中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题

两个粒子的坐标，体现了它们运动之间的动力学关联。和经典力学十 分相似，量子力学中的两体问题也可以通过引入它们的质心坐标和相 对坐标1，把它们（作为整个体系）的质心运动和彼此相对运动这两部 分运动分离开。也即令（“Jacobi 坐标”的特例）
v v v m1r v v v 1 + m2 r2 R= ，r = r2 − r1 m1 + m2
v v V = V (r1 − r2 )
最后，孤立体系本来并没有绝对方向（或优先方向），在没有外场破 坏空间各向同性的情况下，势再简化成为只与粒子间连线长度有关，
v v V = V (| r1 − r2 |) ≡ V ( r )
有关分析详见§6.2 节。 v v 回到两体相互作用为 V = V (r 1 − r2 ) 的一般情况。这时量子力学中的 两体问题由下面哈密顿量决定
见郭敦仁 “数学物理方法” ， 第 279、 286、 287 页， 人民教育出版社， 1979 年。 此处的
Ylm (θ , ϕ ) 还有另一定义，与此处相差一个因子 ( − )
|m|− m l 2
i
，见朗道《量子力学》，第 112 页。பைடு நூலகம்79
⎛ l = 0, 1, 2,L ⎞ ⎜ ⎜ m = −l , L,−1, 0, 1, L , l.⎟ ⎟ ⎝ ⎠
77
v 许多常见的，如库仑势和各向同性谐振子情况下， V (r ) 可以简化 成相对于坐标原点为各向同性的中心势 V (r ) 。 将方程(4.4)中描述相对运 v 动 ψ (r ) 的方程中 E − E R 改记为 E 并略去 Δ(r ) 顶标，相对运动方程成为
h2 v v Hψ (r ) = Eψ (r ), H = − Δ + V (r ) (4.5) 2μ v v 在绕原点的转动变换下， 正如 r 2 = r ⋅ r 一样， Δ = ∇ ⋅ ∇ 也表现为一个标量，
§4.2 轨道角动量及其本征函数
即转动不变，势 V (r ) 也就不变。因而 H 在绕原点转动变换下保持不变。 v 可以证明:粒子在中心场运动时其轨道角动量 L 和 L2 是守恒量。 比如 L2 ，用球坐标表述 H 和 L2 即能清楚看出 L2 是守恒的。因为，
H =− ⎡1 ∂ 2 1 ∂2 ∂ 1 ⎛ 1 ∂ ⎜ r sin θ + + ⎢ 2 ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 r2 ⎜ ⎢ r ∂r ⎝ sin θ ∂θ ⎣ h2 ⎛ 1 2 ⎞ ≡− ⎜ Δ r + 2 ∇ (θ ,ϕ ) ⎟ + V (r ) 2μ ⎝ r ⎠ h2 2μ =− L2 h2 Δr + + V (r ) 2μ 2μr 2
(4.14) 注意球谐函数在球面上是正交归一的
∫ ∫
0
2π
π
0
Yl ∗ ′m′ (θ , ϕ )Ylm (θ , ϕ ) sin θdθdϕ = δ ll ′ δ mm′
∗ Ylm (θ , ϕ ) = (−1) m Yl , − m (θ , ϕ )
(4.15) (4.16)
并且有
Ylm (π − θ , π + ϕ ) = (− 1) Yl ,m (θ , ϕ )
(4.2b)
则
1
这是 Jacobi 坐标在两粒子情况下的特例。一般多粒子系统的 Jacobi 坐标参见布洛欣采夫《量子力学基
础》，俄文版第 581 页。 76
H =−
h 2 ( R ) h 2 (r ) v Δ − Δ + V (r ) 2M 2μ
(4.2a)
这里
M = m1 + m2 ， μ = m1m2 m1 + m2
v v v v v v v v v v H Rϕ ( R)ψ (r ) + H r ϕ ( R)ψ (r ) = ψ (r ) H Rϕ ( R) + ϕ ( R) H rψ (r ) = Eϕ ( R)ψ (r ) v v 等式两边同除以 ϕ ( R)ψ (r ) ，得 v 1 1 v v H R ϕ ( R) + v H rψ (r ) = E ϕ ( R) ψ (r ) v v 左边两项分别属于独立坐标 R 和 r ，因此必定各自等于常数 E R 、 E r ,它
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
们的和为 E 。即得
⎧ ⎪− ⎪ ⎨ ⎪− ⎪ ⎩ v h 2 (R ) v Δ ϕ ( R) = E R ϕ ( R) 2M h 2 (r ) v v v v v Δ ψ (r ) + V (r )ψ (r ) = E rψ (r ) = ( E − E R )ψ (r ) 2μ
(4.4)
第一个方程表明， 这两个相互作用着的微观粒子， 作为一个整体(用 它们质心坐标表示)是自由运动。 它们作为一个整体没有受到外界作用。 第二个方程表明，两体的相对运动，当相互作用只和它们之间的 v v v 连接矢量 r 2 − r1 = r 有关时，只要将质量替换成折合质量,即可转化为单 体运动。 v 质心坐标 R 的运动问题称运动学问题，因为它不涉及相互作用； v 关于相对坐标 r 的运动则称动力学问题，因为它依赖于相互作用。通常 对运动学问题不感兴趣，只对包含相互作用的动力学问题感兴趣。 采用 Jacobi 坐标坐标和折合质量后，两体动力学问题描述得到了 v 简化：转化为以折合质量出现的、在固定力心 V (r ) 中的单体运动问题。 在求出两粒子相对运动后，乘以它们质心运动，并做(4.2b)逆变换，即 v 得它们运动的完整描述。下面只研究动力学问题，并记 V = V (r )。
第四章 中心场束缚态问题
§4.1 前言
自然界存在着多种性质的相互作用，最常见的是两体相互作用。 而两体相互作用中最常见的是 电荷间的库仑作用， 天体间的万有引力作用。 一般说来，两体相互作用势可表示为 v v V⎡ ⎣ r1 ( t − τ 1 ) , r2 ( t − τ 2 ) , t ⎤ ⎦。 在非相对论量子力学中，势中的 r1 和 r2 均为 t 时刻的值
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦
v v
进一步，由于时间均匀性质，不存在关于时间的绝对标架。 当两个 粒子组成孤立体系时，相互作用势的表达式将简化成为
v v V = V (r1 , r2 )
再进一步，由于空间的均匀性质，不存在关于空间的绝对标架。 当 两个粒子组成孤立体系时，势将简化成只取决于它们的相对位置
H p p v v = 1 + 2 + V ( r1 − r2 ) 2m 1 2m 2 h 2 (1 ) h 2 (2 ) v =− Δ − Δ +V ( r ) 2m 1 2m 2
2 2
(4.1)
这里 Δ(i ) =
∂2 ∂x i
2
+
∂2 ∂y i
2
+
∂2 ∂z i
2
，i = 1, 2。由于两粒子间的相互作用 V 中耦合了
l
综上所述，最后可得
L2 Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1) h 2 Ylm (θ , ϕ ) Lz Ylm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ )
1
(4.17) (4.18)
Pl m ( x ) 也即 Abramowitz m m 书 P.332 中的 Plm ( x ) 。注意， Pl ( x ) 还有另一定义，称 Hobson 定义，比此处多 ( − ) 因子。另外，
§4.3 几个一般分析
上面论述了中心场 V (r ) 情况下，轨道角动量 L 守恒，从而波函数的 (θ , ϕ ) 部分是球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) 并且 lm 是守恒量子数，可用它们对态进行 标记和分类。在求解一些具体的中心场问题之前，这里再进行一些不 依赖于 V (r ) 具体形式的一般讨论。
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节） 。 这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数 对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个 不同的正交归一态。
前几个 Ylm (θ , ϕ ) 的表达式如下：
Y00 (θ , ϕ ) = Y11 (θ , ϕ ) = − 3 Sinθ e iϕ , Y10 (θ , ϕ ) = 8π 1 4π
3 3 Cosθ , Y1−1 (θ , ϕ ) = Sinθ e −iϕ 4π 8π
15 Sin 2θ e i 2ϕ , Y21 (θ , ϕ ) = 32π 15 3Cos 2θ − 1 , Y2 −1 (θ , ϕ ) = − Y20 (θ , ϕ ) = 16π Y22 (θ , ϕ ) =
2
=
L2 x
+
L2 y
+
L2 z
, 用三个分量间的对易规则，可得
v v v L × L = ihL
2
[L , L ] = [L , L ] = [L , L ] = 0
2 2 x y z
(4.10)
于是，考虑到球坐标中 Lx ， L y ， Lz 同样都只涉及对 θ 、ϕ 的求导数，不 涉及对径向 r 求导，按(4.6)式可知:中心场 L 的三个分量也都守恒，即有 [H , Li ] = 0 (i = x, y, z ) 有时也引入如下升降算符 L± 来代替 Lx 和 L y :
⎡ ⎣ Lx , Ly ⎤ ⎦ = ihLz , ⎡ ⎣ Ly , Lz ⎤ ⎦ = ihLx , [ Lz , Lx ] = ihLy ⎡ ⎣ Li , L j ⎤ ⎦ = ihε i j k Lk
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号， 因为 L
(4.2c)
M 是总质量， μ 是折合质量。注意，经这样代换之后，哈密顿量 H 被
分成相互不关联的两项之和 H = H R + H r 。这里
HR = − h 2 (R ) h 2 (r ) v Δ ， Hr = − Δ + V (r ) 。 2M 2μ
由分离变量可以得出: 如果 H 可以分成互不关联的几部分之和，相应的能量本征值就可 以分成互不关联的几部分之和，而波函数就能分解成互不关联的几部 分之积。 情况能够如此是因为，这时可令 v v v v v v Ψ(r1 , r2 ) = Ψ( R, r ) = ϕ ( R) ⋅ ψ (r ) (4.3) &&dinger 方程成为 于是此时两体系统定态 Schro
L+ = Lx + iL y ， L− = Lx − iL y
v
(4.11)
这时可得
[ L+ , L− ] = 2hLz
78
[ Lz , L± ] = ±hL±
L2 = L± Lm + L z m hL z L+ L− + L− L+ = 2 L −
2
(
2
L2 z
)
(4.12)
有关这些算符的进一步运算可见第七章第二节的叙述。 现在讨论 L2 本征函数和本征值问题。 v 由上面对易关系看出， L 的任何两个分量彼此都是不对易。按测 v 量公设，不可能同时测准 L 三个分量中的任何两个。或者说，不存在 这种状态波函数，它既是 Lx 的本征态，又是 L y 的本征态，等等（有一 个例外情况）。但 L2 和三个分量都对易，所以 L2 和 L 中的任一分量可 以同时测量。于是可以寻找这样的状态波函数，它是 L2 和 Lz 的共同本 征函数。假定它为函数 Y (θ ,ψ ) ，于是有
L2Y = αY L z Y = βY
v
v
这里 α 、 β 是相应的本征值。用球坐标表示即为
2 − h 2∇ ( θ ,ψ ) Y = αY
− ih
∂ Y = βY ∂ϕ
满足这两个方程的解是球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) ，
Ylm (θ ,ψ ) = (− 1)
m
(l − m)! 2l + 1 m ⋅ Pl (cos θ )e imϕ , (l + m)! 4π
因为????sin??2rrvrvrrrrhr?????2?????????????22222222221sinsin1112?????hh2222rvrlr?h46这里l2为轨道角动量平方算符222??hl47由于它只对角变数作用它和h是对易的即02lh这说明在任何形式的中心场vr中运动的粒子其轨道角动量平方l2都是一个守恒量
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符 由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明， 在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子， 其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。 由直接计算可得