八年级下数学好题难题集锦含答案(317511805版权所有)

四边形：
一：如图，△ ACD A ABE △ BCFF 匀为直线BC 同侧的等边三角形
(1)当AB# AC 时，证明四边形 ADFE 为平行四边形；
⑵ 当AB = AC 时，顺次连结A D F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直
二：如图，已知△ ABC 是等边三角形，D E 分别在边BG AC 上，且CD=CE 连
结DE 并延长至点F ,使EF=AE 连结AF BE 和CR 请在图中找出一对全等三角形，用符号“幻”表示，并加以证明。

接写出构成图形的类型和相应的条件
(2) 判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由 (3) 若AB=6 BD=2DC 求四边形ABEF 的面积
(1)
A
D
O
四：在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接 BE 且/ ABE= 30°, BE= DE 连接BD •点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ// BD 交直线BE 于点Q
(1) 当点P 在线段ED 上时(如图1),求证：BE = PD^l l PQ
3
(2) 若BC = 6,设PQ 长为x ，以P 、Q D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y ,求y 与x 的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)；
(3) 在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC 过点P 作PF 丄QC 垂足为F , PF 交对角线BD 于点G (如图2),求线段PG 的长
恵
<3 •••/ EPM=30 • PM= PE • PE= PQ
2
3
•/ BE=DE=PD+PE • BE=PD+ PQ
3 1
(2)解：由题意知 AE=—BE • DE=BE=2AE
2
•/ AD=BC=6 • AE=2 DE=BE=4
当点P 在线段ED 上时(如图1
)
解：(1)证明：•••/ A=90° / ABE=30 / AEB=60
•/ EB=ED •••/ EBD 玄 EDB=30 •/ PQ// BD
EQP=/ EBD / EPQ 2 EDB
•••/ EPQ=/ EQP=30 • EQ=EP
过点E 作EM L OP 垂足为 M • PQ=2PM
4
1 1 过点Q 做QH 丄AD 于点H QH= —PQ=_x
2 2
由（1）得 PD=BE-三 PQ=4-—
3
QC= . PQ 2 PC 2=2、7 •••/PGN=90 - / FPC / PCF=90
1 分 •••/ PNG
2 QPC=90 PN&A QPC
五：如图,这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的 纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪 几种不同的等腰梯形？分别画出它们的示意图，并写出它们的周长.
• • •
解：如图所示
• y= 1 PD- QH= 2
、、3
2
x
12
当点P 在线段 ED 的延长线上时
（如图 2）过点
Q 作QHL DA 交DA 延长线于点 H' • QH =- x
2
过点E 作EM 丄PQ 于点M
3
. ；3 同理可得 EP=EQ 亠 PQ • BE= PQ-PD
3
• PD==^x-4 y= 1 PD- QH
3 2
」2 x
12
（3）解：连接 PC 交BD 于点 （如图3）v 点P 是线段ED 中点 • EP=PD=2 • PQ=2 .. 3 ■/ DC=AB=A E tan60 = 2.3 • PC= PD 2
DC 2
=4
PD 1
• cos / DPC= =—
PC 2
•••/ DPC=60
•••/ QPC=180 - / EPQ-Z DPC=90
•/ PQ// BD
PND=/ QPC=90 • PN=1 PD=1
2
•••/ PCN M PCF
PG PN QC PQ
• PG=213 2 7 遗
②卿长対珂
六：已知：如图，在矩形ABC［中,E、F分别是边BG
AB上的点，且EF=ED,EFL ED.
求证:AE平分/ BAD.
证明：•••四边形ABGD是矩形
•••/ B=/ G=/ BAD=90 AB=GD
•••/ BEF+/ BFE=90°
•/ EF L ED/. / BEF+/ GED=90
•/ BEF=/ CED••/ BEF=/ GDE 又v EF=ED" EBF^A CDE
• BE=CD
• BE=AB\/ BAE=/ BEA=45
•/ EAD=45
•/ BAE=/ EAD
• AE平分/ BAD
七：如图，矩形纸片ABGD中,AB=8,将纸片折叠，使顶
点B落在边AD的E点
上,BC=10.
F在AD边上时，如图(2).证明四边形BGE为菱形，并求出折痕GF的长.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时，如图(1).求厶EFG勺面
积.
解:(1)过点G作GH L AD则四边形ABGH^矩形，二GHAB=8,AH=B(=10,由图形的折叠可知△ BFG^A EFG二EGBG10, / FE(=Z B=90 ° ;/• EH=6,AE=4, / AEF+Z HEG90°, v/ AEF+Z AFE=90°, A / HEG/ AFE 又
(2)当折痕的另一端
EF AE 1 1
EHG/ A=90° ,•••△EAF^A EHG：, A EF=5,二S A EF(= EF- EG—x 5x 10=25.
EG GH 2 2
(2)由图形的折叠可知四边形ABG產四边形HEGF：BG=EGAB=EH
/ BGF Z EGF：EF// BG BG=Z EFGEGF= / EFG•- EF=EG
• BG=EF, •四边形BGEF为平行四边形，又EF=EG •平行四边形BGEF为菱形;
连结BE BEFG互相垂直平分，在Rt△ EFH中，EF=BG=10, EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6 , ••AE=16 , ••BE= J AE2AB2=8 丘,A B(=4 y[5,
FG2OG2 B O=4yf5。

八： ( 1)请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上. (保留作图痕迹)
(2)写出你的作法
.
解：(1)所作菱形如图①、②所示.
说明：作法相同的图形视为同一种.例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种.
(2)图①的作法：
作矩形ABCD四条边的中点日、F1、G、H;
连接H1E1、E1F1、GF、GH.
四边形E1F1GH即为菱形.
图②的作法：
在BO上取一点Ea,使E?G>AeEa且曰不与B重合;
以E为圆心，AEa为半径画弧，交于F2；
连接fF2，则四边形A2EF2H为菱形.
九：如图，P是边长为1的正方形ABCD寸角线AC上一动点(P 与A C不重合)，
点E在射线BC上，且PE=PB
(1) 求证：① PE=PD;② PE! PD
(2) 设AP=x, △ PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：(1)证法一：
①T四边形ABC［是正方形，AC为对角线,
••• BC=DC / BCf=Z DCP45°.
•/ PC=PC
•△PBC^A PDC (SAS .
•PB= PD, / PBC/ PDC
又••• PB= PE ,
•PE=PD
②(i )当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
••• PB=PE
•/ PBE：/ PEB
•/ PEB：/ PDC
•/ PEB■/ PEC/ PDC/PEC18O°,
•/ DP匡360° -( / BCD/ PDC/ PE(>90 ° ,
PEI PD •PE! PD )
(ii )当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时, (iii )
当点E在BC的延长线上时，如图.
/ PEC/ PDC / 1 = / 2,
/ DP匡/ DCE90。

，
PE! PD
综合(i ) (ii ) (iii ) , PE!PD
(2)① 过点P作PF! BC 垂足为F,贝U BF=FE
AF=x, AC 2 ,
PC= 2 - x , PF=FC=亠、2 x) 1 2
BF=FE=1-FC=1-( 1-^x)= -^x.
2 2
S^PBE=BF- PF^-2x(1—x)
2 2
十：如图1,四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C D 不重
合)，以CG 为一边在正方形 ABC ［外作正方形CEFG 连结BG DE 我们探 究下列图中线段BG 线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
(1)①猜想如图1中线段BG 线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG^着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度
即 y
1 2
x —x (0 < x < 2).
2 2
② y
1 2 x 2 1/ 2、2 x ^(x )
1 2
2 2 2
4
a
1
< 0,
2
当x
2 时，y 最大值—・
2 4
(1)证法二: ①过点P 作GF// AB 分别交AD BC 于G F.
•••四边形ABCD 是正方形，
•••四边形ABF&口四边形GFC 都是矩形， △ AGPFH A PFC 都是等腰直角三角形.
• GD=F €FP, GP=AG3F, / PGD Z PFE =90°
又••• PB=PE
• BF =FE, • GP =FE,
• △ EFP^A PGD (SAS • PE=PD
②•
/仁/ 2.
• / 1 + / 3=/ 2+Z 3=90° • / DPE=90° . 如图所示.
• PEI PD (2)①T AP=x ,
• BF =P(=_2-
2
py.
f
S A PBE =BF , PF = —2x ( 1
2
2 x
2
(0 < x < 2 ).
2(x T 2 2 2
•当x —时,
2
y 最大值
,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论
是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6）,且AB=a BC=b CE=ka CG=kb （a b, k 0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.
（3）在第⑵题图5中’连结D G、B E'且a=3, b=2, k冷，求BE 2 DG2
的值.
解：（1）① BG DE,BG DE
②BG DE, BG DE仍然成立
在图（2）中证明如下
•••四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形
••• BC CD , CG CE, BCD ECG 90°
• BCG DCE
• BCG DCE (SAS
• BG DE CBG CDE
又•••
BHC
DHO CBG BHC 900• CDE DHO 900DOH 900
••• BG DE
(2) BG DE成立，BG DE不成立
简要说明如下
•••四边形A B C D、四边形C E F G都是矩形, 且AB a, BC b, CG kb, CE ka( a b, k 0)
BC CG b
BCD ECG 90°
DC CE a
• BCG DCE
BCG" DCE
• CBG CDE "
又••• BHC
DH
O
CBG BHC 90 i0
• CDE DHO 90°• DOH 900
• BG DE
(3)v BG DE • BE2DG2OB2OE2OG2OD2BD2GE2
又••• a 3,b 2,k 1
2
BD2GE2223212(-)265 .BE 2DG265
2 4 4。