2025届河南河北山西高三(最后冲刺)数学试卷含解析

2025届河南河北山西高三（最后冲刺）数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）
A ．26
B ．13
C ．23
D ．1
2．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
3．已知0x >，a x =，22
x b x =-，ln(1)c x =+，则（ ） A ．c b a << B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．b c a << 4．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积
为S ，则S AB -的最小值为( )
A ．94-
B ．274-
C ．3227-
D ．6427
- 5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）
A ．1?S >-
B ．0?S <
C ．–1?S <
D ．0?S >
6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23
C π=
，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．1(,2)2
D ．(1,3)
7．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；
②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；
③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；
④若αβ⊥，l α
β=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ） A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④ 8．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于
另一点E ．给出以下判断：
①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；
③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
9．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）
A ．正相关，相关系数r 的值为0.85
B ．负相关，相关系数r 的值为0.85
C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-
D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-
10．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）
A ．正方体
B ．球体
C ．圆锥
D ．长宽高互不相等的长方体 11．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π
个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题
①()g x 的值域为(0,1]
②()g x 的一个对称轴是12x π= ③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝
⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．下列命题是真命题的是（ ）
A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；
C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；
D ．命题“若()110x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4AD AA AB ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．25 B ．25
C ．225
D ．45 14．过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||
MN 的最小值是__________．
15．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
16．（5分）函数2()ln(1)43=-++-f x x x x ____________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △3，O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
18．（12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于
()()3344,,,E x y F x y 两点，若12341111y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等比
数列{}n b 的前3项．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列1n n n nb a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n m T >，求整数m 的最大值； （3）是否存在数列{}n c 满足等式
()111122n n i n i i a c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，
请说明理由．
20．（12分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示 .
（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：
月份
2018.11 2018.12 2019.01 2019.02 2019.03 销售量（万
辆） 0.5 0.6 1.0 1.4
1.7
试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆？
附：对于一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()
11222
11ˆn n
i i i i
i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-. 21．（12分）已知等差数列{a n }的各项均为正数，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，1451,
11a a a ⋅==. （1）求数列{a n }的通项a n ；
（2）设b n ＝a n ⋅3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
22．（10分）已知函数()()2x
f x x e ax =-+. （Ⅰ）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()
0,0f 处的切线方程
（Ⅱ）讨论关于x 的方程()()ln f x a x a R =∈根的个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF .因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤
，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案.
【详解】
过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF .
因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ，
所以EH HF ⊥.
因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HF AD ==.
因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离.
易证平面EFH ⊥平面ABE ，
所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.
因为1122
EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以22sin 12211sin 1sin h θθ
θ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133
E ABCD V -=
⨯⨯=. 故选：B.
【点睛】
本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.
2、D
【解析】
先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，
其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，
所以甲第一个到、丙第三个到的概率是16
p =
. 故选：D
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3、D
【解析】 令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝
⎭，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2x x x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案.
【详解】
0x >时，2
2
x x x >- 令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求导2
1()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >= ∴2
ln(1)2
x x x +>-， 当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，
()11011x g x x x -'∴=
-=<++ ， 又()00g =，
()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<， 故2
ln(1)2
x x x x >+>-. 故选：D
【点睛】
本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.
4、D
【解析】
设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y
=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --= 则124x x k +=，()21212242y y k x x k +=++=+ 则2
1244AB y y p k =++=+ 由2
4x y =，得2
4x y = 12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则012
x k = 02x k ⇒=，20y k =
则点P 到直线1y kx =+的距离1d ≥
从而()
21212S AB d k =⋅=+()()
()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．
令()3224f x x x =- ()()2681f x x x x ⇒-'=≥ 当413
x ≤≤时，()0f x '<；当43x >时，()0f x '> 故()min 464327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即S AB -的最小值为6427- 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.
5、B
【解析】
根据程序框图知当11=i 时，循环终止，此时1lg110S =-<，即可得答案.
【详解】
1i =，1S =.运行第一次，11lg 1lg30,33
S i =+=->=，不成立，运行第二次， 131lg lg 1lg50,535
S i =++=->=，不成立，运行第三次， 1351lg lg lg 1lg70,7357
S i =+++=->=，不成立，运行第四次，
13571lg lg lg lg 1lg90,93579
S i =++++=->=，不成立，运行第五次， 135791lg lg lg lg lg 1lg110,11357911
S i =+++++=-<=，成立， 输出i 的值为11，结束.
故选：B.
【点睛】
本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.
6、C
【解析】 因为2
3
C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ==a A =，b B ，所以sin()])sin
32z b a B A B B B λλλπ=+=
+=+--+
])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=
+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，
所以tan φ>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2
，故选C ． 7、C
【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.
【详解】
解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错
②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α，
因为m α⊄，所以//m α，故②对
③：//n β或n β⊂，故③错
④：如图
因为αβ⊥，l αβ=，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，
则直线a β⊥，a l ⊥
又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b
又m l ⊥，所以b l ⊥
因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂
所以////b a m ，所以m β⊥，故④对.
故选：C
【点睛】
考查线面平行或垂直的判断，基础题.
8、D
【解析】 对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222
d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断； 对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得
242||164832BE m m =++，再由222
||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断.
【详解】
如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．
设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，
显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||
222
d d BF EF BE d R ++=
=>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2
480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．
所以()()()2
1212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．
则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为
12
12
2y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，
A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，
B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．
由上，有124y y m +=，2
1244x x m +=+，
则()()22
24212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．
所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．
于是，222
2
2
242
1212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，
代入2
1244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，
所以()()2
2224
224
416124a r m m
m -=+-++=．
所以③正确． 故选：D 【点睛】
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 9、C 【解析】
根据正负相关的概念判断． 【详解】
由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】
本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础． 10、C 【解析】
根据基本几何体的三视图确定． 【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 11、C 【解析】
由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=-
-+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】
由题,2
1cos 2()sin 2
x f x x -==
, 则向右平移12
π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛
⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝
⎭
cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；
当12
x π
=时,206
x π
-
=,所以12
x π
=
是函数()g x 的一条对称轴,②正确；
当3
x π
=
时,226x ππ-
=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛
⎫'=-∈- ⎪⎝
⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和
2x x =处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个. 故选:C 【点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用. 12、D 【解析】
根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】
若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2
011x ->，故B 错误；
p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q 都为真命题，则p q ∨为真，
所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；
命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”，故D 正确；
故选D 【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、C 【解析】
根据11//A B CD 确定1ACD ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角，利用余弦定理计算得到答案. 【详解】
由题意可得1115,42AC AD AB CD ====.因为11//A B CD ， 所以1ACD ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角，记为θ，
故22211125322522
cos 252542
AC CD AD AC CD θ+-+-=
==⋅⨯⨯. 故选：C .
【点睛】
本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 1472 【解析】
解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径等于1. 由M (a ,b ),则|MN |2=(a −2)2+(b −2)2−12=a 2+b 2−4a −4b +7， |MO |2=a 2+b 2.
由|MN |=|MO |,得a 2+b 2−4a −4b +7=a 2+b 2. 整理得：4a +4b −7=0.
∴a ，b 满足的关系为：4a +4b −7=0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值． 在直线4a +4b −7=0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得，直线OM 垂直直线4a +4b −7=0，
由点到直线的距离公式得：MN 的最小值为：
22
77
28
44=
+ . 15、2 【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的
值． 【详解】 二项式的展开式中的通项公式为，
令
，求得
，可得常数项为
，
，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16、[1,1)- 【解析】
要使函数()f x 有意义，则2
10430x x x ->⎧⎨
+-≥⎩，即1
14
x x <⎧⎨-≤≤⎩，解得11x -≤<，故函数()f x 的定义域是[1,1)-．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22143x y +=；
（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值21
7
. 【解析】
（1）12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得3bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；
（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论． 【详解】
（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆面积最大，所以
1
232
c b bc ⨯⨯==
由222
1
2bc c a a b c
⎧=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+
，原点到此直线的距离为d =2
2
21m
d k =+， 由2214
3y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，
2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，
所以122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k
-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
222222
2
222
4128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k --+=+⋅-+=
+++， 所以当12120x x y y +=时，2
212(1)7m k =+，22
21217m d k ==+
，d = 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2
127x =
，7
d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．
18、（1）22143
x y +=（2）直线MN 恒过定点()1,0,详见解析
【解析】
（1）依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐
标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标． 【详解】
（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴222
3b a c =-=.∴椭圆方程为22143
x y +=.
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，则()1222
112
3412014
3x t y t y t y x y =-⎧⎪
⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或1211234t y t =+，∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理2
222268
34t x t -=+，222
2
1234t y t =+ 当34x =时，由3132x t y =-有316y t =
.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又
1234
1111y y y y +=+ ∴22
1212
123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126
t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()12
1112
y y y y x x x x --=
--
12
22
2112122
2212112212121212343468686834343434
t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛
⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭ 211
221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()
()
()()2121212
11243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++
∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0.. 综上:直线MN 恒过定点()1,0. 【点睛】
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．
19、（2）1n a n =+，2n
n b =（2）1
212
n n T n +=-+，m 的最大整数是2．
（3）存在，1
2n n c -= 【解析】
（2）由2
124n n a S n +=++可得2123n n S a n -=++（2n ≥），然后把这两个等式相减，化简得11n n a a +=+，公差为2，
因为21a -，3a ，7a 为等比数列，所以()3271a a a 2
=-，化简计算得，12a =，从而得到数列{}n a 的通项公式，再计
算出 21a -，3a ，7a ，从而可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，化简计算得10n n c c +->，从而可得数列{}n c 是递增的，所以只要n T 的最小值大于
2020m 即可，而n T 的最小值为111
3
T c ==，所以可得答案； （3）由题意可知，()()()()1
121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
即()1
*
121232
2,
n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈，这个可看成一个数列的前n 项和，再写出其前（1n -）项
和，两式相减得，()*
12121,n
n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈，利用同样的方法可得()
1*2n n
c
n N -=∈.
【详解】
解：（2）由题，当1n =时，12225a S =+，即12225a a =+
当2n ≥时，2
124n n a S n +=++ ① 2123n n S a n -=++ ②
①-②得2
2
121n n n a a a +-=+，整理得()22
11n n a a +=+，又因为各项均为正数的数列{}n a ．
故{}11,n n n a a a +=+是从第二项的等差数列，公差为2． 又2371,,a a a -恰为等比数列{}n b 的前3项，
故()()()()2
23272221115a a a a a a =-⇒+=-+，解得23a =．又12
225a a =+，
故12a =，因为211a a -=也成立．
故{}n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列．故211n a n n =+-=+． 即2，4，8恰为等比数列{}n b 的前3项，故{}n b 是以12b =为首项，公比为
4
22
=的等比数列， 故2n n b =．综上1n a n =+，2n
n b =
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，则 2+1111121(1)2222()3221
n n n n
n n n n n n n n n b nb c c a a a a n n n n ++++++++-=-=---++++
22231
n n
n n +=-
++
2(31)
0(3)(+1)
n n n n +=
>+ 所以数列{}n c 是递增的， 若对*n N ∀∈均满足2020
n m T >
，只要n T 的最小值大于2020m
即可
因为n T 的最小值为111
3
T c ==， 所以2020
3
m <
，所以m 的最大整数是2． （3）由
()111
122n
n i
n i i a
c n ++-=-=--∑，得
()()()()1121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
()1*
1212322,
n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈ ③
()
*123123(1)2(1)2,
2,n n n n c c c n c n n n N ---+++⋯+-=---∈ ④
③-④得，()*
12121,
n
n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈ ⑤，
()
1*123121,
2,n n n n c c c c n
n N ----+++⋯+=-∈ ⑥
⑤-⑥得，()
1
*2
n n c n N -=∈， 所以存在这样的数列{}n c ，()
1
*2
n n c n N -=∈ 【点睛】
此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
20、（1）1.7；（2） 2.4EX =，见解析；（2）2. 【解析】
（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和； （2）易得(4,0.6)X
B ，由二项分布列的期望公式计算；
（3）利用所给公式计算出回归直线ˆˆˆy
bx a =+即可解决. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为
1.50.1
2.50.3
3.50.3
4.50.15
5.50.1
6.50.05 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以方差的估计
值为2
2
(1.5 3.5)0.1s =-⨯2
(2.5 3.5)0.3+-⨯2
(3.5 3.5)0.3+-⨯2
(4.5 3.5)0.15+-⨯
2(5.5 3.5)0.1+-⨯2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=；
（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的 频率为0.30.150.10.050.6P =+++=，则(4,0.6)X
B ，所以X 的分布列为
44()0.60.4,0,1,2,3,4k
k k P X k C k -===，数学期望40.6 2.4EX =⨯=；
（3）将 2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为 1，2，3，4，5，
记 (1,2,3,4,5)i x i i ==，10.5y =，20.6y =，3 1.0y =，4 1.4y =，5 1.7y =，由 散 点 图可知， 5组样本数据呈线性相关关系，因为3x =， 1.04y =，
1
0.5 1.23n
i
i i x y
==++∑ 5.68.518.8++=，
21
149162555n
i i x ==++++=∑，则18.853 1.04
0.325559
b -⨯⨯=
=-⨯， 1.040.3230.08a =-⨯=，
所以回归直线方程为0.320.08y x =+，当6x =时，0.3260.082y =⨯+=，预计该品 牌汽车在2019年4月份的销售量约为2万辆. 【点睛】
本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题. 21、（1）*21
,3
n n a n N +=∈.（2）3n n T n =⋅ 【解析】
（1）先设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d 的方程，解出d 的值，即可得到数列{a n }的通项a n ；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后运用错位相减法计算前n 项和T n . 【详解】
（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），则 a 4a 5＝（1+3d ）（1+4d ）＝11， 整理，得12d 2+7d ﹣10＝0， 解得d 5
4=-
（舍去），或d 23
=，
∴a n ＝123+
（n ﹣1）213
n +=，n ∈N*. （2）由（1）知，b n ＝a n ⋅3n 213n +=•3n ＝（2n +1）•3n ﹣1， ∴T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＝3×1+5×31+7×32+…+（2n +1）•3n ﹣1，
∴3T n ＝3×31+5×32+…+（2n ﹣1）•3n ﹣1+（2n +1）•3n ，
两式相减，可得：
﹣2T n ＝3×
1+2×31+2×32+…+2•3n ﹣1﹣（2n +1）•3n ＝3+2×（31+32+…+3n ﹣1）﹣（2n +1）•3n
＝3+23313
n
-⨯--（2n +1）•3n ＝﹣2n •3n ，
∴T n ＝n •3n .
【点睛】
本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n 项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
22、（Ⅰ）()2120e x y +-+=；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x =2是f (x )的一个极值点，得f ' (2) =0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到()()2ln x x e a h x x x -==-，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）因为()()2x f x x e ax =-+，则()()'1x
f x x e a =-+， 因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()'20f =，即()2
120e a -+=， 所以2a e =，
因为()02f =，()2
'01f e =+， 则直线方程为()221y e x -=+，即()
2120e x y +-+=；
（Ⅱ）因为()ln f x a x =，所以()2ln 0x x e a x ax -+-=，
所以()()2ln x x e a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()1'10g x x x =->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，
故()()110g x g <=-<，
所以()()2ln x
x e a h x x x -==-，所以()()()
221ln 1'ln x x e x x x x h x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=-，
设()2ln 1m x x x x =+--，则()()()222'11121x x x x x x
m =--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数，
所以()()22ln 20m x m >=->，
所以当01x <<时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1是减函数，
当1x >时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞是增函数，
因为01x <<时，()0h x <，()1h e =-，()20h =，
所以当a e <-时，方程无实数根，
当e a -<<0时，方程有两个不相等实数根，
当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根.
【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.。