振动力学倪振华

第1 章 导 论
11
〔1〕响应分析 系统和输入参数，求系统响应。包括
位移、速度、加速度和力的响应。这为计 算和分析构造的强度、刚度、允许的振动 能量程度等提供了根据。
第1 章 导 论
12
〔2〕系统设计 振动系统鼓励(输入)和所要满足的动
态响应(输出)的要求，设计合理的系统 参数。对机器和构造的设计而言，这类 问题更为重要。
第1 章 导 论
18
自激振动：在系统自身控制的鼓励作用下发生 的振动。在适当的反响作用下，系统会自动地激 起定幅振动,一旦振动被激起,鼓励也随之消失。
例如：桥梁受风载作用后激发的振动; 电线在 风载作用线的舞动等。 〔2〕按振动的输出特性分类
分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。 简谐振动与非简谐振动：是否可以用简单的正 弦函数或余弦函数表述其运动规律;
在系统响应(输出)和系统参数的情况下确定系 统的输入,以判别系统的环境特征。
第1 章 导 论
14
对构造进展振动分析，首先要把所研究 的对象以及外界对它的作用和影响简化为理 想的力学模型。这种力学模型不但要简单， 而且在动态特性方面，应尽可能地与原始构 造等效。
实际工程构造力学模型的建立, 是振动分 析中很关键很难的一步。本课程只学习一些 根本的概念。
1. 振动问题中的名词概念 振动系统：在振动问题中所研究的
对象。如机器或构造物等。 鼓励或输入：外界对振动系统的作
用或引起机器运动的力。 鼓励或输入是随时间变化的，将引
起振动的发生。
第1 章 导 论
9
确定性鼓励:可用时间确实定函数来描 绘的鼓励;
随机鼓励:不能用时间确实定函数表示 的鼓励。随机鼓励具有一定的统计规律性 ，可以用随机函数和随机过程描绘。
响应或输出：机器或构造在鼓励作用 下产生的动态行为。
确定性鼓励下的响应不一定是确定的 ，但随机鼓励下的响应一定是随机的。
第1 章 导 论
10
2. 工程振动分析的类别 振动分析：研究振动系统、鼓励(输入)和
响应(输出)三者之间的关系。
理论上讲，只要知道两者就可以确定第 三 者 。 这样，工程振动分析所要解决的问题 可以归纳为下面几类。
第2章 单自由度系统自由振动
23
2.2 自由振动系统
振动微分方程 (P6-20)
根据振动系统构造形式的不同，建 立振动微分方程的方法也不同，主要采 用牛顿定律、动力学根本定理〔动量定 理、动能定理、动量矩定理〕以及拉格 朗日方程等。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
24
m-k系统的自由振动 (P6) m-k 系 统 虽 然 非 常 简 单 ，
这样，能量不断地变换就导致系统质量的反 复运动〔振动〕。
第1 章 导 论
17
5. 振动系统的分类 〔1〕按产生振动的输入 (鼓励) 特性分类
分为自由振动、强迫振动和自激振动。 自由振动:系统受到初始鼓励作用后，仅靠其本身 的弹性恢复力“自由地〞振动，其振动的特性仅决定 于系统本身的物理特性(质量和刚度);〔如摆钟〕 受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的鼓励 作用而“被迫地〞进展振动，其振动特性除决定于系 统本身的物理特性外，还决定于鼓励的特性; 工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、 转子偏心引起的振动等)。
振动系统的力学根本模型中包括三个根 本“元件〞：质量、弹性和阻尼。
第1 章 导 论
15
质量:和理论力学的概念一样，是物体惯 性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;
弹簧:表示振动系统弹性的理想模型。简 化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的 大小与弹簧两端点的相对位移成正比;
阻尼:任何振动在没有外界干扰(鼓励)时都 会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动 持续进展的阻力，这种阻力称为阻尼。简化 为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧 力的分析要复杂得多。
工程和日常生活中，振动现象和振动问题 既有有用的一面也有不利的一面。
利用振动原理设计出很多常用的物品和机 械构造，如摆钟、振动筛、振动物料传送 带、振动打桩机械等等。
第1 章 导 论
6
而大多数情况下, 振动会产生不良、甚至严 重、灾难性的后果。
由于振动, 降低了机器的动态精度和其它使用 性能;
由于振动, 机器在使用过程中产生宏大的反复 变动的荷载, 导致使用寿命的降低;
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
35
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
其重要的参数。
显然
n
2
T
2
f
因此n的物理意义是在2时间内振动的
次数，单位为弧度/秒(rad/s)。 圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的
三个重要特征量。
通常系统设计要依赖于响应分析， 所以在实际工作中，响应分析和系统设 计这两个问题是交替进展的。
第1 章 导 论
13
〔3〕系统识别 振动系统的鼓励(输入)和响应(输出)求系统参
数,以便理解系统的特性。 系统识别包括物理参数识别(确定系统的物理
参数:质量、刚度、阻尼等)和模态参数识别(确定 或估计系统的固有特性:固有频率、振型等)。 〔4〕环境预测
有时候振动甚至酿成灾难性事故, 如大桥因共 振而倒塌, 烟囱因风振而倾倒, 飞机因颤振而坠 落等等。
第1 章 导 论
7
5. 研究振动问题的总目的 研究振动产生的原因和它的运动
规律; 寻求控制和消除振动的方法; 振动检测，分析事故原因及控制
环境噪声; 振动技术的应用……
第1 章 导 论
8
1.2 振动系统及参量 1.3 振动系统的分类及研究方法
但却是许多实际构造振动问题 的力学模型。
质量为m，弹簧的刚度系 数为k。取质量的静平衡位置 为坐标原点, 当重物偏离 x 时, 利用牛顿定律可得到运动微分 方程：
mxkx0
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
25
改变振动 (P9) 圆盘在轴的弹性恢复力矩
作用下在平衡位置附近作改 变振动。设q为圆盘相对静平 衡位置转过的角度, J为圆盘 对轴的转动惯量, kt为使轴产 生单位转角所需施加的扭矩 (即轴的改变刚度)。那么
mxkx0
JOfmgf a0
3(Rr)fgf0
2
J kt 0
my48EIy0 l3
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
30
可以写成统一的数学形式
meqxkeqx0
meq 和 keq 分 别 称 为 等 效 质 量 和 等 效刚度，x为广义坐标。为方便起见，以 后将等效质量和等效刚度直接写为m和k。 那么方程变为：
非线性振动:振动系统的阻尼力或弹性恢复力具有 非线性性质,只能用非线性微分方程来表述。
第1 章 导 论
20
〔5〕按振动的周期性分类 周期振动系统、非周期振动(瞬态振动)系统。 简谐振动属于周期性振动, 非简谐振动也可能
是周期性振动。
解决振动问题的方法有理论分析、数值模拟与 计算、实验研究等。
本课程主要学习振动的根本理论与分析方法， 为进一步解决实际振动问题和开展研究工作打下 良好的根底。
J kt 0
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
26
复摆(P12) 设物体对悬挂点O的
转动惯量为JO，利用定 轴转动微分方程可得到
用转角f 表示的转动微
分方程:
JOfmgf a0
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
27
纯滚动圆盘(P15) m、r、R，利用功
率方程(动能定理)或拉 格郎日方程可得到用角 度f 表示的运动微分方 程:
广泛存在于工程技术和日常生活中。 如: 日常生活中，心脏的跳动、钟摆的摆动、
琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等; 工程技术领域，桥梁与建筑物的振动、飞
行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种动 力机械的振动、以及地震、风振、噪声等等，都 是属于机械振动的范畴。
第1 章 导 论
5
一是由外界干扰引起，二是构造本身固 有的原因引起。 4. 研究振动问题的目的
振动力学倪振华
课程特点与学习方法
课程性质: 力学专业课 课程特点: 理论繁杂、工程应用性强;与多门 学科严密相关… 数学根底: 微积分、微分方程、线性代数、复 变函数、积分变换、计算方法、级数等; 力学根底: 理论力学、分析力学、材料力学、 弹性力学、构造力学、有限元等。
第1 章 导 论
2
第1章 导 论
第1 章 导 论
19
随机振动:不能用简单函数或简单函数的组合来 表述其运动规律，只能用统计的方法来研究其规律 的非周期性振动。 〔3〕按振动系统的自由度数目分类
单自由度、多自由度和弹性体的振动。 〔4〕按振动微分方程或系统的构造参数特性分类
线性振动:振动系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复 力分别与加速度、速度、位移成线牲关系，可以用 常系数线性微分方程表述的振动;
3(Rr)fgf0
2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
28
梁的横向振动 质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的
质量。设梁长为l，材料的弹性模量为E，截面惯 性矩为I。那么利用材料力学的概念可得到：
my4l83EIy0
dst
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
29
振动微分方程的统一形式 比较前面几种不同系统的振动微分方程
方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平 衡位置的最大间隔 ; f 称为初相位。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统34源自从方程的解中还可以看出，系统属于周 期振动，振动的周期为
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒〔s〕。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
➢ 振动的概念 ➢ 振动研究的问题及其分类 ➢ 振动分析的力学模型 ➢ 振动问题的研究方法
第1 章 导 论
3
1.1 机械振动概述
1. 什么是振动 振动Vibration，就是物体在静平衡
位置附近所作的往复运动。 我们只研究物体在静平衡位置附近
所作的往复微小弹性运动。
第1 章 导 论
4
2. 机械振动现象 机械振动是自然界非常普遍的运动现象，
第1 章 导 论
21
第2章 单自由度系统 自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
22
2.1 引 言
➢ 单自由度系统: 可以用一个独立坐标来确定 系统的位置及其运动规律的振动系统;
➢ 单自由度线性系统的振动是最简单的振动 系统;
➢ 许多实际问题可以足够准确地简化为单自 由度振动系统;
➢ 单自由度振动系统的一些概念、特征和研 究方法，是研究复杂振动系统的根底。
那么可确定上述解中的常数为：
b1 x0 ,
b2
x0
n
A
x02x0n2 ,
farctannx0
x0
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
33
2. 概念与名词(P6-7) 一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的
简谐函数，因此这种振动为简谐振动。 方程的解中wn只决定于系统本身的参数
m和k，而与系统的初始条件无关，是系统本 身所固有的特性，所以称为固有频率，或称 圆频率或角频率。
mxkx0
因此只讨论此方程的解即可。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
31
振动微分方程的解(P6)
mxkx0
1. 方程的解
设
2 n
k m
那么方程变 为
xn2x0
通解为
xb 1cosntb 2sinnt
或
xAsin(ntf)
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
32
设系统的初始条件为：t＝0时，x＝x0，x x0
第1 章 导 论
16
弹簧表示力与位移的关系;阻尼表示力与速度 的关系;质量表示力与加速度的关系。
任何构造，之所以能产生振动，是因为它本身 具有质量和弹性。
从能量关系看, 质量可以储存动能, 弹性可以储 存势能。当外界对系统作功时, 质量就吸收动能而 具有运动速度，进而发生位移，使弹性元件储存 变形能, 因此就具有使质量恢复原来状态的才能。
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
36
固有频率的计算
1. 直接计算法 即直接利用固有频率的公式进展计算。 求出振动系统微分方程后，利用等效刚
度和等效质量，即可求出固有频率：
2 n
k m
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
37
2. 静位移方法(P7)
m-k 系 统 是 所 有 一 阶 线 性
微振动系统的模型，利用此模
型得出的结论具有一般性。
质量在静平衡位置时弹簧
的位移为
d st
mg k
dst
那么固有频率为
n
k m
g
dst
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
38
复摆系统的固有频率
用转角f 表示的转动微分