【好题】高中必修五数学上期末第一次模拟试卷附答案

【好题】高中必修五数学上期末第一次模拟试卷附答案
一、选择题
1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：
①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当
0a >且1a ≠时，1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65
B ．184
C ．183
D ．176
3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10
5
S S 等于( )
A ．－3
B ．5
C ．33
D ．－31
4．已知点(),P x y 是平面区域()
4
{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为M ,
若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
C ．1
,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
5．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
，
，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
6．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
7．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140
B ．280
C ．168
D ．56
8．“0x >”是“1
2x x
+
≥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22
B ．24
C ．26
D ．28
10．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo
，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
A ．15
B ．25
C ．40
D ．60
11．已知函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )
A ．(4,1)-
B ．(1,4)-
C ．(1,4)
D ．(0,4)
12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则
cos DAC ∠=（ ）
A 25
B 5
C 310
D 10二、填空题
13．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ，且数列{
}
n S n +也为公差
为d 的等差数列，则d =______．
14．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．
15．已知函数()2x
f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，
则
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.
16．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 1
1b a a +=，则数列
{}n b 的前n 项和n S 为______．
17．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.
18．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为
N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则
2668型标准数列的个数为______．
19．已知数列{}n a (*
n ∈N )，若11a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则2lim n n a →∞= ． 20．已知是数列的前项和，若
，则
_____．
三、解答题
21．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且
sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+
()1求角C ； ()2求
3sin cos 4A B π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭的最大值．
22．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1
n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .
(1)当θ＝
6
π
时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.
24．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）求角B 的大小；
（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133
n n S a =
-.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
26．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足
(1)1
(1)
n n n n a b n n ++=
+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22
513(4)=
=+-d ,则22a b +>1，故③正确；
当0a >且a ≠1时,
1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,5
1
194
114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故
1
1b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
2．B
解析：B 【解析】
分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：
81187
8828179962
S a d a ⨯=+
=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出10
5
S S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则
()(
)
6
163
6333111119111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，得2q =， 因此，()(
)
10
11055
10555111111233111a q S q q q S q a q
q
---===+=+=---，故选C. 【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
4．C
解析：C 【解析】
试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-对应
的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0
M =
，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()
4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为
M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m m
B m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由
42
21m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以1
03
m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，故选C.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数
的最值，试题有一定的难度，属于难题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-， 联立70
310
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩，解得5,2A
（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，
化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】
由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为
()
110101028
1402
2
a a +⨯=
=，故选A. 8．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0时，11
22x x x x
+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当1
2x x
+
≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则
考点：等差数列的性质
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得
AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，
如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD
ADB ABD
=∠∠
，
即sin[90(90)]sin(90)h AD
αβα=︒--︒-︒+，
cos sin()h AD αβα∴=
-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()
h DF AD αβ
ββα==-，
又山高为a ，则灯塔CD 的高度是
3340cos sin 22356035251sin()
2
h CD DF EF a αβ
βα⨯
⨯=-=
-=
-=-=-． 故选B ．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
先判断函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.
【详解】
可知函数()f x 为减函数，由2
(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，
整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】
本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠．
【详解】
如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =
+=，同理可得225AC AB BC =+=，
在ACD ∆中，由余弦定理得2222310
cos 2252
AC AD CD DAC AC AD +-∠===
⋅⨯⨯， 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：
1
2
【解析】 【分析】
表示出n S n S n + 【详解】
等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112
n n na d -+，
又数列
{
}
n S n +也为公差为d 1111S a +=+
n S n +()111a n d +-()()111112
n n na d n a n d -+
+=+-
(
)(
)
2
22211112
1122d d n a n d n a d dn a d
⎛⎫
+-+=++-+
+- ⎪⎝
⎭
上式对任意正整数n 成立，
则)
2120122d d d d
a d d
⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩
，解得：12d =，134a =-
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．
14．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8
解析：8 【解析】 【分析】 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.
15．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-
【解析】 【分析】
根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62
5
a =
，并得出568
25
a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.
【详解】
依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且5628
2255
a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫
++++=
=+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭
L ， 而()()()()1
2310
61231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，
因此，()()()()6
2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .
故答案为6-.
【点睛】
本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
16．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n 项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达 解析：
4n
n 1
+ 【解析】 【分析】
运用等差数列的求和公式可得()n 11n
a n n 1n 122
=
⋅+=+，可得()n n n 1141
1b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【详解】 解：()n 12n 11n
a n n 1n 1n 1n 1n 122
=++⋯+=⋅+=++++， 则()n n n 1141
1b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
， 可得数列{}n b 的前n 项和n 1111111S 4122334n n 1⎛
⎫=-
+-+-+⋯+- ⎪+⎝
⎭
14n 41n 1n 1⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
． 故答案为4n
n 1
+． 【点睛】
本题考查数列的前n 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
17．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所
解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】 【分析】
首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列
各项和的公式得到
1
21a q
=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1a
的取值范围，得到结果. 【详解】
因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2， 所以其公比q 满足01q <<，且1
21a q
=-， 所以122a q =-， 当01q <<时，1(0,2)a ∈， 当10q -<<时，1(2,4)a ∈，
所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ， 故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】
该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.
18．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=
解析：6 【解析】 【分析】
由题意，公差d=1，na 1+
()12
n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意
的组数，即可得出结论． 【详解】
由题意，公差d=1，na 1+
()12
n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，
∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组． 故答案为6． 【点睛】
本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．
19．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-
解析：2
3
-
【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =
23(11)4n -，21n S -=1+13（11
14
n --），从而22n n a S =-21n S -=
21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞
【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12
a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=
12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+21
12n -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=
11
124114
n ⎛⎫-
⎪⎝⎭-=2
3(11)4n
-， ∴2n S =
23(1
1)4
n -； 又12345
a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭
+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2
1111241
14
n -⎛⎫
⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭-=1+13（1114n --），
即21n S -=1+
13（11
14
n --） ∴22n n a S =-21n S -=21
132n -n -2
3
∴221
1lim lim(
32n n n n a n -→∞
→∞
=-2)3=-2
3
， 故答案为：-2 3
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．
20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：
【解析】 【分析】
由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】
解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．
则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝
24950．
【点睛】
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
三、解答题
21．()()124
C π
=2
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到2222a b c ab +=，再由余弦定理得到
()2222cos 0224
a b c C C C ab π
π+-==∈∴=，；（2）由第一问得到原式等价于
33sin cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再根据角的范围得到三角函数
的范围即可． 解析：
()2221sin sin sin 2sin 2a A b B c C a B a b c ab +=∴+=Q
即2
2
2
2a b c ab +-=由余弦定理()2222cos 024
a b c C C C ab π
π+-==∈∴=，
（23sin cos 4A B π⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭ 3313sin cos 3sin cos 2cos 442A A A A A A π
π⎫⎛⎫--+=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
()110,,6612
A A π
ππ
π⎛⎫∈+
∈ ⎪⎝⎭
Q ，， 12sin 26A π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭
3sin cos 4A B π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭的最大值为2
22．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311
n n
S n n n =-+-++-=++L
【解析】 【分析】 【详解】
(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为71994{
2a a a ＝，
＝，
所以11164{
1828a d a d a d +++＝，
＝（）
.
解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12
n +. (2)b n ＝
1n na ＝222
11
n n n n -++＝（），
所以S n ＝2222222()122311
n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
－－－
＝＋ 23．(1)
2
34
a ；
(2) 【解析】 【分析】
（1）连接OB ,则123
AOB π
θ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,
可得3
OA OB a ==
,再利用三角形面积公式求解即可； （2
）根据三角形的对称性可得
12sin sin 232AA OA a θ
θ==
,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
,
则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可 【详解】
（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,
3
OA OB a ∴==
, 连接OB ,1
23
AOB π
θ∴∠=-,
2123sin sin 236S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦, ∴当6π
θ=时,六边形徽标的面积为234
S a =
（2）在1AOA V 中,12sin
sin 2
32
AA OA a θ
θ
==
,
在1BOA V 中,112sin cos sin 3232222A B OB a πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
当且仅当
2
3
2
θ
π
π
+
=
,即3
π
θ=
时,()max f
θ=
【点睛】
本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想
24．(Ⅰ)
3π；(Ⅱ)b = 【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则
B =
π3
．
（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
()2sin A B -=
详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB
=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭，得π6asinB acos B ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，
即π6sinB cos B ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =
π
3
． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3
，
有22227b a c accosB =+-=，故b
由π
6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．
因此22sin A sinAcosA ==
，2
12217cos A cos A =-=．
所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-=
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 25．（1）1
4n n a -=（2）322
499
n n n T +=
⨯- 【解析】 【分析】
（1）利用公式1n n n a S S -=-代入计算得到答案. （2）先计算得到()114n n n a b n -=+⨯，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】 （1）因为41
33n n S a =
-，所以()1141233
n n S a n --=-≥， 所以当2n ≥时，144
33n n n a a a -=-，即14n n a a -=， 当1n =时，1141
33
S a =-，所以11a =，
所以1
4n n a -=.
（2）()114n n n a b n -=+⨯，
于是()01221243444414n n n
T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，①
()12314243444414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，②
由①-②，得()121
223244414433n n n n T n n -⎛⎫
-=++++-+⨯=
-+⨯ ⎪⎝⎭
L ， 所以322
499
n n n T +=⨯-. 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
26．(1)1
2n n a -=.
(2)1
21
n
n S n =-+. 【解析】
试题分析：（1）设等比数列
的公比为，运用等差数列的性质和等比数列的通项公
式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式； （2）化简，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求
和．
试题解析：（1）设等比数列的公比为，
是与的等差中项，即有，
即为，解得，
即有；
（2）），
数列的前项和
.
考点：（1）数列的求和；（2）等比数列的通项公式.
【方法点晴】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.由等差中项的意义可得可求出公比，可求出数列通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消发类似于
，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.。