2019大一轮高考总复习理数文档：第09章 平面解析几何

第六节 双曲线及其性质
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线： (1)在平面内；
(2)与两定点F 1
，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数； (3)非零常数小于|F 1F 2|.
2．双曲线的标准方程和几何性质
1．辨明三个易误点
(1)双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件，若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．
(2)区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2
＝a 2＋b 2.
(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法
根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．
(2)待定系数法
①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)；
②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)；
③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2
n ＝1(mn ＜0)．
3．双曲线几何性质的三个关注点
(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；
(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(3)方程x 2m －y 2
n
＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )
(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是 x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y
n ＝0.( )
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )
(6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1
e 21
＋
1
e 22
＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
2．(教材习题改编)双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3x
D ．y ＝±2x
解析：选A 由题意知y 22－x 2
2
＝1，y ＝±x .
3．(教材习题改编)双曲线y 264－x 2
16＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦
点的距离为( )
A ．20
B ．16
C ．12
D ．8 解析：选A ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，||PF 1|－4|＝16，∴|PF 1|＝20，|PF 1|＝－12(舍去)． 4．(2016·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦
点为(5，0)，则a ＝__________；b ＝__________.
解析：由2x ＋y ＝0得y ＝－2x ，所以b
a ＝2. 又c ＝5，a 2＋
b 2＝
c 2，解得a ＝1，b ＝2.
答案：1 2
双曲线的定义及应用 [明技法]
双曲线定义的应用规律
线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
[提能力]
【典例1】 (2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦
点间的距离为4，则n 的取值范围是( )
A ．(－1,3)
B ．(－1，3)
C ．(0,3)
D ．(0，3)
解析：选A ∵方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－
m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A ．
【典例2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
8
＝1的右焦点，P 是C 的左支上
一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.
解析：设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，
∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为
x －3＋y
66
＝1.与x 2
－y 2
8
＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.
答案：12 6 [刷好题]
1．设双曲线x 2
－y 2
8
＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶
4，则△PF 1F 2的面积等于( )
A ．103
B ．8 3
C ．85
D ．16 5
解析：选C 依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，
所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝1
2
×8×
62－⎝⎛⎭⎫822
＝8 5.
2．(2018·孝感质检)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__________.
解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .
|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 2
9－
y 2
16
＝1(x ＞3)． 答案：x 29－y 2
16
＝1(x ＞3)
双曲线的标准方程 [明技法]
求双曲线标准方程的一般方法
[提能力]
【典例】 (1)(2018·东北三校联合模拟)与椭圆C ：y 216＋x 2
12＝1共焦点且过点(1，3)的双
曲线的标准方程为( )
A ．x 2
－y 2
3
＝1
B ．y 2
－x 2
12
＝1
C ．y 22－x 2
2＝1
D ．y 23
－x 2
＝1
(2)(2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近
线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A ．x 24
－y 2
＝1
B ．x 2
－y 2
4
＝1
C ．3x 220－3y 2
5＝1
D ．3x 25－3y 2
20
＝1
解析：(1)椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2
n ＝
1(m ＞0，n ＞0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
3m －1n ＝1，
m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2. 所以双曲线的标准方程为y 22－x 2
2＝1.
(2)由题意得c ＝5，b a ＝1
2，则a ＝2，b ＝1，
所以双曲线的方程为x 24－y 2
＝1.
答案：(1)C (2)A [刷好题]
1．(2015·安徽卷)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2
－y 2
4
＝1
B ．x 24－y 2
＝1
C ．y 24
－x 2
＝1
D ．y 2
－x 2
4
＝1
解析：选C 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±1
2
x ，只有C 符合，故选C ．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1
2x ，则该双曲线的
标准方程为__________.
解析：方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x ，
∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24
－y 2
＝1.
方法二 ∵渐近线y ＝1
2
x 过点(4,2)，而3<2，
∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－1
2
x 的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x 轴上，
故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由已知条件可得⎩⎨⎧
b a ＝1
2，
16a 2
－3
b 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1，
∴双曲线的标准方程为x 24－y 2
＝1.
答案：x 24
－y 2
＝1
双曲线的几何性质 [析考情]
双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．
高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题点： (1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线的离心率(或范围)． [提能力]
命题点1：求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
【典例1】 若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 2
5＝1的( )
A ．实半轴长相等
B ．虚半轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
解析：选D 由0＜k ＜5，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由16＋5－k ＝16－k ＋5，得两双曲线的焦距相等． 命题点2：求双曲线的渐近线方程
【典例2】 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，
C 1与C 2的离心率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( )
A ．x ±2y ＝0
B ．2x ±y ＝0
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
解析：选A 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，
双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2
a ，
所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32
，
所以a 4－b 4＝3
4
a 4，即a 4＝4
b 4，所以a ＝2b ，
所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±1
2 x ，即x ±2y ＝0.
命题点3：求双曲线的离心率(或范围)
【典例3】 (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )
A ．5
B ．2
C ．3
D ． 2
解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，
∴M 点的坐标为()2a ，3a .
∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2
b 2＝1，a ＝b ，
∴c ＝2a ，e ＝c
a ＝ 2.故选D ．
[悟技法]
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解． [刷好题]
1．(2018·麻城一模)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4x ，则双曲线的离心率为( )
A ．5
3
B ．54
C ．53或5
4
D ． 3
解析：选C 由双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4x ，
得b a ＝34或a b ＝34， 又离心率e ＝
1＋b 2a 2，所以e ＝53或e ＝54
. 2．(2018·西安模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且
F 2为抛物线y 2＝24x 的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若△PF 1F 2的面积为366，则双曲线的方程为( )
A ．x 29－y 2
27＝1
B ．x 227－y 2
9＝1
C ．x 216－y 2
9
＝1
D ．x 29－y 2
16
＝1
解析：选A 由题意，F 2(6,0)，设P (m ，n )，则 ∵△PF 1F 2的面积为366，
∴1
2×12×|n |＝366，∴|n |＝66，∴m ＝9， 取P (9,66)，
则2a ＝(9＋6)2＋(66)2－(9－6)2＋(66)2＝6， ∴a ＝3，b ＝33，
∴双曲线的方程为x 29－y 2
27＝1，故选A ．。