理得PA 2⊥
A 1A 2，又由∠PA 1A 2=π3确定tan ∠PA 1A 2=b 2a =3得b
a
=23，最后根据e =1+b a 2求得离心
率 .
【详解】
根据题意可知：点P 在以O 为圆心c 为半径的圆上，所以OP =c ；
根据双曲线渐近线方程为y =±b a x 有tan ∠POA 2=b
a
，
即cos ∠POA 2=a
c
，在△POA 2中，OA 2=a ，OP =c ，
余弦定理有PA 2 2=OP 2+OA 2 2-2OP ⋅OA 2 ⋅cos ∠POA 2，解得PA 2 =b ；由双曲线中c 2-a 2=b 2即OP 2-OA 2 2=PA 2 2所以PA 2⊥A 1A 2；
在Rt △PA 1A 2中，∠PA 1A 2=π3，tan ∠PA 1A 2=b 2a =3，所以b
a
=23，
所以双曲线离心率e =1+b a 2
=1+12=13.
结论法：当渐近线上的点P 到原点的距离正好为c 时，则PA 2⊥A 1A 2,此时tan π3=PA 2 A 1A 2
=b
2a =3可得b =23a 即b 2=12a 2从而c 2-a 2=12a 2∴c
a
=13【教考衔接】
练1.若椭圆x 2
a
2+y 2=1a >1 长轴长为4，则其离心率为.
【答案】3
2
【分析】根据长轴长确定a =2，计算c =3，得到离心率.
【详解】椭圆x 2
a 2+y 2=1a >1 长轴长为4，即2a =4，a =2，c =a 2-1=3，
故e =c a =3
2
.
练2.已知椭圆x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为B ，若
△F 1F 2B 为正三角形，则此椭圆的离心率为
【答案】
12
【分析】利用△F 1F 2B 为正三角形，确定几何量之间的关系，进而可求椭圆的离心率．【详解】
因为△F 1F 2B 为正三角形，所以∠BF 1F 2=60°，
所以在Rt △F 1OB 中，b =c ⋅tan60°=3c ，所以b 2=a 2-c 2=3c 2，
所以a =2c ，即e =c a =1
2
，
练3.已知双曲线E ：x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 作x 轴的
垂线，垂线与双曲线E 的一个交点为P ，PF 的中点为Q ，直线AQ 与直线OP (O 为坐标原点)的交点在双曲线E 上，则双曲线E 的离心率为
【答案】3
【分析】利用双曲线通径的知识明确点P ，Q 的坐标，根据双曲线的对称性就可以得到B 点坐标，再结合Q ，A ，B 三点共线，用向量方法可求a ，c 的关系，得到离心率.
【详解】易知A (a ,0)，F (c ,0)，不妨设P c ,b 2a ，则Q c ,b 2
2a
．设直线AQ 与直线OP 的交点为B ，
因为B 在双曲线E 上，所以B ，P 关于原点对称，即B -c ,-b 2
a
．
因为Q ，A ，B 三点共线，所以BA ⎳AQ
．
因为BA =a +c ,b 2a ，AQ =c -a ,b 2
2a ，
所以(a +c )⋅b 22a =b 2a ⋅(c -a )，所以3a =c ，e =c
a
=3．
练4.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一
点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是
【答案】
55
【分析】确定各点坐标，根据PF 2∥AB 得到k AB =k PF 2，确定b =2c ，得到离心率.【详解】椭圆方程x 2a 2+y 2b
2=1a >b >0 ，
则点P 的坐标为-c ,b 2
a
，A a ,0 ，B 0,b ，F 2c ,0 ，
于是k AB =-b a ，k PF 2=-b 22ac ，由k AB =k PF 2得-b a =-b 2
2ac
，即b =2c ，
故a =5c ，e =c a =5
5
．
已知双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2.过F 2的直线交双曲
线C 右支于A ,B 两点，且AF 2 =3F 2B ,AB =AF 1 ，则C 的离心率为
【答案】2
【分析】设F 2B =n ，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出BF 1 =4a ，AF 1 =AB =8a ，
由余弦定理求出cos ∠F 1BA =14，进而得到c
a
=2，得到答案.
【详解】由已知可设F 2B =n ，则AF 2 =3n ，
故AF 1 =AB =F 2B +AF 2 =4n ，
由双曲线的定义有2a =AF 1 -AF 2 =n ，故F 2B =n =2a ，AF 1 =AB =4n =8a ，故BF 1 =2a +BF 2 =4a ，
=16a 2+64a 2-64a 22×4a ⋅8a =1
4.
BF 1 2+BF 2 2-2BF 1 ⋅BF 2 cos ∠F 1BA ，
1(a >b >0)的焦点为F 1,F 2，直线l 过F 1且和椭圆C 交于A ，B 两
C 的离心率为
再利用余弦定理求得离心率.
【详解】设AF 1 =3n ,F 1B =n ,BF 2 =5m ,AF 2 =3m ，由椭圆的定义得3n +3m =2a
n +5m =2a ，
解得m =n =
a 3
令椭圆焦距为c ，在△AF 1F 2和△ABF 2中，由余弦定理得cos A =a 2+a 2-2c 2
2a 2
=
43a 2+a 2-53a
22⋅43
a ⋅a ，
整理得a 2=2c 2,c a =2
2
，
所以椭圆C 的离心率为2
2
.
故答案为：
22
练7.已知双曲线E ：x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线E 上
的一点，目∠F 1PF 2=60°，射线PN 平分∠F 1PF 2，交x 轴于点N ，若2F 1N =3NF 2
，则双曲线E 的离心率为
【答案】7
【分析】由角平分线性质定理结合双曲线定义求出PF 1 =6a ，PF 2 =4a ，在△F 1PF 2中利用余弦定理求得a ,c 关系式，即可求得答案.
【详解】由题意，不妨设P 在双曲线右支上，
因为射线PN 平分∠F 1PF 2，2F 1N =3NF 2
，
∴
PF 1 PF 2
=
3
2
，由双曲线定义知：PF 1 -PF 2 =2a ，则PF 1 =6a ，PF 2 =4a ，
在△F 1PF 2中，由余弦定理得：PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 cos60°=|F 1F 2|2=4c 2，
得4c 2=28a 2，
∴双曲线E 的离心率e =
c
a
=7,练8.已知双曲线C ：x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为22a ，则
C 的离心率为
【答案】3
【详解】双曲线C 的一个焦点F c ,0 到一条渐近线y =b
a
x ,即bx -ay =0的距离为d =bc
b 2+a
2
=
bc
c
=b ，则b =22a ，即
b
a
=22，所以C 的离心率e =1+b 2
a 2=1+8=3．
结论法:焦点到一条渐近线的距离为b ,则b =22a ，即b
a
=22,所以C 的离心率e =
1+b 2
a
2=1+8=3
练9.已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b
2=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为1
的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足AF 2 =3F 2B
，则椭圆的离心率为．
【答案】2
2
【详解】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数、椭圆的离心率公
式进行求解即可.
【解答】结论法:ecosθ =
λ-1 λ+1
即可算出e =
22
解法2：焦半径公式解法3：定比分点点差法解法4常规方法：
设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,F 2c ,0 ，由AF 2 =3F 2B ⇒c -x 1=3x 2-c -y 1=3y 2 ⇒y 1=-3y 2，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F 2(c ，0)，
设直线AB 的方程为y =x -c ⇒x =y +c ，代入椭圆的方程中，得a 2+b 2 y 2+2b 2cy -b 4=0，因为2b 2c 2+4a 2+b 2 b 4>0，
所以有y 1+y 2=-2b 2c a 2+b 2,y 1y 2=-b 4
a 2+
b 2，而y 1=-3y 2，
所以有-2y 2=-2b 2c a 2+b 2,-3y 2
2=-b 4a 2+b 2
，
于是有3b 2c a 2+b 2 2=b 4a 2+b
2⇒a 2+b 2=3c 2⇒a 2+a 2-c 2=3c 2⇒a 2=2c 2
⇒e =
2
2
故答案为：
2
2。