第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标

即 cd ＞0， 所以acdd＞－0bc＞0， 或acdd＜－0b，c＜0， 即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.

本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
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解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
梳理 (1)两个实数a，b的大小关系
(2)不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔ b＜a . ②传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c . ③可加性： a＞b ⇔a＋c＞b＋c. ④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果a＞b，c＜0，那么 ac＜bc .
⑤乘方：如果a＞b＞0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2).
解析 ∵a＜b＜0， ∴－a＞－b＞0， 即(－a)2＞(－b)2， ∴a2＞b2.
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解析 答案
2.若a＜0，－1＜b＜0，则有 A.a＞ab＞ab2 C.ab＞a＞ab2
解析 ∵－1＜b＜0， ∴b＜b2＜1. ∵a＜0， ∴ab＞ab2＞a.
B.ab2＞ab＞a
√ D.ab＞ab2＞a
第一讲 一 不等式
第1课时 不等式的基本性质
学习目标 1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小. 2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 不等式的基本性质
思考 你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？ 答案 作差，与0比较.类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本 性质.
解答
反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技能 ①要判断一个命题为真命题，必须严格证明； ②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论 相反的结果.其中，举反例在解选择题时用处很大. (2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 ①倒数法则要求两数同号； ②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定； ③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减.
⑥开方：如果 a＞b＞0，那么n a ＞ n b(n∈N，n≥2).
a-b>0 a-b=0 a-b<0
题型探究
类型一 作差比较大小 例 1 (1)已知 a＞b＞0，比较ab与ab＋＋11的大小； 解 ab－ab＋ ＋11＝ab＋b1b－＋b1a＋1＝bab－＋b1.
因为a＞b＞0， 所以a－b＞0，b(b＋1)＞0，
解答
反思与感悟 比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作 差—变形—判断差的符号—得出结论，其中“变形”是关键，常用的方 法是分解因式、配方等.
跟踪训练 1 已知 x，y 均为正数，设 m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，试比较 m 和 n 的大小. 解 m－n＝1x＋1y－x＋4 y＝x＋xyy－x＋4 y
b＋ab－a a＋ba－b
＝
a
＋
b
＝(a－b)(a＋b)·1b－a1 ＝a1b(a－b)2(a＋b)， ∵a＞0，b＞0，∴a1b(a－b)2(a＋b)≥0，即ba2＋ab2≥a＋b.
证明
达标检测
1.若a＜b＜0，则下列结论不正确的是
√A.a2＜b2
B.ab＜a2
C. ba＋ab＞2
D.|a|－|b|＝|a－b|
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解析 答案
3.下列说法中，正确的个数是__4__. ①若a＞b，则ac2＞bc2；②若a≥b，则ac2≥bc2； ③若ac＞bc，则 ac＞bc； ④若ac≥bc，则 ac≥bc； ⑤若aa＞c＞bb，c， 则 c＞0；⑥若aa≥c≥bb，c， 则 c≥0.
解析 当c2＝0时，①不正确；②正确；③正确；④正确；⑤正确； 当a＝b时，⑥不正确.
证明
引申探究
3
1.若本例条件不变，求证：
ad＜ 3
bc.
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴0＜－1c＜－1d.∴－ad＞－bc＞0，
∴ 3 －ad＞ 3 －bc，即－ 3 ad＞－ 3 bc，
3
∴
ad＜ 3
bc.
证明
2.若本例条件不变，求证：aa－cc＜bb－dd. 证明 ∵a＞b＞0，∴1b＞1a＞0. 又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴－1d＞－1c＞0. ∴1b＋－1d＞1a＋－1c＞0，即db－db＞c－aca＞0， ∴c－aca＞db－db＞0，∴aa－cc＜bb－dd.
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解析 答案
4.已知 12＜a＜60,10＜b＜20，则ba的取值范围是__16_＜__ba_＜__53___. 解析 由 12＜a＜60，得610＜1a＜112， 又10＜b＜20， 所以根据不等式的性质可得16＜ba＜53.
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解析 答案
5.设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是
x＋y2－4xy x－y2 ＝ xyx＋y ＝xyx＋y，
∵x，y均为正数， ∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n.(当且仅当x＝y时，等号成立)
解答
类型二 不等式基本性质的应用
命题角度1 判断不等式是否成立
例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.
(1)若 a＞b＞0，则1a＜1b； 解 正确. 因为a＞b＞0，所以ab＞0. 两边同乘以a1b，
跟踪训练2 下列命题中正确的是__②__④____.(填序号) ①若 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ad＜ bc； ②若 a，b∈R，则 a2＋b2＋5≥2(2a－b)； ③若 a，b∈R，a＞b，则 a2＞b2； ④若 a，b∈R，a＞b，则c2＋a 1＞c2＋b 1.
解析 答案
命题角度2 证明不等式成立 例 3 已知 a＞b＞0，c＜d＜0，求证：a－b c＜b－a d. 证明 ∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0， ∴a－c＞b－d＞0，∴0＜a－1 c＜b－1 d. 又0＜b＜a， ∴a－b c＜b－a d.
得 a·a1b＞b·a1b，得1b＞1a.
解答
(2)若 c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b； 解 正确. 因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b， 所以c－1 a＞c－1 b＞0. 又 a＞b＞0，所以c－a a＞c－b b.
解答
(3)若ac＞bd，则 ad＞bc； 解 不正确.
因为ac＞bd，所以ac－bd＞0， ad－bc