九年级下第24章圆专题四圆中常见辅助线的作法作业新版沪科版

2 勾股定理得：DF＝ OD2－OF2 ＝ 42－12 ＝ 15 ，则 CD＝2DF＝2 15
5．(上海中考)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8，点 C 在 BO 延长线上，且 cos ∠ABC
＝4 5
，OC＝12
OB.
(1)则⊙O 的半径长为________；
(2)求∠BAC 的正切值．
解：(1)5
以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D，则 AD 的长为____5_____．
4．如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E，∠DEB＝30°，AE＝2，EB＝6，求 CD 的长．
解：过 O 作 OF⊥CD，交 CD 于点 F，连接 OD，∴F 为 CD 的中点，即 CF＝DF.∵AE ＝2，E B ＝6，∴A B ＝A E ＋E B ＝2＋6＝8，∴OA ＝4，∴OE ＝OA －A E ＝4－2＝2，在 Rt△OEF 中，∠DEB＝30°，∴OF＝1 OE＝1.在 Rt△ODF 中，OF＝1，OD＝4，根据
是原方程的解，∴BC＝5x＝235
，
∴OD＝1 2
BC＝25 6
.∵OD∥B E ，∴△F E B ∽△F DO，∴ B E OD
＝FB FO
3 ，即25
FB ＝FB＋25
，
6
6
解得 FB＝775
(1)求证：DF 平分∠BFC； (2)设 AB 交 DF 于点 G，且 DE＝GE，求∠DCF 的度数．
解：(1)证明：如图，连接 OC，OD.∵OA＝OD，∠BAD＝∠BFD＝60°，∴△AOD 是等边三角形．∵OC＝OD，OA⊥CD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°， ∴∠CFD＝1 ∠COD＝60°，∴∠BFD＝∠CFD，∴DF 平分∠BFC
10．(营口中考)如图，在△ABC 中，AB＝BC，以 BC 为直径作⊙O 与 AC 交于点 D， 过点 D 作 DE⊥AB，交 CB 延长线于点 F，垂足为 E.
(1)求证：DF 为⊙O 的切线； (2)若 BE＝3，cos C＝45 ，求 BF 的长．
解：(1)证明：连接 BD，OD.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，即 BD⊥CD.∵AB ＝BC，∴AD＝CD.又∵OB＝OC，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD∥AB.∵FD⊥AB， ∴FD⊥OD.∵OD 是半径，∴DF 是⊙O 的切线
2 (2)∵AB⊥CD 于 E，∴∠DEB＝90°.∵DE＝GE，∴∠CDG＝45°.根据(1)∠CFD＝ 60°，∴∠DCF ＝180°－45°－60°＝75°
方法 3 遇切线构造过切点的半径 8．如图，∠APB＝30°，点 O 在射线 PA 上，⊙O 的半径为 2，当⊙O 与 PB 相切 时，OP 的长度为( B ) A．3 B．4 C．2 3 D．2 5
专题(四) 圆中常见辅助线的作法
方法指导：在基本功专练，与圆基本性质有关的选填题这课时中，我们已学过构造
同弧所对的圆周角、遇直径构造 90°圆周角、遇 90°圆周角构造直径等圆中的辅助线作
法，本课时，我们继续学习圆中其他常用的辅助线作法．
方法 1 利用垂径定理构造直角三角形
1．如图，在⊙O 中，P 为弦 AB 上的一点，AP＝OA＝5，BP＝3，则 OP 的长度为
(2)连接 CE，若 AB＝3，AC＝4，求 CE 的长．
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC＝ 32＋42 ＝5，∴OC＝5 .∵OG⊥AC， 2
∴CG＝12
AC＝2.∵OG∥AB，∴OG＝12
A B ＝32
，∴EG＝52
－3 2
＝1.在 Rt△CEG
中，
由勾股定理得，CE＝ EG2＋CG2 ＝ 12＋22 ＝ 5
(B ) A．3
B． 10
C． 7
D．2 2
2．(永州中考)如图，⊙O 是一个盛有水的容器的截面，⊙O 的半径为 10 cm，水的 最深处到水面 AB 的距离为 4 cm，则水面 AB 的宽度为_1_6__cm.
3．(合肥包河区期末)如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2， 25
9．(淮南凤台县一模)如图，已知⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ABE＝∠CBE，BE 与⊙O 相交于点 E，过 E
证明：连接 OE 交 AC 于点 G.∵OB＝OE，∴∠EBC＝∠OEB，∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠OEB，∴AB∥OE，∴∠BAC＝∠OGC＝90°.∵l∥AC，∴OE⊥l.∵OE 为 半径，∴l 是⊙O 的切线
(2)过点 O 作 OD⊥AB，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E.∵OC＝1 OB， 2
OB＝5，∴BC＝3 OB＝15 .∵OD⊥AB，∴OD∥CE，∴△BOD∽△BCE，∴OB ＝BD ，
2
2
BC BE
∴2 ＝ 4 ，∴BE＝6，∴AE＝AB－BE＝8－6＝2.在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2－BE2 3 BE
(2)由于 cos C＝CD ＝4 ，可设 CD＝4x，则 BC＝5x，∴BD＝ BC2－CD2 ＝3x.∵AB BC 5
＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE ＝∠CBD.∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC，
∴BE BD
＝BD BC
，即 3 3x
＝3x 5x
，解得 x＝53
，经检验，x＝53
＝9 2
.在 Rt△ACE 中，tan ∠BAC＝CAEE
＝9 4
，∴∠BAC
的正切值为9 4
方法 2 利用同圆半径构造等腰三角形 6．如图，CD 是⊙O 的直径，点 A 在 DC 的延长线上，∠A＝20°，AE 交⊙O 于点 B，且 AB＝OC. (1)求∠AOB 的度数； (2)求∠EOD 的度数．
解：(1)∵A B ＝OC，OB ＝OC，∴A B ＝B O，∴∠A OB ＝∠1＝∠A ＝20° (2)∵∠2＝∠A ＋∠1，∴∠2＝2∠A.∵OB ＝OE ，∴∠2＝∠E ，∴∠E ＝2∠A ， ∴∠DOE ＝∠A ＋∠E ＝3∠A ＝60°
7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB⊥CD 于点 E，点 F 是⊙O 上一 点，连接 BF，CF，DF，∠BFD＝60°.