与广义Baouendi-Grushin向量场相关的L~p加权Hardy型不等式
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网络出版地址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ３ ６ ． １ ０ ３ ７ ． Ｃ ． ２ ０ １ ３ ０ ６ ０ ９ ． １ ０ ５ ０ ． ０ １ ６ ． ｈ ｔ ｍ ｌ
廖 冬妮 ， 王 家林 ， 喻泽峰 ， 吴诗敏ｂ
（ 赣南师范学 院 ａ数学与计算机科学学 院 ； ｂ物理与 电子信息学院 ， 江西 赣州 摘 ３ ４ １ ０ ０ ０ ） 要： 研 究与 广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ向量场相 关的 Ｌ ｐ 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不等 式．注意到 已有 结果通常对 ｐ限制
２ ０１ ３焦
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ｏ． ３
第三期
Ｊ ｕ ｎ ｅ ． ２ ０ １ ３
与广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ 向量 场 相 关 的 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不 等式
Ｈ ｒｄ ａ ｙ型 不等式 ．
众所周知 ， 包含 Ｈ ｅ ｉ ｓ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ 群和 Ｈ — ｔ ｙ ｐ ｅ 群的 Ｃ ａ ｒ ｎ ｏ ｔ 群， 其上向量场满足 Ｈ ｉ ３ ｍａ ｒ ｎ ｄ ｅ ｒ 条 件和左不变 的性 质． 然而 ， 广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ （ 后面简称 Ｂ — Ｇ） 向量 场 不 具 备 这 两 个 好 的性 质 ． 因此 广 义 Ｂ ． Ｇ 向量 场 与 Ｃ ａ ｍｏ ｔ 群上的向量场有本质区别． Ｐ ． Ｎ ｉ ｕ 等人在文献 ［ ８ ］ 中利用 Ｐ ｉ ｃ ｏ ｎ ｅ 型恒等式 的方法研究了与 Ｂ Ｇ向量
为： １＜Ｐ＜Ｑ或 １＜Ｐ＜Ｑ＋ ， Ｏ ／ Ｅ ， 其 中Ｑ为齐次维数． 本 文通过 改进 Ｋ ０ ｍ ｂ ｅ 的证 明技巧 ， 对 １＜Ｐ＜＋∞ （ ｐ≠Ｑ ＋ ）和 Ｐ ＝Ｑ＋ 分别建立相应加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不等式．
关键词 ： 广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ算子 ； 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不等式 ； 非Ｈ ６ ｒ ｍ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ 向量场
Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型 不 等 式 ： 『 Ｖ 咖 Ｊ ｄ ｚ ｄ （ 手 ） ｌ 咖 ｆ （ 告） 出 ｄ ｔ ， 其 中 Ｑ ＝ ２ 几 ＋ ２ 为 的 齐 次 维 数 ． 后
来， Ｐ ． Ｎ ｉ ｕ 等人在文献［ ５ ］ 中得到了 上Ｌ ｐ （ １＜Ｐ＜Ｑ ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式． Ｙ ． Ｊ ｉ ｎ ［ 则在更广泛的 Ｈ ． ｔ ｙ ｐ ｅ 群 上建立 了 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式． 最近， Ｙ ． Ｊ ｉ ｎ和 Ｓ ．Ｓ ｈ ｅ ｎ ［ ７ 在更一般的 Ｃ ａ ｒ ｎ ｏ ｔ 群上证明了一类加权的 一
等 式 为 ： ｆ Ｖ 咖 Ｉ ｄ （ ）
ｄ ｘ ， 其 中 咖 Ｅ （ 尺 ｛ ｏ ｝ ， 并 且 常 数 （ ） 是 最 佳 的 … ．
近年来 ， 有大量文献研究次 Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ 空间上的 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式 。 。 ， 这些不等式在线性和非线性偏微分 方 程 的研 究 中扮 演 着 重要 的 角 色． 在 Ｈｅ ｉ ｓ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ群 情形 ， Ｇ ａ ｒ ｏ ｆ ａ ｌ ｏ和 Ｌ ａ ｎ ｃ ｏ ｎ ｅ ｌ ｌ ｉ 在文 献 ［ ４ ］ 中建 立 了 己 ．
十 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ５—１ ５ 网络 出版 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ６—０ ９
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ １ １ １ ２ ６ ２ ９ ４ ） ； 江西省教育厅科技计划项 目（ Ｇ Ｊ Ｊ １ ３ ６ ５ ７ ） 作者简介 ： 廖冬妮（ １ ９ ８ ３ 一） ， 女， 赣南师范学院数学与计算 机科学 学院讲 师， 硕士 ， 主要研究 方 向： 泛函分析 ； 王家林 （ １ ９ ８ １ 一） ， 男， 赣南 师范学院数学与计算机科 学学院 ， 副教授 ， 博士， 主要研究方 向： 偏微分方程理论及其应用．
中图分类号 ： ０１ ７ ５ ． ２ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ４— ８ ３ ３ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ６ ３— ０ ４
１ 引 言
我们知道， Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 不等式及其推广形式在数学的许多领域起着重要作用． 的经典Ｌ ｐ （ １＜ Ｐ＜凡 ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 不
场 相 关 的 （ １＜ ｐ＜Ｑ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不 等式 ：
＋
ｆ Ｖ 咖 ｌ ｄ ｚ ｄ ｔ （ ） …ｆ 咖 Ｖ ｌ 出 ｄ ，
（ １ ． １ ）
其中 Ｅ ｃ （ Ｒ ” ＼ ｛ ０ ｝ ， Ｑ为齐次维数 ， Ｖ 为广义梯度 （ 见（ ２ ． ２ ） ） ． 我们也注意到文献［ ９ ］ 考虑了Ｐ＝Ｑ时的 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式． 后来 ， Ｋ ｏ ｍ ｂ ｅ ¨ 。 。 建立了如下加权的 （ １ ＜ ｐ ＜ Ｑ＋ Ｏ ｔ ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式 ：
上 ＋ ｌ ７ 咖 『 ｌ Ｖ ｌ “ ｄ ｆ ≥ （ ± 詈 ＿ 二 二 ） ｌ 咖 Ｖ ｆ 出
显然 ， 当（ １ ． ２ ） 中的 ＝ ＝０时 ， 即得 不等 式 （ １ ． １ ） ．
（ １ ． ２ ）
注意到 ： Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式（ １ ． １ ） 对 Ｐ的限制范围为 １ ＜ ｐ＜ Ｑ ， 加权 Ｈ ｒ ａ ｄ ｙ 型不等式 （ １ ． ２ ） 对 Ｐ的限制范围
廖 冬妮 ， 王 家林 ， 喻泽峰 ， 吴诗敏ｂ
（ 赣南师范学 院 ａ数学与计算机科学学 院 ； ｂ物理与 电子信息学院 ， 江西 赣州 摘 ３ ４ １ ０ ０ ０ ） 要： 研 究与 广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ向量场相 关的 Ｌ ｐ 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不等 式．注意到 已有 结果通常对 ｐ限制
２ ０１ ３焦
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ｏ． ３
第三期
Ｊ ｕ ｎ ｅ ． ２ ０ １ ３
与广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ 向量 场 相 关 的 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不 等式
Ｈ ｒｄ ａ ｙ型 不等式 ．
众所周知 ， 包含 Ｈ ｅ ｉ ｓ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ 群和 Ｈ — ｔ ｙ ｐ ｅ 群的 Ｃ ａ ｒ ｎ ｏ ｔ 群， 其上向量场满足 Ｈ ｉ ３ ｍａ ｒ ｎ ｄ ｅ ｒ 条 件和左不变 的性 质． 然而 ， 广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ （ 后面简称 Ｂ — Ｇ） 向量 场 不 具 备 这 两 个 好 的性 质 ． 因此 广 义 Ｂ ． Ｇ 向量 场 与 Ｃ ａ ｍｏ ｔ 群上的向量场有本质区别． Ｐ ． Ｎ ｉ ｕ 等人在文献 ［ ８ ］ 中利用 Ｐ ｉ ｃ ｏ ｎ ｅ 型恒等式 的方法研究了与 Ｂ Ｇ向量
为： １＜Ｐ＜Ｑ或 １＜Ｐ＜Ｑ＋ ， Ｏ ／ Ｅ ， 其 中Ｑ为齐次维数． 本 文通过 改进 Ｋ ０ ｍ ｂ ｅ 的证 明技巧 ， 对 １＜Ｐ＜＋∞ （ ｐ≠Ｑ ＋ ）和 Ｐ ＝Ｑ＋ 分别建立相应加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不等式．
关键词 ： 广义 Ｂ ａ ｏ ｕ ｅ ｎ ｄ ｉ — Ｇ ｒ ｕ ｓ ｈ ｉ ｎ算子 ； 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不等式 ； 非Ｈ ６ ｒ ｍ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ 向量场
Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型 不 等 式 ： 『 Ｖ 咖 Ｊ ｄ ｚ ｄ （ 手 ） ｌ 咖 ｆ （ 告） 出 ｄ ｔ ， 其 中 Ｑ ＝ ２ 几 ＋ ２ 为 的 齐 次 维 数 ． 后
来， Ｐ ． Ｎ ｉ ｕ 等人在文献［ ５ ］ 中得到了 上Ｌ ｐ （ １＜Ｐ＜Ｑ ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式． Ｙ ． Ｊ ｉ ｎ ［ 则在更广泛的 Ｈ ． ｔ ｙ ｐ ｅ 群 上建立 了 加权 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式． 最近， Ｙ ． Ｊ ｉ ｎ和 Ｓ ．Ｓ ｈ ｅ ｎ ［ ７ 在更一般的 Ｃ ａ ｒ ｎ ｏ ｔ 群上证明了一类加权的 一
等 式 为 ： ｆ Ｖ 咖 Ｉ ｄ （ ）
ｄ ｘ ， 其 中 咖 Ｅ （ 尺 ｛ ｏ ｝ ， 并 且 常 数 （ ） 是 最 佳 的 … ．
近年来 ， 有大量文献研究次 Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ 空间上的 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式 。 。 ， 这些不等式在线性和非线性偏微分 方 程 的研 究 中扮 演 着 重要 的 角 色． 在 Ｈｅ ｉ ｓ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ群 情形 ， Ｇ ａ ｒ ｏ ｆ ａ ｌ ｏ和 Ｌ ａ ｎ ｃ ｏ ｎ ｅ ｌ ｌ ｉ 在文 献 ［ ４ ］ 中建 立 了 己 ．
十 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ５—１ ５ 网络 出版 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ６—０ ９
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ １ １ １ ２ ６ ２ ９ ４ ） ； 江西省教育厅科技计划项 目（ Ｇ Ｊ Ｊ １ ３ ６ ５ ７ ） 作者简介 ： 廖冬妮（ １ ９ ８ ３ 一） ， 女， 赣南师范学院数学与计算 机科学 学院讲 师， 硕士 ， 主要研究 方 向： 泛函分析 ； 王家林 （ １ ９ ８ １ 一） ， 男， 赣南 师范学院数学与计算机科 学学院 ， 副教授 ， 博士， 主要研究方 向： 偏微分方程理论及其应用．
中图分类号 ： ０１ ７ ５ ． ２ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ４— ８ ３ ３ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ６ ３— ０ ４
１ 引 言
我们知道， Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 不等式及其推广形式在数学的许多领域起着重要作用． 的经典Ｌ ｐ （ １＜ Ｐ＜凡 ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 不
场 相 关 的 （ １＜ ｐ＜Ｑ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ型不 等式 ：
＋
ｆ Ｖ 咖 ｌ ｄ ｚ ｄ ｔ （ ） …ｆ 咖 Ｖ ｌ 出 ｄ ，
（ １ ． １ ）
其中 Ｅ ｃ （ Ｒ ” ＼ ｛ ０ ｝ ， Ｑ为齐次维数 ， Ｖ 为广义梯度 （ 见（ ２ ． ２ ） ） ． 我们也注意到文献［ ９ ］ 考虑了Ｐ＝Ｑ时的 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式． 后来 ， Ｋ ｏ ｍ ｂ ｅ ¨ 。 。 建立了如下加权的 （ １ ＜ ｐ ＜ Ｑ＋ Ｏ ｔ ） Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式 ：
上 ＋ ｌ ７ 咖 『 ｌ Ｖ ｌ “ ｄ ｆ ≥ （ ± 詈 ＿ 二 二 ） ｌ 咖 Ｖ ｆ 出
显然 ， 当（ １ ． ２ ） 中的 ＝ ＝０时 ， 即得 不等 式 （ １ ． １ ） ．
（ １ ． ２ ）
注意到 ： Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 型不等式（ １ ． １ ） 对 Ｐ的限制范围为 １ ＜ ｐ＜ Ｑ ， 加权 Ｈ ｒ ａ ｄ ｙ 型不等式 （ １ ． ２ ） 对 Ｐ的限制范围