高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 第1课时 归纳推理学案 苏教版选修2-2(2021年整理)

第1课时归纳推理
1．了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理．（重点、难点）
2．体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假．(易错点）
[基础·初探]
教材整理归纳推理
阅读教材P63～P65“链接”以上部分，完成下列问题．
1．推理
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
2．归纳推理的特点
（1)归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理．
(2)归纳推理的思维过程如图：
实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论．
3．归纳推理
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
（2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理．
1．判断正误:
（1）由个别到一般的推理为归纳推理．( ）
(2）由归纳推理得出的结论一定正确．（）
（3)从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．（ ） 【答案】 （1)√ （2)× （3）√
2．如图2。

1.1所示,第n 个图形中，小正六边形的个数为______．
图2­1­1
【解析】 a 1＝7，a 2＝7＋5＝12，a 3＝12＋5＝17, ∴a n ＝7＋5（n －1）＝5n ＋2。

【答案】 5n ＋2
［质疑·手记］
预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流: 疑问1:_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3:_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
(1)（2016·扬州高二调研)已知
3，2＋2
7
＝2·错误!，错误!＝3·错误!，
错误!＝4·错误!，错误!＝2014·错误!,则错误!＝________。

（2)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)（2＋2)＝22×1×3,
（3＋1）（3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5,
…
照此规律，第n个等式可为________．
【精彩点拨】结合数与式子的特征，提炼结论．
【自主解答】(1)由已知的3个等式知一般式为错误!＝(n＋1）·错误!。

所以m＝2014，n＝20143－1，所以错误!＝错误!＝1.
（2)（n＋1）(n＋2)…（n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
【答案】（1)1 (2)（n＋1）（n＋2)…(n＋n）＝2n×1×3×5×…×(2n－1）
进行数、式中的归纳推理的一般规律
1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式）中项数和次数等方面的变化规律；
（2)要特别注意所给几个等式（或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式（或不等式)的综合特点；
（4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理
在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
（1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和;
(2）根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
（3）运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
［再练一题］
1．（1）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(a∈N*)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为________．
（2)已知2
3
＜错误!，错误!＜错误!，错误!＜错误!，…，推测猜想一般性结论为________．
【解析】（1）由已知得a1＝1，a2＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!＝错误!，…，由此可猜想a n＝错误!.
（2）每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜
测：b
a
＜错误!(a，b，m均为正数，且a＞b)．
【答案】（1）a n＝错误!
（2）错误!＜错误!（a，b，m均为正数，且a＞b）
（1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图,则第
n个图案中有黑色地面砖的块数是________。

【导学号：01580031】
图2。

1。

2
（2）根据图2。

1.3中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为_____．
①②③④
图2。

1­3
【精彩点拨】（1)观察图案知,每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数,组成首项为6,公差为5的等差数列．
（2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．
【自主解答】
(1)观察图案知,从第一个图案起,每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1）×5＝5n＋1。

(2)图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3,5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509。

【答案】(1）5n＋1 (2)509
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
[再练一题]
2．如图2。

1。

4，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…），则第n个图形中的顶点个数为________．
图2­1­4
【解析】第一个图形共有12＝3×4个顶点,第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有（n＋2)（n＋3）个顶点．
【答案】(n＋2)（n＋3）
[探究共研型］
探究1 数列的通项a n与序号n是一种什么关系？
【提示】是一种对应关系，也是一种特殊的函数关系．
探究2 如何寻求a n与n的关系?
【提示】利用递推式写出数列的前几项化为统一的形式，再观察解决．
已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝错误!错误!.求出a1,a2,a3，a4,并推测a n。

【精彩点拨】由递推关系写出前4项，化为统一形式，观察即可．
【自主解答】∵S n＝错误!错误!，∴a1＝错误!错误!，∴a错误!＝1.
又∵a n>0,∴a1＝1；
a
＋a2＝错误!错误!,即1＋错误!a2＝错误!，∴a2＝错误!－1；
1
a
＋a2＋a3＝错误!错误!，
1
即错误!＋错误!a3＝错误!，∴a3＝错误!－错误!；
a
＋a2＋a3＋a4＝错误!错误!，
1
∴错误!＋错误!a4＝错误!,∴a4＝2－错误!;
观察可得,a n＝错误!－错误!.
在求数列的通项与前n项和时,经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分,重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．
［再练一题]
3．已知数列｛a n｝中，a2＝6,错误!＝n。

(1)求a1，a3,a4；
(2）猜想数列{a n｝的通项公式．
【解】(1）由a2＝6，错误!＝1，得a1＝1。

由a
3
＋a2－1
a
3
－a2＋1
＝2，得a3＝15。

由错误!＝3，得a4＝28.
故a1＝1,a3＝15，a4＝28。

(2)由a1＝1＝1×(2×1－1）;a2＝6＝2×(2×2－1）;a3＝15＝3×（2×3－1)；a4＝28＝4×(2×4－1)，
…
猜想a n＝n(2n－1)．
[构建·体系］
1．已知f1(x）＝cos x,f2(x)＝f1′（x)，f3（x）＝f2′（x)，f4（x）＝f3′（x),…，f n(x)＝f n
－1
′(x)，则f2 014（x)＝________。

【解析】f1(x)＝cos x，f2（x)＝f1′（x）＝－sin x，
f
3
（x)＝f2′（x）＝－cos x,f4(x）＝f3′(x）＝sin x，
f
5
(x）＝f4′（x）＝cos x，…再继续下去会重复出现，周期为4,
∴f2 014（x)＝f2（x）＝－sin x.
【答案】－sin x
2．根据三角恒等变换，可得到如下等式:
cos θ＝cos θ;
cos 2θ＝2cos2θ－1;
cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ;
cos 4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；
cos 5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cos θ
依照规律猜想cos 6θ＝32cos6θ＋m cos4θ＋n cos2θ－1。

则m＋n＝________。

【解析】根据三角恒等变换等式可知,各项系数与常数项的和是1，即32＋m＋n－1＝1。

∴m＋n＝－30。

【答案】－30
3．已知a n＝错误!n，把数列｛a n｝的各项排成如下的三角形：
a
1
a 2a
3
a
4
a 5a
6
a
7
a
8
a
9……
记A(s,t)表示第s行的第t个数，则A(11，12)＝________。

【解析】每行对应的元素个数分别为1,3，5,…，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112,
即A(11,12）＝a112＝错误!112。

【答案】错误!112
4．（2016·苏州高二期末）当x>0时,x＋错误!≥2错误!＝2,
x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3，
x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥4错误!＝4，根据上述不等式，在x〉0的条件下，可归纳出一个一般性的不等式为________（直接写结论)．
【解析】根据已知的3个不等式,找出规律知，一般性的不等式为x＋错误!≥（n＋1）·错误!＝n＋1.
【答案】x＋错误!≥n＋1
5．已知在数列{a n}中，a1＝错误!，a n＋1＝错误!.
（1)求a2，a3，a4,a5的值;
（2)猜想a n。

【解】（1）a2＝
3a1
a
1
＋3
＝错误!＝错误!，
同理a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!，a5＝错误!。

（2)由a2＝错误!，a3＝错误!，a4＝错误!，a5＝错误!，可猜想a n＝错误!.
我还有这些不足：
（1）_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案：
(1）_______________________________________________
(2)_______________________________________________。