广东省肇庆市高中数学 第21课 极坐标与参数方程(综合训练4)学案 新人教A版选修44

第21课极坐标与参数方程（综合训练4）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。

3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。

二、问题探究
■合作探究
例1．设，分别为椭圆：（为参数）的左、右焦点.
（1）若椭圆上的点到，的距离之和为4，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2）设是（1）中椭圆的动点，求线段的中点的轨迹参数方程，并写出它的普通方程。

解：（1）∵点到，的距离之和为4，
∴，即；
∵点在椭圆上，
∴，解得，
∴，∴；
∴椭圆的方程为；焦点坐标为，。

（2）由（1）知椭圆的参数方程为，
设，，则
，，
∴线段的中点的轨迹参数方程为；
由，得，两式两边平方相加，得
线段的中点的普通方程为。

三、问题过关
1. 已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t y t
=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

【解】（Ⅰ）依题意有(2cos ,2sin )P αα，(2cos 2,2sin 2)Q αα，
∴(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++，
∴M 的轨迹的参数方程为： cos cos 2sin sin 2x y αααα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）。

（Ⅱ）M 到坐标原点的距离：d ==
∵当απ=时，0d =，∴M 的轨迹过坐标原点。

2.已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t
=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。

（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤<）。

【解】（Ⅰ）将曲线1C 的参数方程45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数）消去参数t ， 得曲线1C 的普通方程为22
810160x y x y +--+=； ∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
， ∴22
(cos )(sin )8cos 10sin 160ρθρθρθρθ+--+= 即28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，
∴1C 的极坐标方程为：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=。

（Ⅱ）将2C 的极坐标方程为2sin ρθ=化为普通方程得：2220x y y +-=； 由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩
，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩；
∴1C 与2C 交点的极坐标)4π，(2,)2π。