曲线积分2-32页PPT精品文档

x
y
z
dS

x
y
z
PQR
PQ R
Pdx QdR y dzro A n td S A tds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一 、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若 从z 轴 正 向 看 去, 这 圆 周 是 逆时针方向 .
五 、 求 向 量 场 A ( x z ) i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 (从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 )的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ 为平面 x y z 3 2
z
n

的上侧被 所围成的部分.

则 n 1 {1,1,1}
o
y
x
3
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3

I

x
例1 计算曲线积分zdxxdyyd,z
其中是平面xyz1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdxxdyydz
0 D xy
dyddzzdxdxdy 1

x
y 1
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
2u ugradux2u2y2u2z2u2 u. ( 2 ) 设 A P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k , 则
A (i j k ) (P i Q j R k ) x y z
斯托克斯公式的向量形式
ro A n td S A tds 或 (ro A )ntd SA tds


其中
(rA o )ntrA o n t
(R Q )co s (PR )co s(Q P )co s
y z
z x
R Q P R Q P
[ y ( z ) co ( z s x ) co ( x s y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss

其中
的单n 位 co i 法 c so j 向 c so k , s 的单t 位 co i 切 c so j 向 c so k 量 s
四 、 利 用 斯 托 克 斯 公 式 把 曲 面 积 分 rot A nds 化 成 曲 线 积 分 , 并 计 算 积 分 值 , 其 中 A , 及n 分 别 如 下 : A y 2 i xy j xz k , 为 上 半 个 球 面 z 1 x2 y2 的上侧, n 是 的单位法向量.
例 轴转3 动设,其一角刚速体度绕过 原(点1
O 的某个
,2,3 ),
刚 线体 速上 场,每则一向点量处r的线O速 M度构成一个
x, y, z在点M 处的线速度
L
o
v
M
解 由力学知道点M的线速 度为
v r i 1 j2
k 3
由此可看出旋 度与旋转角速
zdz d yd xx d P (x y ,y ,z)d,x
空间有向曲线
同理可证
Q x dx Q z d dyy d Q (x z ,y ,z)d,y R ydy R d x dzz d R (x ,y ,z)d,z
P Q , Q R, R P 在 G 内恒成立． y x z y x z
定理2 设区域G 是空间一维单连通域函 ，数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z) 在 G 内具有一阶 连续偏导数，则表达式Pdx Qdy Rdz 在 G 内 成为某一函数u(x, y, z) 的全微分的充分必要条 件是等式 P Q , Q R, R P 在G 内恒成立． y x z y x z
dydzdzdxdxdy3 d

D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
x 1
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
其中是平面x y z 3截立方体:0 x 1, 2
二、
计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面
x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0) ,从x 轴 正 向 看去, 曲线 为 逆时 针 方
向.


三 、 求向量场 A ( z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
z
M(x,y,z)
M 0(x0,y0,z0)
O y
M 1(x,y0,z0) M 2(x,y,z0)
x
其中 M(x0,y0,z0)为G内某一定点， 点M(x,y,z)G.
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场




A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
xyz
度的关系.
观察旋度 rovt 2 1 ,2 2 ,2 3 2 .
向量微分算子
定义 ijk x y z
也称 (N为 a )算 bl子 a (或 Ha 哈 m )算 密 i.l子 t
运用向量微分算子 (1 ) 设 u u (x ,y ,z)则, uuiujuk grad;u x y z
称向量 为向量场(r的 oA t)旋 . 度 x y z P QR

i jk
旋度rotA



x y z
PQR
( R Q )i ( P R ) j ( Q P )k . y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
x y
A t A n P c Q o c s o R cs os

环 流 rA o 量 d S t A tds
Stokes公式的物理解释:
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？
定理1 设空间开区域G 是一维单连通域，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z) 在 G 内具有一阶
连续偏导数，则空间曲线积分 Pdx Qdy Rdz
在 G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线 积分为零）的充分必要条件是等式
且 u (x ,y ,z)(x ,y,z) P d Q x d Rydz (x 0,y 0,z0)
用定积分表示为
u(x, y,z)
x
x 0 P ( x , y 0 , z 0 ) dx
y
y 0 Q ( x , y , z 0 ) dy
z
R ( x , y , z ) dz . z0
即 P zdz d P ydx x d ( P y y P zfy)dxd

P P
yP [x ,y,f(x ,y) ] y zfy
P


z
dzdx
P y
dxdy

P[
Dxy y
x,
y,
f
(x,

则沿场 A中某一封闭的有向 C上曲的线曲线积分


CA
ds
C
PdxQdy
Rdz
称为向量A场 沿曲线 C按所取方向的环. 流量
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
y
dS zP QR源自2. 旋度的定义: i jk
y)]dxdy,
1
根椐格林公式

P [x ,y ,f(x ,y )d ]x P d [x ,y y ,f(x ,y )d ]
D xy y
c
即 P zdz P d ydx x c P d [x ,y ,f(x ,y )d ]x 2
平面有向曲线
P P
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
n
右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
证明 如图
设 Σ 与 平 行 于z 轴 的 直 线
z
n :zf(x,y)
相交不多于一点, 并Σ 取

上 侧 ,有 向 曲 线 C 为 Σ 的 正
向 边 界 曲 线 在 xoy 的 投 影 . 且 所 围 区 域 D xy . x
PQRdiv;A x y z
i jk A rotA.
x y z PQR
高斯公式可写成
AdvAndS ,


斯托克斯公式可写成
(A)ndSAtd.s


四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy


x
y
z dsPdxQdyRdz
其 P n Q{中 c R,co , o cs } o s s
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xo面 y 的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
二、简单的应用
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzd(xxy)dxd
PdxQdyRd.. z故有结论成立.

便于记忆形式
dydzdzdxdxdy



x
y
z
PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos

o D xy C
y
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z dz P y d dx x ( d P zc yo P y s co ) ds S
又 cosfyco,s代入上式得
P z dz P y d dx x d ( P y y P zfy ) cd oS s
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
y2 z2
3
y z2 x2
3
dS
D xy
z
x y1
2
x2 y2
x y3 2
43(xyz)dS
( 在 上 xyz3) 2

4 3
23dS
2
3 3dxdy
Dxy
9 2
.
空间曲线积分与路径无关的条件
斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关 的条件． 注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭 曲线的曲线积分为零．