2015-2016年甘肃省兰州一中高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年甘肃省兰州一中高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一
个选项符合题意）
1．（3分）已知角α的终边经过点，则m等于（）A．B．C．﹣4D．4
2．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝（）
A．1B．2C．﹣1D．
3．（3分）sin（﹣π）+cosπ﹣tanπ的值为（）
A．B．C．D．﹣1
4．（3分）已知sinα+cosα＝，则tanα＝（）
A．﹣3或B．﹣3C．D．3或
5．（3分）将函数y＝sin x﹣cos x的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）
A．B．C．D．
7．（3分）代数式的值为（）
A．2B．C．1D．
8．（3分）若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（）
A．B．C．D．0
9．（3分）已知sin（x+）＝，且0＜x＜π，则cos2x＝（）
A．B．C．D．
10．（3分）已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）
A．B．C．D．（0，2]
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）在△ABC中，已知b＝50，c＝150，∠B＝30°，则∠C＝．12．（4分）函数y＝cos（﹣2x）的单调增区间是．
13．（4分）已知＝（5，3），＝（﹣2，t），若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．
14．（4分）函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最大、最小值点，且＝0，则A＝．
15．（4分）给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα＝；
②函数y＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
③设是两个非零向量，若存在实数λ，使＝λ，则|+|＝||﹣||；
④若sin（2x1﹣）＝sin（2x2﹣），则x1﹣x2＝kπ，其中k∈Z；
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．
其中正确命题的序号是．
三、解答题（本大题共5大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）设向量和不共线．
（1）如果＝+，＝2+8，＝3（﹣），求证：A、B、D三点共线；（2）若||＝2，||＝3，和的夹角为60°，试确定k，使+和+k垂直．17．（8分）已知α∈（0，），β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣．
（1）求tanα；
（2）求2α﹣β的值．
18．（10分）已知函数f（x）＝cos x sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[﹣]上的值域．
19．（12分）已知△ABC中，，边AB，BC的中点分别为D，E．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若＝0，求sin2B的值．
20．（12分）已知向量＝（cos x，sin x），＝（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：
（Ⅰ）及；
（Ⅱ）若f（x）＝﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．
2015-2016学年甘肃省兰州一中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一
个选项符合题意）
1．（3分）已知角α的终边经过点，则m等于（）A．B．C．﹣4D．4
【解答】解：∵＜0
∴α为第II象限或第III象限的角
又由角α的终边经过点P（m，﹣3），
故α为第III象限的角，即m＜0，
则＝
解得m＝﹣4，或m＝4（舍去）
故选：C．
2．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝（）
A．1B．2C．﹣1D．
【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2＝b2+c2﹣2bc cos A得：
3＝1+c2﹣2c×1×cos＝1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2＝0，∴c＝2或﹣1（舍）．
解法二：（正弦定理）由＝，得：＝，
∴sin B＝，
∵b＜a，∴B＝，从而C＝，
∴c2＝a2+b2＝4，∴c＝2．
3．（3分）sin（﹣π）+cosπ﹣tanπ的值为（）
A．B．C．D．﹣1
【解答】解：sin（﹣π）+cosπ﹣tanπ＝sin﹣cos﹣tan＝﹣﹣1＝﹣1，
故选：D．
4．（3分）已知sinα+cosα＝，则tanα＝（）
A．﹣3或B．﹣3C．D．3或
【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴平方可得1+2sinαcosα＝，
∴1+2＝1+2•＝，
则tanα＝﹣3 或tanα＝﹣，
故选：A．
5．（3分）将函数y＝sin x﹣cos x的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：将函数y＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，
可得y＝2sin（x﹣a﹣）的图象，
根据所得函数的图象关于y轴对称，可得a+＝kπ+，k∈Z，即a＝kπ+，k∈Z．
则a的最小值为，
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵P是BN上的一点，
设，由，
则
＝
＝
＝
＝
＝
∴m＝1﹣λ，
解得λ＝，m＝
故选：D．
7．（3分）代数式的值为（）
A．2B．C．1D．
【解答】解：＝，故选：B．
8．（3分）若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．0
【解答】解：由于向量与不共线，，
且，
则＝﹣＝＝0，
即有．
则向量与的夹角为．
故选：A．
9．（3分）已知sin（x+）＝，且0＜x＜π，则cos2x＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：法一：∵sin（x+）＝，
∴（sin x+cos x）＝，可得：sin x+cos x＝，
∴平方可得：1+sin2x＝，解得：sin2x＝﹣．
∵0＜x＜π，可得x+∈（，），sin（x+）＝＞0，
∴x+∈（，π），可得：x∈（0，），
∴2x∈（0，），
∴结合sin2x＝﹣＜0，可得：2x∈（π，），
∴cos2x＝﹣＝﹣＝﹣．
法二：∵0＜x＜π，可得：x+∈（，），
∵sin（x+）＝，
∴利用正弦函数的图象可知必有cos（x+）＝﹣．
∴cos2x＝2sin（x+）cos（x+）＝2×＝﹣．
故选：B．
10．（3分）已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）
A．B．C．D．（0，2]
【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）
合题意排除（B）（C）
法二：，
得：．
故选：A．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）在△ABC中，已知b＝50，c＝150，∠B＝30°，则∠C＝60°或120°．【解答】解：∵c＞b，∴C＞B，
∵b＝50，c＝150，∠B＝30°，
∴由正弦定理＝，得sin C＝，
即C＝60°或120°，
故答案为：60°或120°．
12．（4分）函数y＝cos（﹣2x）的单调增区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．．【解答】解：函数y＝cos（﹣2x）＝﹣sin2x；
令+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
所以函数y＝cos（﹣2x）的单调增区间是
[+kπ，+kπ]，k∈Z．
故答案为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．
13．（4分）已知＝（5，3），＝（﹣2，t），若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，）．
【解答】解：∵夹角为钝角；
∴，且不能反向；
即﹣10+3t＜0，且5t﹣（﹣6）≠0；
∴，且；
∴实数t的取值范围是．
故答案为：（﹣∞，）∪（，）．
14．（4分）函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，
M，N分别是最大、最小值点，且＝0，则A＝．
【解答】解：由题意，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，O为坐标原点，
∴＝（，A），＝（，﹣A），
则•＝×﹣A2＝0，
解得A＝．
故答案为：．
15．（4分）给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα＝；
②函数y＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
③设是两个非零向量，若存在实数λ，使＝λ，则|+|＝||﹣||；
④若sin（2x1﹣）＝sin（2x2﹣），则x1﹣x2＝kπ，其中k∈Z；
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．
其中正确命题的序号是①②．
【解答】解：：①sinα•cosα＝sin2α∈[﹣，]，则存在实数α，使sinα•cosα＝正确；
故①正确，
②函数y＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，则函数的最小正周期是T＝＝π；故
②正确；
③设是两个非零向量，若存在实数λ，使＝λ，当λ＞0时，有|+|＝||+||；当λ
＜0时，
有|+|＝|||﹣|||；故③错误；
④若sin（2x1﹣）＝sin（2x2﹣），则有2x1﹣＝2kπ+2x2﹣，或2x1﹣＝2kπ+π
﹣（2x2﹣），k∈z，
∴x1﹣x2＝kπ，或x1+x2＝kπ+，k∈z，故④不正确．
⑤当α＝390°，β＝30°时，满足α＞β，但sinα＝sinβ，故α＞β，则sinα＞sinβ错误，故
⑤错误，
故答案为：①②
三、解答题（本大题共5大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）设向量和不共线．
（1）如果＝+，＝2+8，＝3（﹣），求证：A、B、D三点共线；（2）若||＝2，||＝3，和的夹角为60°，试确定k，使+和+k垂直．【解答】解：（1）证明：∵；
∴；
又与有公共点A；
∴A，B，D三点共线．
（2）解：∵；
∴；
∴3k2+13k+3＝0，
∴．
17．（8分）已知α∈（0，），β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣．
（1）求tanα；
（2）求2α﹣β的值．
【解答】（本题满分为13分）
解：（1）∵2α﹣β＝2（α﹣β）+β，…（2分）
又tan（α﹣β）＝，
∴tan2（α﹣β）＝＝．…（4分）
故tan（2α﹣β）＝tan[2（α﹣β）+β]＝＝＝1．…（6分）∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝．…（7分）
（2）∵0＜α＜，
∴0＜2α＜．…（9分）
又∵tanβ＝﹣，且β∈（0，π）⇒β∈（，π）⇒﹣β∈（﹣π，﹣）．…（11分）
∴2α﹣β∈（﹣π，0）．又由（1）可得tan（2α﹣β）＝1，
∴2α﹣β＝﹣．…（13分）
18．（10分）已知函数f（x）＝cos x sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[﹣]上的值域．
【解答】解：（1）由题意得，
＝
＝
＝，
∴f（x）的最小正周期为．
（2）∵，∴，
∴，
∴f（x）的值域是．
19．（12分）已知△ABC中，，边AB，BC的中点分别为D，E．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若＝0，求sin2B的值．
【解答】解：（1）由题设得
又在△ABC中，，
即
∴，即AC⊥BC
∴△ABC为直角三角形
（2）运用坐标法，如图建立平面直角坐标系．
设A（a，0），B（0，b），则，
∴，
∴由得，
∴
∴
∴于是有
20．（12分）已知向量＝（cos x，sin x），＝（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：
（Ⅰ）及；
（Ⅱ）若f（x）＝﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）＝cos2x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
＝
∵x∈[0，]，∴cos x＞0，∴＝2cos x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）f（x）＝cos2x﹣4λcos x＝2cos2x﹣1﹣4λcos x，设t＝cos x，
则∵，∴t∈[0，1]
即y＝f（x）＝2t2﹣4λt﹣1＝2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
①λ＜0时，当且仅当t＝0时，y取最小值﹣1，这与已知矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
②当0≤λ≤1时，当且仅当t＝λ时，y取得最小值﹣1﹣2λ2，
由已知得，解得λ＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
③当λ＞1时，当且仅当t＝1时，y取得最小值1﹣4λ．
由已知得，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾．
综上λ＝为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。