数学自学指南 代数式 1 (2)

自学资料
一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。

不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。

师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？
八戒憨笑着说：师父，我来考考你。

我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。

你算算，我们每人摘了多少个？
沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。

我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。

你算算，我们每人摘了多少个？
悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。

我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。

你算算，我们每人摘多少个？
一、用字母表示数
【知识探索】
1．用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．
【说明】字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数．
2．（1）在省略乘号时，要把数字写在字母的前面；
（2）当数字是带分数时，常写成假分数；
（3）数字和字母之间的乘号用“· ”或省略不写；
（4）数字和字母的除法通常用“”表示；
（5）是数字不是字母．
【错题精练】
例1．用代数式表示：“a，b两数的平方和与a，b乘积的差”，正确的是（）
A. a2+b2﹣ab
B. （a+b）2﹣ab
C. a2b2﹣ab
D. （a2+b2）ab
【答案】A
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例2．一个数倍5除，商为，余数为2，则这个数是__________ .
【答案】
例3．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的
元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（）价格进了同样的40包茶叶，如果商家以每包m+n
2
A. 盈利了；
B. 亏损了；
C. 不赢不亏；
D. 盈亏不能确定．
【答案】A
例4．一个两位数，十位数上的数字是a，各位数上的数字是b，则这两位数可以表示为（）
A. ab；
B. a+b；
C. 10a+b；
D. 10b+a．
【答案】C
例5．用12m长的铝合金做成一个长方形的窗框（如图），设长方形窗框横条的长度为x（m），则长方形窗框的面积为（）
A. x（12−x）m2
B. x（6−x）m2
C. x（6−1.5x）m2
D. x（6−2x）m2
【答案】C
【举一反三】
1．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（）
A. (3a-b)2
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B. 3(a-b)2
C. 3a-b2
D. (a-3b)2
【答案】A
2．某数为，用表示：某数与1的和的绝对值__________ .
【答案】
3．设为整数，用表示被3除以2的整数是__________ .
【答案】
4．丁丁比昕昕小，丁丁今年a岁，昕昕今年b岁，2年后丁丁比昕昕小__________ 岁
【解答】今年昕昕比丁丁大b-a岁，2年后年龄差不变，昕昕还是比丁丁大b-a岁即丁丁比昕昕小b-a岁【答案】b-a
5．果园里有苹果树和梨树共45棵,其中梨树有a棵,苹果树比梨树多__________ 棵
【解答】苹果树和梨树共45棵,其中梨树有a棵，那么苹果树45-a棵，苹果树比梨树多45-a-a=45-2a棵【答案】45-2a
6．磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具，它有速度快，爬坡能力强，能耗低等优点，它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位平均能耗的三分之一，汽车每个座位平均能耗的70%，那么，汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的（）
A. 3
7； B. 7
3
；
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C. 1021；
D. 21
10．
【答案】C
7．某企业今年1月份产值为x 万元，2月份比1月份增加了10%，3月份比2月份减少了20%，则3月份的产值是（ ）万元．
A. (1+10%)(1−20%)x ；
B. (1+10%+20%)x ；
C. (x +10%)(x −20%)；
D. (1+10%−20%)x ．
【答案】A
8．在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①，图②，已知大长方形的长为a ，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a 的代数式表示）
A. −a ；
B. a ；
C. −12a ；
D. 1
2a ．
【答案】C ．
二、求代数式的值
【知识探索】
1．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．
【错题精练】
例1．当x =1时，代数式x 3+x +m 的值是7，则当x =−1时，这个代数式的值是（ ）
A. 7；
B. 3；
C. 1；
D. ﹣7．
例2．已知代数式x﹣3y的值是4，则代数式（x﹣3y）2﹣2x+6y﹣1的值是（）
A. 7
B. 9
C. 23
D. -1
【答案】A
例3．若a=-2，b=8，则__________ ; .
【答案】56
例4．已知3a2-2a-3=0，则7+4a-6a2的值是__________
【答案】1
例5．如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2017次输出的结果
为．
【答案】3．
【举一反三】
1．x2-3x-4的值是7，则6x-2x2+2的值是__________
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2．当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=−1时，这个代数式的值是（）
A. 7；
B. 3；
C. 1；
D. ﹣7．
【答案】B
3．已知代数式2x2﹣3x+9的值为7，则的值为（）
A.
B.
C.
8
D.
10
【解答】
【答案】C
4．已知，则=__________ ．
【解答】
【答案】-2
5．已知时，代数式的值是5，求当时，的值；
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【解答】无
【答案】
6．
如果那么=
__________ .
【答案】1
7．已知A=2a2 +3ab-2a-1 ，B=-a2+ab-1，若3A+6B的值与a的值无关，求b=__________
【解答】3A+6B=3(2a2 +3ab-2a-1)+6(-a2+ab-1)=-6a+12ab-9=-6a(1-2b)-9
因为与a无关，所以1-2b=0,所以b=0.5
【答案】0.5
三、列代数式
【错题精练】
例1．如图，将6张长为a，宽为b的矩形纸板无重叠地放置在一个矩形纸盒内，盒底未被覆盖的两个矩形面积分别记为S1、S2，当S2=2S1时，则a与b的关系为（）
A. a=0.5b；
B. a=b；
C. a=1.5b；
D. a=2b．
【答案】D
【举一反三】
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1．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为．（用含a，b的代数式表示）
【答案】5a−9b．
四、拓展：列代数式（数字变化类规律）
【错题精练】
例1．小林按如图所示的程序输入一个正数x，最后输出的结果是277，则满足条件的所有x的值
为．
或4或17或69．
【答案】3
4
例2．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的数为（）
A. 4；
B. 3；
C. 0；
D. －2．
【答案】D
【举一反三】
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1．在求1+4+42+43+44+45+46+47的值时，小聪发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的4倍，于是他设：x=1+4+42+43+44+45+46+47①，然后在①式的两边都乘以4，得：4x= 4+42+43+44+45+46+47+48②，②－①得：4x−x=48−1，即3x=48−1，从而得到x= 47
．
3
探索：若把“4”换成字母a（a≠0且a≠1），则计算1+a+a2+a3+a4+⋯+a2017=．．
【答案】a2017−1
a−1
2．某市出租车收费标准：3 km以内(含3 km)起步价为8元，超过3 km后每1 km加收1.8元．
(1)若小明坐出租车行驶了6 km，则他应付多少元车费？
(2)如果用s表示出租车行驶的路程，m表示出租车应收的车费，请你表示出s与m之间的数量关系
(s>3)．
【答案】(1)他应付13.4元车费(2)m＝1.8s＋2.6
五、拓展：列代数式（几何变化类规律）
【错题精练】
例1．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）
A. 43；
B. 45；
C. 51；
D. 53．
【答案】C
例2．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
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（1）我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如上图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是个、个．
（2）请你参考以上“分块计数法”，先将上面的点阵进行分块（画在答题卷上），再完成以下问题：
①第5个点阵中有个圆圈；
②第n个点阵中有多少个圆圈?
【解答】（1）解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
（2）解：①如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=19个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=61个；
②第n个点阵中有：n×3(n−1)+1=3n2−3n+1．
【答案】（1）60个、6n个；（2）①61；②3n2−3n+1．
【举一反三】
1．如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，
（1）按此规律，图案⑦需根火柴棒；第n个图案需根火柴棒．
（2）用2017根火柴棒能按规律拼搭而成一个图案？若能，说明是第几个图案：若不可能，请说明理由．
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【解答】（1）解：∵图案①需火柴棒：8根；
图案②需火柴棒：8+7=15根；
图案③需火柴棒：8+7+7=22根；
…
∴图案n需火柴棒：8+7(n−1)=7n+1根；
当n=7时，7n+1=7×7+1=50，
∴图案⑦需50根火柴棒；
（2）解：令7n+1=2017，
解得：n=288，
故2017是第288个图案．
【答案】（1）50，7n+1；（2）2017是第288个图案．
2．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m
为，第n个正方形的中间数字为．（用含n的代数式表示）
【答案】29，8n−3．
1．由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份鸡的价格为24元/千克．设3月份鸡的价格为m元/千克，则（）
A. m=24(1−a%−b%)；
B. m=24(1−a%)b%；
C. m=24−a%−b%；
D. m=24(1﹣a%)(1﹣b%)．
【答案】D
2．某商店的一商品因需求量大，经营者对该商品进行了两次提价，每次提价10%；后经市场物价调
A. 1.04a；
B. a；
C. 0.96a；
D. 0.968a．
【答案】D．
3．下列用字母表示数的写法中，规范的是（）
yx；
A. 12
3
；
B. x×5y×1
3
xy；
C. 5
3
D. 5xy÷3．
【答案】C．
4．甲乙两地相距a（km），一辆汽车从甲地出发，行驶了t（h）后，距离乙地还有b（km），则汽车的行驶速度可表示为__________
【解答】这辆汽车行驶了a-b（km），行驶速度是（a-b）÷t
【答案】（a-b）÷t
5．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图1中阴影部分为S1，图2中阴影部分的面积和为S2．则关于S1，S2的大小关系表述正确的是（）
A. S1＞S2；
B. S1＜S2；
C. S1＝S2；
D. 无法确定．
【答案】A
6．已知S1=x，S2=3S1−2，S3=3S2−2，S4=3S3−2，…，S2014=3S2013−2，则S2014=
（结果用含x的代数式表示）．
【答案】32013x−32013+1．
7．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为__________
【答案】20
8．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第5个图形中共有点的个数是．
【答案】46．
9．当x=2时，代数式1
x−1的值是
2
【答案】0
10．已知x−3y=2，则代数式3x−9y+5=．
【答案】11．
● 实数的运算。