第7章 状态变量分析法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k b p k n k 0 n
(7.1-2)
对应的系统函数为
1 ak p
k 1 n
k
(7.1-3)
b0 s n b1s n 1 bn 1s bn H ( s) n n 1 s a1s an 1s an
k b s k
1 ak s k
(7.1-7)
x1 x2 y [bn an b0 bn 1 an 1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ] b0 f xn 1 xn 或 (7.1-8)
y [bn anb0 bn1 an1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ][x1 x2 xn ]T b0 f
*第七章 状态变量分析法
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
7.2 连续时间系统状态方程的s域分析法 7.3 离散系统状态方程与输出方程的建立 7.4 离散系统状态方程的z域分析法 7.5 系统的可控制性与可观测性
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
0 1 0
a2
0 x1 0 0 x2 f xn 1 0 1 x n 1 a1 0
可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项
式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n（b0=0），可令
y (t ) x1 (t ), y ' (t ) x2 (t ),, y n 1 (t ) xn (t ) n an x1 an 1 x2 a1 xn 1 a1 xn f x
7.1.1由系统的直接形式信号流图建立状态方程 描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为
dn d n 1 d y (t ) a1 n 1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) n dt dt dt dn d n 1 d b0 n f (t ) b1 n 1 f (t ) bn 1 f (t ) bn f (t ) dt dt dt
*第七章 状态变量分析法 于是得到状态方程与输出方程为
1 x2 x 2 x3 x x 3 x4 n an x1 an 1 x2 a2 xn 1 a2 xn f x y (t ) bn x1 bn 1 x2 bn m xm 1
(7.1-10)
C [bn an b0 bn 1 an 1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ] D b0
*第七章 状态变量分析法
式 (7.1-9) 是图 7.1-1 的状态方程的一般形式， A 、 B 、 C 、 D
是状态方程的系数矩阵。当式(7.1-1)中的输入情况不同时，A与 B矩阵相同，而 C与 D 矩阵会有变化，尤其是 b0=0 ，可使 C 的元 素计算大大简化。例如
*第七章 状态变量分析法
*第七章 状态变量分析法 式(7.1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)与输入f(t)之间 的关系，是图7.1-1 系统的状态方程。式(7.1-8)表示了输出y(t)与 状态变量x1、x2、, xn之间的关系，是图7.1-1系统的输出方程。 式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为
*第七章 状态变量分析法
1 y (t ) bn xn bn 1 xn 1 b1 x1 b0 x bn xn bn 1 xn 1 b1 x1 b0 [a1 x1 a2 x2 an 1 xn 1 an xn f (t )] (b1 ab0 ) x1 (b2 a2b0 ) x2 (bn 1 an 1b0 ) xn 1 (bn anb0 ) xn b0 f
其对应的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为
(7.1-13)
C=［bn bn-1 … bn-m 0 … 0］， D=0
(7.1-14)
*第七章 状态变量分析法 由以上的方法，当n阶连续系统的微分方程给定，无需绘出 系统的信号流图，利用式(7.1-7) , (7.1-8)或式(7.1-13) 、 (7.1-14)
dn d n 1 d y (t ) a1 n 1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) f (t ) n dt dt dt
(7.1-11)
式 (7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外，其余bk(k=0~n-1) 为零的特 例，它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为
i 与状态变量x 和输入f(t)的关系， x
i
（3） 列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用 矩阵方程表示。
*第七章 状态变量分析法 用上述方法对图7.1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方 程的建立。先由n个积分器，如图7.1-1所示，列出n个状态变量 x1(t)、x2(t)、…, xn(t)（图中省略了状态变量中的自变量符号(t)）， 然后再列积分器输入节点的方程:
(7.1-6)
*第七章 状态变量分析法 将式(7.1-5) 、 (7.1-6)分别写成矩阵形式
0 1 1 x 0 0 2 x x n 1 0 0 n x a a n 1 n
k 1
k 0 n
(7.1-4)
*第七章 状态变量分析法
b0
b1
b2 … x2 bn－ 1 p－ 1 x1 bn －a n y(t )
f (t )
n x
p － 1 xn －a 1
p － 1 xn － 1 p － 1
n －1 x
－a 2
1 x
－a n －1
图 7.1-1 式(7.1-2)的信号流图表示
第七章状态变量分析法第七章状态变量分析法71连续系统状态方程与输出方程的建立72连续时间系统状态方程的s域分析法73离散系统状态方程与输出方程的建立74离散系统状态方程的z域分析法75系统的可控制性与可观测性第七章状态变量分析法71连续系统状态方程与输出方程的建立711由系统的直接形式信号流图建立状态方程描述单输入单输出n阶连续系统输入ft与输出yt关系的微分方程为711第七章状态变量分析法算子方程为712对应的n阶连续系统的转移算子函数为713714第七章状态变量分析法图711式712的信号流图表示1第七章状态变量分析法由系统的直接微分方程形式信号流图建立状态方程的一般方法1从右向左按顺序在积分器p1的输出端建立状态变量x1的输入端为由于x顺序相差90因此这种状态变量也称其为相位状态变量
C=［1 0 … 0 0］， D=0
(7.1-12)
*第七章 状态变量分析法 若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m，分母多项式的次数 为n，且m<n，则
dn d n 1 d y (t ) a1 n 1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) n dt dt dt d n m d bn m n m f (t ) bn 1 f (t ) bn f (t ) dt dt
b0
b1 s－ 1 x 2
b2 s－ 1 －a n －1
bn－ 1 xn － 1 … n x s－ 1 xn bn －a n y(t )
f (t )
1 x
s－ 1 x1 －a 1
－a 2
图 7.1-3 式(7.1-2)状态变量排序不同的流图
*第七章 状态变量分析法 由式(7.1-17a)、(7.1-17b)可见，相同的系统函数与信号流图， 状态变量的选择不是惟一的，当状态变量不同时，对应的状态 方程与输出方程不同。式(7.1-17a)与式(7.1-17b)式也可简化为
(7.1-16b)
*第七章 状态变量分析法 将式(7.1-16a) 、 (7.1-16b)分别写成矩阵形式
a1 a2 a3 1 x 0 0 2 1 x 0 1 0 x n 1 x n 0 0
*第七章 状态变量分析法
b1 f
2 x
p － 1 x2 －a 1
p－ 1
x1 b2
y
－a2
图 7.1-2 二阶系统的信号流图
*第七章 状态变量分析法
在图7.1-1中，状态变量的序号是从右往左排序的，如果如
图7.1-3所示从左往右排，不难推出其状态方程与输出方程的矩 阵形式为
1 an x1 a2 x2 an 1 xn 1 an xn f x 2 x1 x 3 x2 x (7.1-16a) n xn 1 x
(7.1-15)
*第七章 状态变量分析法
b1 p b2 特别的转移算子为H ( p) 2 的二阶系统， 其基 p a1 p a2 本信号流图及状态变量如图7.1-2所示， 其状态方程与输出方程
为
1 0 1 x1 0 x f 2 x a a 1 x 1 2 2 x1 y [b2 b1 ] x2
1 x2 x 2 x3 x (7.1-5) 3 x4 x n an x1 an 1 x2 a2 xn 1 a1 xn f x
b1 xn bn 1 x2 bn x1 y (t ) b0 x b1 xn b1 xn 1 bn 1 x2 b1 xn b0 [anb0 an 1 x2 a2 xn 1 a1 xn f ] (bn an b0 ) x1 (bn 1 an 1b0 ) x2 (b2 a2b0 ) xn 1 (b1 a1b0 ) xn b0 f
Ax Bf x y Cx Df
(7.1-9)
*第七章 状态变量分析法
式中
0 1 0 0 A 0 0 a a n 1 n
0 1 0
a2
0 0 0 , B 0 1 1 a1 0
(7.1-1)
*第七章 状态变量分析法 算子方程为
( pn a1 pn1 an1 p an ) y(t ) (b0 pn b1 pn1 bn1 p bn ) f (t )
对应的n阶连续系统的转移算子函数为
b0 p n b1 p n 1 bn 1 p bn H ( p) n n 1 p a1 p an 1 p an
an x1 1 0 x 0 2 0 f 0 0 xn 1 0 0 x n 1 0
*第七章 状态变量分析法 1. 由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程 的一般方法
（ 1 ）从右向左按顺序在积分器 p-1 的输出端建立状态变量 xi ，
i p-1的输入端为 x
也称其为相位状态变量。
d xi 由于xi顺序相差90°，因此这种状态变量 dt
（2）列出积分器输入节点 并用矩阵表示。
(7.1-17a)
*第七章 状态变量分析法
x1 x2 y [b1 a1b0 b2 a2b0 bn 1 an 1b0 bn an b0 ] b0 f xn 1 xn
(7.1-17b)
*第七章 状态变量分析法
(7.1-2)
对应的系统函数为
1 ak p
k 1 n
k
(7.1-3)
b0 s n b1s n 1 bn 1s bn H ( s) n n 1 s a1s an 1s an
k b s k
1 ak s k
(7.1-7)
x1 x2 y [bn an b0 bn 1 an 1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ] b0 f xn 1 xn 或 (7.1-8)
y [bn anb0 bn1 an1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ][x1 x2 xn ]T b0 f
*第七章 状态变量分析法
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
7.2 连续时间系统状态方程的s域分析法 7.3 离散系统状态方程与输出方程的建立 7.4 离散系统状态方程的z域分析法 7.5 系统的可控制性与可观测性
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
0 1 0
a2
0 x1 0 0 x2 f xn 1 0 1 x n 1 a1 0
可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项
式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n（b0=0），可令
y (t ) x1 (t ), y ' (t ) x2 (t ),, y n 1 (t ) xn (t ) n an x1 an 1 x2 a1 xn 1 a1 xn f x
7.1.1由系统的直接形式信号流图建立状态方程 描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为
dn d n 1 d y (t ) a1 n 1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) n dt dt dt dn d n 1 d b0 n f (t ) b1 n 1 f (t ) bn 1 f (t ) bn f (t ) dt dt dt
*第七章 状态变量分析法 于是得到状态方程与输出方程为
1 x2 x 2 x3 x x 3 x4 n an x1 an 1 x2 a2 xn 1 a2 xn f x y (t ) bn x1 bn 1 x2 bn m xm 1
(7.1-10)
C [bn an b0 bn 1 an 1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ] D b0
*第七章 状态变量分析法
式 (7.1-9) 是图 7.1-1 的状态方程的一般形式， A 、 B 、 C 、 D
是状态方程的系数矩阵。当式(7.1-1)中的输入情况不同时，A与 B矩阵相同，而 C与 D 矩阵会有变化，尤其是 b0=0 ，可使 C 的元 素计算大大简化。例如
*第七章 状态变量分析法
*第七章 状态变量分析法 式(7.1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)与输入f(t)之间 的关系，是图7.1-1 系统的状态方程。式(7.1-8)表示了输出y(t)与 状态变量x1、x2、, xn之间的关系，是图7.1-1系统的输出方程。 式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为
*第七章 状态变量分析法
1 y (t ) bn xn bn 1 xn 1 b1 x1 b0 x bn xn bn 1 xn 1 b1 x1 b0 [a1 x1 a2 x2 an 1 xn 1 an xn f (t )] (b1 ab0 ) x1 (b2 a2b0 ) x2 (bn 1 an 1b0 ) xn 1 (bn anb0 ) xn b0 f
其对应的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为
(7.1-13)
C=［bn bn-1 … bn-m 0 … 0］， D=0
(7.1-14)
*第七章 状态变量分析法 由以上的方法，当n阶连续系统的微分方程给定，无需绘出 系统的信号流图，利用式(7.1-7) , (7.1-8)或式(7.1-13) 、 (7.1-14)
dn d n 1 d y (t ) a1 n 1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) f (t ) n dt dt dt
(7.1-11)
式 (7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外，其余bk(k=0~n-1) 为零的特 例，它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为
i 与状态变量x 和输入f(t)的关系， x
i
（3） 列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用 矩阵方程表示。
*第七章 状态变量分析法 用上述方法对图7.1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方 程的建立。先由n个积分器，如图7.1-1所示，列出n个状态变量 x1(t)、x2(t)、…, xn(t)（图中省略了状态变量中的自变量符号(t)）， 然后再列积分器输入节点的方程:
(7.1-6)
*第七章 状态变量分析法 将式(7.1-5) 、 (7.1-6)分别写成矩阵形式
0 1 1 x 0 0 2 x x n 1 0 0 n x a a n 1 n
k 1
k 0 n
(7.1-4)
*第七章 状态变量分析法
b0
b1
b2 … x2 bn－ 1 p－ 1 x1 bn －a n y(t )
f (t )
n x
p － 1 xn －a 1
p － 1 xn － 1 p － 1
n －1 x
－a 2
1 x
－a n －1
图 7.1-1 式(7.1-2)的信号流图表示
第七章状态变量分析法第七章状态变量分析法71连续系统状态方程与输出方程的建立72连续时间系统状态方程的s域分析法73离散系统状态方程与输出方程的建立74离散系统状态方程的z域分析法75系统的可控制性与可观测性第七章状态变量分析法71连续系统状态方程与输出方程的建立711由系统的直接形式信号流图建立状态方程描述单输入单输出n阶连续系统输入ft与输出yt关系的微分方程为711第七章状态变量分析法算子方程为712对应的n阶连续系统的转移算子函数为713714第七章状态变量分析法图711式712的信号流图表示1第七章状态变量分析法由系统的直接微分方程形式信号流图建立状态方程的一般方法1从右向左按顺序在积分器p1的输出端建立状态变量x1的输入端为由于x顺序相差90因此这种状态变量也称其为相位状态变量
C=［1 0 … 0 0］， D=0
(7.1-12)
*第七章 状态变量分析法 若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m，分母多项式的次数 为n，且m<n，则
dn d n 1 d y (t ) a1 n 1 y (t ) an 1 y (t ) an y (t ) n dt dt dt d n m d bn m n m f (t ) bn 1 f (t ) bn f (t ) dt dt
b0
b1 s－ 1 x 2
b2 s－ 1 －a n －1
bn－ 1 xn － 1 … n x s－ 1 xn bn －a n y(t )
f (t )
1 x
s－ 1 x1 －a 1
－a 2
图 7.1-3 式(7.1-2)状态变量排序不同的流图
*第七章 状态变量分析法 由式(7.1-17a)、(7.1-17b)可见，相同的系统函数与信号流图， 状态变量的选择不是惟一的，当状态变量不同时，对应的状态 方程与输出方程不同。式(7.1-17a)与式(7.1-17b)式也可简化为
(7.1-16b)
*第七章 状态变量分析法 将式(7.1-16a) 、 (7.1-16b)分别写成矩阵形式
a1 a2 a3 1 x 0 0 2 1 x 0 1 0 x n 1 x n 0 0
*第七章 状态变量分析法
b1 f
2 x
p － 1 x2 －a 1
p－ 1
x1 b2
y
－a2
图 7.1-2 二阶系统的信号流图
*第七章 状态变量分析法
在图7.1-1中，状态变量的序号是从右往左排序的，如果如
图7.1-3所示从左往右排，不难推出其状态方程与输出方程的矩 阵形式为
1 an x1 a2 x2 an 1 xn 1 an xn f x 2 x1 x 3 x2 x (7.1-16a) n xn 1 x
(7.1-15)
*第七章 状态变量分析法
b1 p b2 特别的转移算子为H ( p) 2 的二阶系统， 其基 p a1 p a2 本信号流图及状态变量如图7.1-2所示， 其状态方程与输出方程
为
1 0 1 x1 0 x f 2 x a a 1 x 1 2 2 x1 y [b2 b1 ] x2
1 x2 x 2 x3 x (7.1-5) 3 x4 x n an x1 an 1 x2 a2 xn 1 a1 xn f x
b1 xn bn 1 x2 bn x1 y (t ) b0 x b1 xn b1 xn 1 bn 1 x2 b1 xn b0 [anb0 an 1 x2 a2 xn 1 a1 xn f ] (bn an b0 ) x1 (bn 1 an 1b0 ) x2 (b2 a2b0 ) xn 1 (b1 a1b0 ) xn b0 f
Ax Bf x y Cx Df
(7.1-9)
*第七章 状态变量分析法
式中
0 1 0 0 A 0 0 a a n 1 n
0 1 0
a2
0 0 0 , B 0 1 1 a1 0
(7.1-1)
*第七章 状态变量分析法 算子方程为
( pn a1 pn1 an1 p an ) y(t ) (b0 pn b1 pn1 bn1 p bn ) f (t )
对应的n阶连续系统的转移算子函数为
b0 p n b1 p n 1 bn 1 p bn H ( p) n n 1 p a1 p an 1 p an
an x1 1 0 x 0 2 0 f 0 0 xn 1 0 0 x n 1 0
*第七章 状态变量分析法 1. 由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程 的一般方法
（ 1 ）从右向左按顺序在积分器 p-1 的输出端建立状态变量 xi ，
i p-1的输入端为 x
也称其为相位状态变量。
d xi 由于xi顺序相差90°，因此这种状态变量 dt
（2）列出积分器输入节点 并用矩阵表示。
(7.1-17a)
*第七章 状态变量分析法
x1 x2 y [b1 a1b0 b2 a2b0 bn 1 an 1b0 bn an b0 ] b0 f xn 1 xn
(7.1-17b)
*第七章 状态变量分析法