高考三轮冲刺导数单调性与极值最值压轴题方法归纳

导数与单调性、极值、最值问题
【题型】
一．函数的单调性求参数 二．极值与参数 三．最值与参数 四．极值点偏移 五．恒成立问题求参数 【方法规律总结】 一．函数的单调性求参数 例1．已知函数()()()2
11ln ln 22
x x f k k x x R =-
--∈. （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当1k >时，讨论函数()f x 的零点的个数.
【解析】（1）()l 'n ln 1x f x x x
x x
-=-
=， 令()()1
ln '1x x g x g x x
=-⇒=-，易得()g x 在(]0,1上递减，()1,+∞上递增，
∴()()()min 110'0g x g f x ==>⇒>，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）()n 'l ln 1x k x x x
f x x k
x --=-
-=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x ， 且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增. 所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点. 显然(
)22211022k
k f e
e e ---=-
<-<，()()11
12
f x f >=， ∴()f x 在()10,x 仅有唯一零点. 又(
)222
221122
nk
nk nk f e
e n k nk e n k =--->-，（当n 为较大的整数时）， 设()2
x
h x e x =-，则()2x
h x e x '=-，()2x
h x e ''=-
当1x >时，()0h x ''>，()2x
h x e x '=-单调递增,即()()120h x h e ''≥=->.
所以()2
x
h x e x =-在()1
+¥， 单调递增，即()()110h x h e ≥=->，
即()0nk
f e
>（当n 为较大的整数时）.
于是下面讨论()2f x 的正负情况：
()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211
ln ln ln 22
x x x x x =----
2222211ln ln 22
x x x x =-+-. 构造函数()211ln ln 22F x x x x x =
-+-()()1ln ln '11ln 0x x x
F x x x x
-⇒=+--=≤，且()0f e =. ①当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在
()0,∞+上只有一个零点.
②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点.
③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,∞+上有三个零点.
综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,∞+上有一个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,∞+上有三个零点.
练习1．已知函数2
()ln (21)?
(0)f x a x x a x a =-+-≥. (1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围. 【解析】（1）由()()()()21221x a x a
f x x a x x
-+=
-+-=-
'， 当a =0时，()210f x x '=-+<，则f （x ）在（0，+∞）上递减， 当a ＞0时，令f '（x ）＝0得x a =或1
2
x =-
（负根舍去）， 令f '（x ）＞0得0x a ＜＜；令f '（x ）＜0得x a ＞，所以f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减． 综上：a =0时， f （x ）在（0，+∞）上递减，a ＞0时，f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，
上递减 （2）由（1）当a ＝0时，f （x ）＝﹣2x x -≤0，符合题意，
当a ＞0时，()2
()0max f x f a alna a a ==+-≤，因为a ＞0，所以10lna a +-≤，
令()g a =1lna a +-,则函数单调递增，又()10g = ，故 10lna a +-≤得01a <≤ 综上，a 的取值范围为[]
0,1．
练习2．已知函数2()()(1)x f x x a e a x =+-+．
（1）当0a =时，求函数()f x 在()()
1
1f ，处的切线方程； （2）若2a -…，证明：当0x …
时，()0f x …． 【解析】当0a =时，
2()x f x x e =g ，2()(2)x f x x x e '=+g ，()13f e '=，()1f e =，
∴函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程3(1)y e e x -=-，
即320ex y e --=；
（2）证明：2()(2)x f x x x a e a '=++-，
令2()(2)x g x x x a e a =++-，则2()(42)x g x x x a e '=+++，
2a -Q …，∴当0x …时，
22(42)(4)0x x x x a e x x e ++++厖，即()0g x '…且不恒为零．
()g x ∴在[0，)+∞上是增函数，故()(0)0g x g =…，即()0f x '…，
()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，()(0)0f x f ∴=…，即()0f x …．
故若2a -…，则当0x …
时，()0f x …． 练习3．已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()23
2
x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数
()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.
【解析】(1)()f x 的定义域为()()()21
0,0x ax f x x x
，+++∞=>'，
对于函数2
10y x ax =++≥，
①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.
()21
0x ax f x x
++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；
②当0∆>，即2a <-或2a >时，
当2a <-时，由()0f x '>，得2a x -<或2a x ->，022
a a ---+<<
，
()f x ∴在0,
2a ⎛- ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭减函数.
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x
++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。

综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数。

（2）()()()()22213
ln ln 022
x x F x f x g x x x ax e x x x x ax x e x =-=+
+--+=-++->， ()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2
ln x e x x a x
-+=有解，
令()()2ln 0x e x x h x x x +-=>，()()()()()
()2211ln 1ln 11x x
e x x x e x x x x h x x x
++-+='-+++-=， 令()0h x '=，得1x =，
当()0,1x ∈时，()()0h x h x <，单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增；
()()11h x h e ∴≥=+，
当1a e ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[
)1,e ++∞.
二．极值与参数 例2. 1．已知函数3
21()3
f x x x mx m =
+++. （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点. 【答案】（1）1223x x +=-（2）证明见解析 【解析】（1）由题得2
()2f x x x m '=++， 由题可知()()12f x f x =，所以
3232
1112221133
x x mx m x x mx m +++=+++， 所以2
2
112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）
因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2
113630x x m ++=（ii ）
（ii ）-（i ）得22
1122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-=， 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-Q . （2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321
(1)3
x x m x +=-+， 令3
21()3
h x x x =
+，2()2h x x x '=+， 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减， 又4
(2)3
h -=
，(0)0h =； (1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<，
因此
3
21(1)3
x x m x +=-+有且只有一个交点， 即32
1()3
f x x x mx m =+++有唯一的零点.
练习1．已知函数()32
13
f x x x a =-+.
（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值与极小值；
（2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值是最小值的3倍，求a 的值. 【解析】（1）当0a =时，()3
213
f x x x =
-，
所以()2
2f x x x '=-，令()0f x '=，则0x =或2x =，
则当(),0x ∈-∞和()2,x ∈+∞时，()0f x '>；当()0,2x ∈时，()0f x '<， 则()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减, 所以()f x 的极大值为()00f =；()f x 的极小值为()423
f =-. （2）由题,()3
213
f x x x =
-，由（1）可得()f x 在[]1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增， 所以()f x 的最小值即为()f x 的极小值()4
23
f a =-+；
因为()2
13
f a =-+,()3f a =,所以()()max 3f x f a ==，
因为()()max min 3f x f x =，则433a a ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，所以2a =. 三．最值与参数
例3．设函数()2
1ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥
⎪⎝⎭
（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围. 【解析】（1）定义域(0,)+∞，()21b
f x ax x
'=-+，
由题意可得，f '(1)210a b =-+=即12b a =-，
所以2122(12)[2(12)](1)
()21a ax x a ax a x f x ax x x x
--+----'=-+==， 由函数存在极值可知，1
4
a ≠， 1
()2
i a =
时，由()0f x '>可得1x >，函数()f x 在(1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得01x <<，函数()f x 在(0,1)上单调递减. 1
()2
ii a >
时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在()f x (0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >()f x 在(1,)+∞单调递增；
()iii 当1142
a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202a x a
-<<
，由()0f x '<可得，1212a
x a -<<， 故函数的单调递增区间(1,)+∞，(0，
122a a
-），单调递减区间12(,1)2a
a -；
综上所述：当14a =，()()2
102x f x x
-'=≥恒成立，不符合题意； 当
11
42a <<时，()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在12,12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减，在()1,+∞上递增； 当1
2
a ≥
时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增. （2）1a =时，2
()0f x x x blnx =-+<可得，2
x x b lnx
-<，
令2
()x x g x lnx
-=，1x e <<，则2(12)1()()x lnx x g x lnx --+'=，
令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，1
()21h x lnx x
'=-+- 222112()=0x
h x x x x
--''=
-< 则()h x '在(1,)e 上单调递减， 所以()h x h '<'（1）0=，
所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()x 1
h x 0→→， ()h x <0，即()0g x '<， 所以()g x 在(1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-， 故2b e e -…．
故b 的范围(-∞，2]e e -．
练习1．已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R .
（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；
（2）设1b =，函数()()()()()2
11,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据5
0.2234
ln
≈：） 【解析】1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()
00,2ln P x ax b +， 2'()a f x ax b
=
+Q ，002'()1a f x ax b ∴=
=+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =
02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣
设()2
2
222,0g a a a ln a a =﹣
＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >
得，0a <<
；令'()0g a <
得，a >. ()g a ∴
在2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减. ()g a ∴
的最大值为4e g =⎝⎭
.则ab 的最大值为4e
. （2）函数()()2
1)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,
等价于方程2
2(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）
有两个不同的解， 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()2
2ln t t
h t t
-=
, 则22
22ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0
t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又57
5(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭
∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
使得()00m t =，即2
00 22ln 0t t --=，则200
2ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时
()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为
()22
000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫
===-∈- ⎪⎝⎭
.
要使得关于t 的方程()2
2ln 0t t
a t t
-=>有两个不同的解，则()0a h t <.
当1a =-时，设2
()2p t lnt t t -+＝，则2
'()21p t t t
=
-+ 可知()p t
在⎛ ⎝⎭
上单调递增，在⎫
+∞⎪⎝⎭
上单调递减，
又2
117(1)0,0,()20p p p e e e ⎛⎫+=>=-+<
⎪⎝⎭
p （1）＝0
所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-. 四．极值点偏移
例4.．已知函数()ln 2(0)f x ax x a =+≠. （1）求函数()f x 的最值；
（2）函数()f x 图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为()
1,()2f x g x x
=-有两个零点12,x x ，求证：124x x +>. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1），
当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值； 当
时，
在上单调递增，在
上单调递减，有最大值
，无最小值.
（2）依题知，即
，所以
，
，
所以在上单调递减，在
上单调递增.
因为
是
的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设
.
因为，
所以，
变形为.
欲证，只需证，
即证.
令，则只需证对任意的都成立.
令，则
所以在上单增，
即对任意的都成立.
所以
.
练习1．已知函数()212x
f x e x ax =--有两个极值点12,x x .
（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：120x x +<； （III ）求证：()()122f x f x +>.
【解析】Ⅰ）Q 21()2
x
f x e x ax =--，()x f x e x a '∴=--．
设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-．令()10x
g x e -'==，解得0x =．
∴当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>．()(0)1min g x g a ∴==-．
当1a …时，()()0g x f x '=…
，∴函数()f x 单调递增，没有极值点； 当1a >时，(0)10g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞．
∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点1x ，2x ．不妨设12x x <，则120x x <<． ∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为(1,)+∞．
（Ⅱ）不妨设120x x <<，要证12+0x x <，即证12<x x -，而()g x 在(),0-∞上单调递减，所以即证
()()12>g g x x -，即证()()22>g g x x -，即2
2
22x x e x e x -->+，2
2
22210x x e x e -->，设
()221,0x x h x e xe x =-->，则()2(1)x x h x e e x '=--，
令()1x
H x e x =--，则()1x H x e '=-，当()10x
H x e '=-=，则0x =，即()H x 在()0,∞+上单调递
增，在(),0-∞上单调递减，所以()()00min H x H == 即1x e x ≥+()0h x '∴≥，()h x ∴单调递增，
()()00h x h ∴>=，所以原不等式成立；
（III ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，1x ，2x 为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在(,0)-∞上单调递减且
120x x <-<， Q 函数()f x 在1(x ，0)上也单调递减，12()()f x f x ∴>-．
∴要证12()()2f x f x +>，只需证22()()2f x f x -+>，即证22
2220x x e e x -+-->． 设函数2()2x x k x e e x -=+--，(0,)x ∈+∞，则()2x x k x e e x -'=--．
设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->，
()x ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴>=，即()0k x '>．
()k x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0k x k ∴>=．
∴当(0,)x ∈+∞时，220x x e e x -+-->，则22
2220x x e e x -+-->， 22()()2f x f x ∴-+>，12()()2f x f x ∴+>．
练习2．已知函数()ln f x kx x =-.
（1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求k 的取值范围；
（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >.
【解析】（1）∵()ln f x kx x =-，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增 ∴1()0f x k x '=-≥在()1,+∞恒成立，∴1k x
≥，∴1k ³； （2）证明：不妨设120x x >>，
∵()()120f x f x ==，∴11ln 0kx x -=， 22ln 0kx x -=，
可得()1221ln ln k x x x x +=+， ()1212ln ln k x x x x -=-，
要证明212x x e >，即证明21ln ln 2x x +>，也就是证()122k x x +>， ∵1212lnx lnx k x x -=-，∴即证明：1212122lnx lnx x x x x --+＞，即1211
22
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+＞， 令12x t x =，则1t >，于是()21ln 1
t t t ->+． 令()()21ln 1
t g t t t -=-+，1t >，则()22(1)(1)t g t t t -'=+， 故函数()g t 在()1,+∞上是增函数，∴()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->
+成立．∴原不等式成立．
五．恒成立问题求参数
例5.已知函数()251f x x x =-+，()x
g x e =． （1）求函数()()
f x y
g x =的极小值； （2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数；
（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]
1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的
最大值． 【解析】（1）()()251x
f x x x y
g x e -+==，x ∈R . 则()()22261(25)(51)76'()x x x x x
x x x e x x e x x y e e e -----+-+==-=-， 令'0y >，得16x <<；令'0y <，得1x <或6x >（或列表求）
∴函数()()
f x y
g x =在(),1-∞单调减，在()1,6单调增，在()6,+∞上单调减， ∴函数()()f x y g x =在1x =处取得极小值3e
-； （2）()()'250x y f x a g x x a e =+⋅=-+⋅=，
∵0x e >，∴25x x a e -=-
， 设()25x x h x e -=-
，则()27'x x h x e -=，令()'0h x >，则72x >. ∴()25x x h x e -=-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调减，在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调增，且x →-∞，()h x →+∞，min ()h x =7
2722h e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()443h e -=-. ∴当43a e ->-或7
22a e -=-时，()h x a =有1解，
即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为1个； 当74223e a e ---<≤-时，()h x a =有2解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为2个；
当722a e -<-时，()h x a =有0解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为0个．
（3）∵0x e >，存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，∴存
在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()
()x t xf x g x ≤-恒成立. ∵min 0t =，∴对任意的[]1,x m ∈，不等式()
()10f x g x ≤-恒成立. 即对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511x x x e -+≤恒成立．
设()()
251x G x x x e =-+，[)1,x ∈+∞， ∴()()()2'2551x x G x x e x x e =-+-+()
()()23441x x x x e x x e =--=-+，可求得()G x 在(),1-∞-上单调增，在()1,4-上单调减，在()4,+∞上单调增，
则()()
251x G x x x e =-+在[)1,4上单调减，在()4,+∞上单调增， 当4m ≤时，()()
251x G x x x e =-+在[1,]m 上递减,所以()()max 131G x G e ==-≤恒成立； 当4m >时，()()251x G x x x e =-+在[1,4]上递减,在(4,]m 上递增,所以()()(){}
max max 1,G x G G m =，因为()131G e =-≤， ()4431G e =-≤，而()551G e =>；所以()
2511x x x e -+≤在[1,]m 上不恒成立, ∴正整数m 的最大值为4．
练习1．已知函数()ln (3)2()f x x x k x k k =+-+-∈Z .
（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若当1x >时，总有()0f x >，求k 的最大值.
【解析】（1）当2k =时，()ln f x x x x =+，定义域为(0,)+∞，()ln 2f x x '=+，
由()0f x '<得210,x e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得21, x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
， 所以函数()f x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. 即函数()f x 的单调递减区间为210,
e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.
（2）由题当1x >时，()0f x >恒成立，
即ln (3)20x x k x k +-+->在1x >时恒成立， 即ln 321
x x x k x +-<-在1x >时恒成立， 令ln 32()1x x x g x x +-=
-，则2ln 2()(1)'--=-x x g x x ， 令()ln 2h x x x =--， 则11()10x h x x x
'-=-=>在1x >时恒成立. 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，又知(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->，
所以在(1,)+∞上存在唯一实数0(3,4)x ∈，满足0()0h x =，即00ln 2 x x =-，
当()01,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；
当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>.
所以函数()g x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增.
即()()000000min 0000232ln 32()2(5,6)11x x x x x x g x g x x x x -+-+-==
==+∈--. 由ln 321
x x x k x +-<-在1x >时恒成立， 所以02k x <+，又知k ∈Z ，所以整数k 的最大值为5.。