行列式(线代)总结

f ( x ) 2 x 2 3 x 1.
练习题
738 427 327
1、
D3 728 543 443 718 721 621
1 2 D4 1 1 0 1 2 1 0 3 2 1 2 2 3 4
2、
练习题
x1 m
3、
x2

xn xn
Dn
x1 x1
1 a1
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和,则这个行列式等于两个行列式之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式 不变．
行列式按行和列展开 在 n 阶行列式中，划去a ij 所在的第i 行和第 j 列 留下来的 n 1阶行列式叫做元素a ij 的余子式， 记作 M ij . i j 记 Aij 1 M ij，叫做元素 a ij的代数余子式．

c2 cn 1 cn
其中
a1a2 an 0
x2 m x2
1 1
xn m
1 1 1 1 an
4、
Dn
1 1 1
1 a2 1 1 1 a3 1 1
练习题
a0 c1
5、 D
n
b1 a1 0 0 0
b2 bn 1 0 a2 0 0 0 0 an 1 0
bn 0 0 0 an
或
p1 p 2 p n
1 a p1 1a p 2 2 a p n n
t
D
p1 p2 pn
1 a
t
1 p1
a2 p2 anpn
其中 t 为排列 p1 p2 pn 的逆序数.
5 n阶行列式的性质 DT D 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 .
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
由题意得
f (1) a b c 0, f ( 2 ) 4a 2b c 3 , f ( 3) 9a 3b c 28,
D 20 0, D2 60,
D1 40, D3 20.
由克莱姆法则，得 D D D a 1 2, b 2 3, c 3 1. D D D 于是，所求的多项式为
7、定义证明
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n , D1 a n1 a n 2 a nn
a11 a 21 b D2 a n1 b
证明 D1 D2
n 1
a12 b a 22 an2 b
1Байду номын сангаас
a1n b1 n a 2 n b2 n , a nn
xj D , j 1,2, , n
7
其中 D j 为将系数行列式中 x j 的系数换为常数 项所得行列式。 齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是， 它的系数行列式等于零.
逆序数的求法
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2 k 3 k 1 k
解
t (2k 1) (2k 3) (2k 5) 1 k 2
行列式的求法
a1
1、定义法
a 2 a n 1 0 b2 0 0 0 bn1
an 0 0 0
b1 0 0
x 0
2、展开法
y x 0 0 0
0 0 y 0 x 0 0 x 0 0
x1 x2
0 0 0 y x
x1 xn x2 xn
0 0 y
1 x12
3、加边法
x2 x1 xn x1
1 x2 2 xn x2
1 xn 2
a1 b1 a1 b2 a1 bn a2 b1 a2 b2 a2 bn 4、拆分法 an b1 an b2 an bn
３
对换
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换． 定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 定理 在所有n！个不同的元素的所有排列中， 奇、偶排列各占一半．
4
n阶行列式的定义
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
0
5、三角法
1
1

1 0 0
1 a1 0 1 0 a2 1 0 0
an
6、范德蒙德行列式
a1n Dn1 a2 n an 1 n
a1n1b1 a2 n1b2

a1b1n1 a2b2 n1
b1n b2 n
an1n1bn1 an1bn1n1 bn1n
6
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn aik Ajk D ij
k 1 n
n
a1s A1t a2 s A2t ans Ant aks Akt D st
k 1
1 , 当 i j， ij 0 , 当 i j.
克拉默 法则 在线性方程组中，若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为 零，则称此方程组为非齐次线性方程组；
若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零，则称此方程组 为齐次线性方程组. 若 n 个方程 n 个未知数的线性方程组的系 数行列式 D 0, 则线性方程组一定有唯一解, Dj 且解可由下式给出
n 2
小结
计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用． 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上 的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再 考察它是否能用常用的几种方法．
克拉默法则 求一个二次多项式 f ( x ) ，使 f (1) 0, f (2) 3, f ( 3) 28 解 设所求的二次多项式为 f ( x ) a x2 bx c,
１
排列
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元 素的全排列（或排列）.
且 Pn n!．
２ 逆序数
n 个不同的元素的所有排列的种数用 Pn 表示，
在一个排列 p1 pi p j pn 中，若数 pi p j， 则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序 的总数称为此排列的逆序数． 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶 数的排列称为偶排列．