第16章 机械波(2)

第十六章 机械波
y
∆y = 0
∆x
o
∆x
∆ y
x
相反地，当体积元处在位移为零处 即平衡位置 即平衡位置)时 相反地，当体积元处在位移为零处(即平衡位置 时， 振速、相对形变均最大， 振速、相对形变均最大，所以弹性势能和动能都同时达到 最大值。 最大值。
第十六章 机械波
x dE = ρ ( dV ) A ω sin [ω ( t − ) + ϕ 0 ] u 体积元dV内的总能量不守恒 且作周期性变化。 内的总能量不守恒， ② 体积元 内的总能量不守恒，且作周期性变化。
x
λ y = A cos[ωt − kx + φ ]
2π ω 定义： 定义：角波数 k = = λ u
第十六章 机械波
（2）沿 ox 轴负方向传播的平面简谐波
y
u
x
o
•P
x
yo = Acos(ωt +φ)
P点在 时刻的振动状态 点在t时刻的振动状态 点在 点在[ ＝0点在 t+(x/u)] 时刻的振动状态 点在
y
O
u
t
时刻
t + ∆t 时刻
∆x
x x
∆x = u∆t
第十六章 机械波
三、波动中质点振动的速度和加速度
x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u
∂y x v = = −ωAsin[ω(t − ) +ϕ] ∂t u
注意波速与振速的区别
∂ y x 2 a = 2 = −ω Acos[ω(t − ) +ϕ] ∂t u
2
第十六章 机械波 已知波函数如下，求波长、周期和波速. 例 已知波函数如下，求波长、周期和波速
y = 5cos π(2.50t − 0.01x).
解：比较系数法： 比较系数法： 把题中波函数改写成
t x y = A cos 2π ( − ) T λ
比较得
2.50 0.01 y = 5 cos 2π( t− x) 2 2
介质中任一波面上的各点，都 介质中任一波面上的各点， 可看成是发射子波的波源； 可看成是发射子波的波源；在其后 任一时刻， 任一时刻，这些子波的包络就是新 的波面。 的波面。
yB = A cos(2πν t + ϕ0 )
y
试写出其波动方程。 试写出其波动方程。
u
d 由图可看出O点的振 解： 由图可看出 点的振 动超前于B点 动超前于 点 ∴O点的振动方程为
o
•
B
x
d ∆t = u
而这列波沿x轴正向传播 而这列波沿 轴正向传播 d x ∴ y = A cos 2πν (t + − ) + ϕ0 u u
第十六章 机械波
（1）沿 ox 轴正方向传播的平面简谐波 ） 令原点O 的其 令原点 振动方程为： 振动方程为：
y
o
r u
yo = Acos(ωt +φ)
x
•
P
x
O点振动传到 点时间为： 点振动传到P点时间为 点振动传到 点时间为： P点在 时刻的振动状态 点在t时刻的振动状态 点在
x ∆t = u
d y0 = A cos 2πν (t + ) + ϕ0 u
第十六章 机械波
二、波动方程的物理意义
x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u
1、当 x=x0 时，波动方程变成x0 处质点的振动方程 、 波动方程变成
x0 y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u
0.40 T= = = 5( s) u 0.08 2π 1 ω = φ = − π 5 2
( SI )
第十六章 机械波
t x 1 y = 0 . 04 cos 2π − − π 5 0 .4 2
处质点的振动方程为： （2）P处质点的振动方程为： ） 处质点的振动方程为
x y = A cos[ω (t − ) + φ ] u 2π 利用 ω = = 2πν 和 λ = uT T
第十六章 机械波
波动方程的多种形式： 波动方程的多种形式： x y = A cos[ω (t − ) + φ ] u
t x y = A cos[2π ( − ) + φ ] T λ
y = A cos[2π (ν t − ) + φ ]
1、波线: 沿波的传播方向画一些带箭头的线； 、波线 波的传播方向画一些带箭头的线 画一些带箭头的线； 2、波面: 不同波线上相位相同的点连成的曲面； 、波面 不同波线上相位相同的点连成的曲面； 相位相同的点连成的曲面 3、波前:任一时刻，传在最前面的波面。 、波前 任一时刻 传在最前面的波面。 任一时刻， 最前面的波面
对应曲线为该处质点振动曲线
y
O
t
第十六章 机械波 2 当 t 一定时，波动方程表示该时刻波线上各点 一定时， 相对其平衡位置的位移，对应曲线为此刻的波形图. 相对其平衡位置的位移，对应曲线为此刻的波形图
x y = A cos[ω (t0 − ) + ϕ ] u
y
o
x
第十六章 机械波
x y = A cos[ω (t0 − ) + ϕ ] u
波面 波线
波 前
第十六章 机械波 波前 波面
*
球面波
波线
平面波
第十六章 机械波
§16-2 平面简谐波 16-
波动方程
介质中任一质点（ 一、波动方程：介质中任一质点（坐标为 x）相 ） 对其平衡位置的位移（ 对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化 ） 关系， 关系，即
y = y ( x, t )
点在[ ＝0点在 t-(x/u)] 时刻的振动状态 点在
第十六章 机械波
点在t时刻的振动方程为 ∴ P点在 时刻的振动方程为 点在
x yP = A cos[ω (t − ) + φ ] u
由于P为任选的， 由于 为任选的，所以上式所表示的是任一点 为任选的 振动方程的通式，此即所求的平面简谐波的波 振动方程的通式，此即所求的平面简谐波的波 动方程。 动方程。
∆ y
o
∆x
x
在介质内任取一体积元dv 在介质内任取一体积元 dm= ρdV ∂y x v= = −ωA sin[ω (t − ) + ϕ 0 ] ∂t u dV 内的波动动能
1 1 x 2 2 2 2 dEk = (dm)v = ρ dV ω A sin [ω (t − ) + φ0 ] 2 2 u
x1 ϕ1 = ω (t0 − ) + ϕ u x2 ϕ2 = ω(t0 − ) + ϕ u ∆x21 x2 − x1 ∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π = 2π λ λ
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ =
2π
λ
∆x
第十六章 机械波 3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播 均变化， 方向的运动情况（行波） 方向的运动情况（行波）.
第十六章 机械波
体积元因形变而具有弹性势能 dv 内的波动势能
1 x 2 2 2 dE p = ρ dV ω A sin [ ω (t − ) + φ0 2 u
]
dV内的总波动能量 内的总波动能量
x dE = dEk + dE p = ρ ( dV ) A ω sin [ω (t − ) + ϕ 0 ] u
(SI )
t 0 .2 1 y = 0 . 04 cos 2π − − π 5 0 .4 2
3 = 0 . 04 cos 0 . 4π t − π 2
第十六章 机械波
§16-3 波的能量 波的强度 16一、波的能量
y
设： y = A cos[ω (t − x ) + ϕ0 ] u
第十六章 机械波
§16-6 16-
惠更斯原理
波在弹性介质中传播时,任一点 波在弹性介质中传播时,任一点P 的振动与波 源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。 源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。 因此， 点可视为一个新的波源。 因此，P 点可视为一个新的波源。惠更斯总结出了 以其名字命名的惠更斯原理 惠更斯原理： 以其名字命名的惠更斯原理：
以横波为例当体积元的位移最大时即波峰波谷处它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等的位移使该体积元发生的相对形变为零即此时有yx0所以此时体积元的弹性势能为零而此时体dededv第十六章机械波相反地当体积元处在位移为零处即平衡位置时振速相对形变均最大所以弹性势能和动能都同时达到最大值
第十六 机械波
二、能量密度
dE 单位体积内的能量 w = dV dE x 2 2 2 w= = ρA ω sin [ω (t − ) + ϕ 0 ] dV u 平均能量密度
1 w= T
∫
T
0
1 wdt = T
∫
T
0
x ρA ω sin [ω (t − ) + ϕ 0 ]dt u
2 2 2
1 2 2 = ρω A 2
已知振动方程不在坐标原点： 已知振动方程不在坐标原点： 应按照前面推求波动方程的思路， 应按照前面推求波动方程的思路，先 写出原点的振动方程， 原点的振动方程 写出原点的振动方程，而后再按上面的原 则写出波动方程。 则写出波动方程。
第十六章 机械波 设有一平面简谐波频率为ν 振幅为A以波速u 例：设有一平面简谐波频率为ν，振幅为A以波速u沿x轴 正向传播，已知波线上距原点为d 正向传播，已知波线上距原点为d的B点的振动方程为
x 故波动方程为： y = A cos ω (t + ) + φ 波动方程为： u
第十六章 机械波 点 O 振动方程
波 动 方 程
yO = A cos(ωt + ϕ ) x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u 沿 x 轴正向 u x y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] u 沿 x 轴负向 u
这说明： 这说明： w
∝ ω 、A
2
2
第十六章 机械波
三、波的强度（能流密度） 波的强度（能流密度） 单位时间内通过介质中某 一单位截面上的平均能量。 一单位截面上的平均能量。
v u
I = uw
1 2 2 I = ρω A ⋅ u 2
可见波强
u
I∝A
2
第十六章 机械波
讨论： 讨论： 1、平面余弦波，A不变 平面余弦波， 2、球面波
s2
s1
r2
r1
介质无吸收， 介质无吸收， 通过两个球面总 能量相等. 能量相等.
1 2 2 1 2 2 2 ρA ω u4πr1 = ρA2ω u4πr2 1 2 2
1 2 2 I = ρω A ⋅ u 2 2
A r2 1 = A2 r 1
球面波的振幅与离开 其波源的距离成反比. 其波源的距离成反比.
Y (m )
u = 0 .08 m s 解：（ ）O点的振动方程为： ：（1） 点的振动方程为 点的振动方程为：
P•
0 .20
X (m )
y0 = A cos [ωt + φ ]
λ
− 0 .04
故波动方程为： 故波动方程为： 2π x 1 y = 0.04 cos t − − π 0.08 2 5
2 2 2
第十六章 机械波
讨论： 讨论： dEk = dE p = 1 ρ dV ω 2 A2 sin 2 [ ω (t − x ) + φ0
2 u
]
在同一体积元dV 内， dEk 、 dEp 是同步的。 是同步的。 ① 在同一体积元
y
∆y = 0
∆x
o
x
以横波为例，当体积元的位移最大时（即波峰、波 以横波为例， 当体积元的位移最大时（ 即波峰、 谷处） 谷处 ） ， 它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等 相对形变为零 的位移， 使该体积元发生的相对形变 为零， 的位移 ， 使该体积元发生的 相对形变 为零 ， 即此时有 ∂y/∂x=0，所以此时体积元的弹性势能为零 ， 而此时体 ∂ ， 所以此时体积元的弹性势能为零， 积元的振速也为零，所以动能也为零； 积元的振速也为零，所以动能也为零；
2 2 2
对任一介质体积元来说， 对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中 吸收能量，又不断地向后面的介质传递能量。这说明 吸收能量，又不断地向后面的介质传递能量。 波动过程也就是能量传递的过程。 波动过程也就是能量传递的过程。
注意区分： 注意区分：波动能量和简谐振动的能量
在一孤立的简谐振动系统中， 在一孤立的简谐振动系统中，振动过程中系统的 动能和势能相互转换,且总能守恒保持不变 且总能守恒保持不变。 动能和势能相互转换 且总能守恒保持不变。
2 λ= = 200 (SI) 0.01
2 T = s = 0.8 s 2.5
u = = 250(SI) T
λ
第十六章 机械波 图示为一平面简谐波在t＝ 时的波形图 时的波形图， 例: 图示为一平面简谐波在 ＝0时的波形图，求 ；（2） 处质点的振动方程 处质点的振动方程。 （1）该波的波动方程；（ ）P处质点的振动方程。 ）该波的波动方程；（
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置 平衡位置
第十六章 机械波
波动方程推导思想： 波动方程推导思想： 媒质中各点的振动情况都是由波源 传播过来的，与波源振动情况相似， 传播过来的，与波源振动情况相似，只 不过在时间上存在先后差别。 不过在时间上存在先后差别。
第十六章 机械波