2024届四川省成都树德中学中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析

2024学年四川省成都树德中学中考数学最后冲刺浓缩精华卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，点A，B在双曲线y=3
x
（x＞0）上，点C在双曲线y=
1
x
（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，
则AB等于（）
A．2B．22C．4 D．32
2．如图，直角边长为2的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为（）
A．B．
C．D．
3．最小的正整数是（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
4．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．平面直角坐标系中的点P（2﹣m，1
2
m）在第一象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（）
A．B．
C．D．
6．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；
②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求(如图1)．
乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；
②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求(如图2)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．甲乙都对B．甲乙都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，已对
7．计算
25
()
77
-+-的正确结果是（）
A．3
7
B．-
3
7
C．1 D．﹣1
8．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（）
A．26×105B．2.6×102C．2.6×106D．260×104
9．△ABC的三条边长分别是5，13，12，则其外接圆半径和内切圆半径分别是（）A．13，5 B．6.5，3 C．5，2 D．6.5，2
10．下列说法中不正确的是（）
A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形能重合D．全等三角形一定是等边三角形
11．下列事件中，必然事件是（）
A．若ab=0，则a=0
B．若|a|=4，则a=±4
C．一个多边形的内角和为1000°
D．若两直线被第三条直线所截，则同位角相等
12．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是_____．14．若a﹣3有平方根，则实数a的取值范围是_____．
15．化简
1
1
x-
÷
2
1
1
x-
=_____．
16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
17．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是_____．
18．关于x的一元二次方程2
4410
x ax a
+++=有两个相等的实数根，则
58
1
a a
a
-
-
的值等于_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 为AB 边上一点，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，且交BC 于点F ，AG 平分∠BAC 交CD 于点G .
求证：BF=AG .
20．（6分）如图，在直角坐标系xOy 中，直线y mx =与双曲线n y x
=
相交于A （－1，a ）、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1． 求m 、n 的值；求直线AC 的解析式．
21．（6分）阅读下面材料：
已知：如图，在正方形ABCD 中，边AB=a 1．
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小．
操作步
骤 作法
由操作步骤推断（仅选取部
分结论）
第一步
在第一个正方形ABCD 的对
角线AC 上截取AE=a 1，再
作EF ⊥AC 于点E ，
EF 与边BC 交于点F ，记CE=a 2 （i ）△EAF ≌△BAF （判定
依据是①）； （ii ）△CEF 是等腰直角三角形； （iii ）用含a 1的式子表示a 2
为②：
第二步
以CE 为边构造第二个正方
形CEFG；
第三步在第二个正方形的对角线
CF上截取FH=a2，再作
IH⊥CF于点H，IH与边CE
交于点I，记CH=a3：
（iv）用只含a1的式子表示
a3为③：
第四步
以CH为边构造第三个正方
形CHIJ
这个过程可以不断进行下去．若第n个正方形的边长为a n，用只含a1
的式子表示a n为④
请解决以下问题：
（1）完成表格中的填空：
①；②；③；④；
（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）．
22．（8分）学校决定在学生中开设：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．
（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率．
23．（8分）如图，已知抛物线经过原点o 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ．直线y=﹣2x ﹣1经过抛物线上一点B （﹣2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F ．
（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P 的坐标；
（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．
24．（10分）
P 是C 外一点，若射线PC 交C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0PA PB 3<⋅≤，则点P 为C
的“特征点”． ()1当O 的半径为1时．
①在点)
1P 2,0、()2P 0,2、()3P 4,0中，O 的“特征点”是______； ②点P 在直线y x b =+上，若点P 为O 的“特征点”.求b 的取值范围；
()2C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x 1=+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．
25．（10分）如图，已知∠A=∠B ，AE=BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 与BD 相交于点O ．求证：EC=ED ．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为()4,0-，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60的角，且交y 轴于C 点，以点()213,5O 为圆心的圆与x 轴相切于点D .
（1）求直线l 的解析式；
（2）将2O 以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O 第一次与1O 外切时，求2O 平移的时间.
27．（12分）在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P 的坐标满足（m ，m ﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy 中就是一次函数y=x ﹣1的图象．即点P 的轨迹就是直线y=x ﹣1．
（1）若m 、n 满足等式mn ﹣m=6，则（m ，n ﹣1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是 ；
（2）若点P （x ，y ）到点A （0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P 的轨迹；
（3）若抛物线y=
214
x 上有两动点M 、N 满足MN=a （a 为常数，且a≥4），设线段MN 的中点为Q ，求点Q 到x 轴的最短距离．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解题分析】
【分析】依据点C在双曲线y=1
x
上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，
1
a
），则B（3a，
1
a
），A（a，
3
a
），依据
AC=BC，即可得到3
a
﹣
1
a
=3a﹣a，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进
而得到Rt△ABC中，．
【题目详解】点C在双曲线y=1
x
上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，1
a
），则B（3a，
1
a
），A（a，
3
a
），
∵AC=BC，
∴3
a
﹣
1
a
=3a﹣a，
解得a=1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC=BC=2，
∴Rt△ABC中，，
故选B．
【题目点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
2、B
【解题分析】
先根据等腰直角三角形斜边为2，而等边三角形的边长为3，可得等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等腰直角三角形完全处于等边三角形内部的情况，进而得到S关于t的图象的中间部分为水平的线段，再根据当t=0时，S=0，即可得到正确图象
【题目详解】
根据题意可得，等腰直角三角形斜边为2，斜边上的高为1，而等边三角形的边长为3，高
完全处于等边三角形内部的情况，故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S
关于t 的图象的中间部分为水平的线段，故A ，D 选项错误；
当t ＝0时，S ＝0，故C 选项错误，B 选项正确；
故选：B
【题目点拨】
本题考查了动点问题的函数图像，根据重复部分面积的变化是解题的关键
3、B
【解题分析】
根据最小的正整数是1解答即可．
【题目详解】
最小的正整数是1．
故选B ．
【题目点拨】
本题考查了有理数的认识，关键是根据最小的正整数是1解答．
4、B
【解题分析】
通过图象得到a 、b 、c 符号和抛物线对称轴，将方程24ax bx c ++=转化为函数图象交点问题，利用抛物线顶点证明()+x ax b a b ≤+.
【题目详解】
由图象可知，抛物线开口向下，则0a <，0c >，
抛物线的顶点坐标是()1,4A ，
∴抛物线对称轴为直线12b x a
=-
=， ∴2b a =-， ∴0b >，则①错误，②正确；
方程24ax bx c ++=的解，可以看做直线4y =与抛物线2
y ax bx c =++的交点的横坐标，
由图象可知，直线4y =经过抛物线顶点，则直线4y =与抛物线有且只有一个交点，
则方程24ax bx c ++=有两个相等的实数根，③正确；
由抛物线对称性，抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0-，则④错误；
不等式()x ax b a b +≤+可以化为2ax bx c a b c ++≤++，
抛物线顶点为()1,4，
∴当1x =时，y a b c =++最大，
∴2ax bx c a b c ++≤++故⑤正确.
故选：B .
【题目点拨】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的各项系数与图象位置的关系、抛物线对称性和最值，以及用函数的观点解决方程或不等式.
5、B
【解题分析】
根据第二象限中点的特征可得： 2-m 01m 02
>⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得： m 2m 0<⎧⎨>⎩
. 在数轴上表示为：
故选B.
考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征
6、A
【解题分析】
（1）连接OM ，OA ，连接OP ，作OP 的垂直平分线l 可得OA =MA =AP ，进而得到∠O =∠AMO ，∠AMP =∠MPA ，所以∠OMA +∠AMP =∠O +∠MPA =90°，得出MP 是⊙O 的切线，（1）直角三角板的一条直角边始终经过点P ，它的另一条直角边过圆心O ，直角顶点落在⊙O 上，所以∠OMP =90°，得到MP 是⊙O 的切线．
【题目详解】
证明：（1）如图1，连接OM ，OA ．
∵连接OP ，作OP 的垂直平分线l ，交OP 于点A ，∴OA =AP ．
∵以点A 为圆心、OA 为半径画弧、交⊙O 于点M ；
∴OA =MA =AP ，∴∠O =∠AMO ，∠AMP =∠MPA ，∴∠OMA +∠AMP =∠O +∠MPA =90°，∴OM ⊥MP ，∴MP 是⊙O 的切线；
（1）如图1．
∵直角三角板的一条直角边始终经过点P ，它的另一条直角边过圆心O ，直角顶点落在⊙O 上，∴∠OMP =90°，∴MP 是⊙O 的切线．
故两位同学的作法都正确．
故选A ．
【题目点拨】
本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性．
7、D
【解题分析】 根据有理数加法的运算方法，求出算式2577⎛⎫-
+- ⎪⎝⎭
的正确结果是多少即可． 【题目详解】 原式25 1.77⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭
故选：D.
【题目点拨】
此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加
数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．③一个数同
1相加，仍得这个数．
8、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移
动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1
>时，n是正数；当原数的绝对值1
<时，n是负数．
【题目详解】
260万=2600000=6
2.610
⨯．故选C．
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n
a10
⨯的形式，其中1a10
≤<，n为整数，表示时关键要
正确确定a的值以及n的值．9、D
【解题分析】
根据边长确定三角形为直角三角形,斜边即为外切圆直径,内切圆半径为51213
2
+-
,
【题目详解】
解：如下图,
∵△ABC的三条边长分别是5，13，12，且52+122=132, ∴△ABC是直角三角形,
其斜边为外切圆直径,
∴外切圆半径=13
2
=6.5,
内切圆半径=51213
2
+-
=2,
故选D.
【题目点拨】
本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
10、D
【解题分析】
根据全等三角形的性质可知A，B，C命题均正确，故选项均错误；
D.错误，全等三角也可能是直角三角，故选项正确.
故选D.
【题目点拨】
本题考查全等三角形的性质，两三角形全等，其对应边和对应角都相等.
11、B
【解题分析】
直接利用绝对值的性质以及多边形的性质和平行线的性质分别分析得出答案．
【题目详解】
解：A、若ab=0，则a=0，是随机事件，故此选项错误；
B、若|a|=4，则a=±4，是必然事件，故此选项正确；
C、一个多边形的内角和为1000°，是不可能事件，故此选项错误；
D、若两直线被第三条直线所截，则同位角相等，是随机事件，故此选项错误；
故选：B．
【题目点拨】
此题主要考查了事件的判别，正确把握各命题的正确性是解题关键．
12、B
【解题分析】
∵2a=3b，∴，∴，∴A、C、D选项错误，B选项正确，
故选B.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、50°
【解题分析】【分析】直接利用圆周角定理进行求解即可．
【题目详解】∵弧AB所对的圆心角是100°，
∴弧AB所对的圆周角为50°，
故答案为：50°．
【题目点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14、a≥1．
【解题分析】
根据平方根的定义列出不等式计算即可.
【题目详解】
a-≥
根据题意，得30.
解得： 3.
a≥
故答案为 3.
a≥
【题目点拨】
考查平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
15、x+1
【解题分析】
分析：根据根式的除法，先因式分解后，把除法化为乘法，再约分即可.
详解：解：原式=
1
1
x-
÷
1
(1)(1)
x x
+-
=
1
1
x-
•（x+1）（x﹣1）
=x+1，
故答案为x+1．
点睛：此题主要考查了分式的运算，关键是要把除法问题转化为乘法运算即可，注意分子分母的因式分解.
16、60 17
．
【解题分析】
如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论. 【题目详解】
如图，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=12-x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴DE
BC
＝
AD
AC
，
∴x
5
＝
12-x
12
，
∴x=60 17
，
故答案为60 17
.
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
17、35°
【解题分析】
分析：先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°
-∠3代入数据进行计算即可得解． 详解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，
∴∠3=∠1=25°，
∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°．
故答案为35°．
点睛：本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键．
18、3-
【解题分析】
分析：先根据根的判别式得到a-1=1a
，把原式变形为23357a a a a +++--，然后代入即可得出结果. 详解：由题意得：△=2(4)44(1)0a a -⨯+= ，∴210a a --= ，∴221,1a a a a =+-=，即a(a-1)=1, ∴a-1=
1a , 5562232
888()811
a a a a a a a a a a
--∴==-=-- 33232(1)8(1)33188357a a a a a a a a a =+-+=+++--=+--
(1)3(1)57a a a a =+++--
24a a =--
故答案为-3.
点睛：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²-4ac ：当△>0, 方程有两个不相等的实数根；当△<0,
方程没有实数根；当△=0，方程有两个,相等的实数根，也考查了一元二次方程的定义.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、见解析
【解题分析】
根据角平分线的性质和直角三角形性质求∠BAF=∠ACG .进一步证明△ABF ≌△CAG ，从而证明BF=AG .
【题目详解】
证明：∵∠BAC=90°，，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°，
又∵AG 平分∠BAC ，∴∠GAC=
12
∠BAC=45°， 又∵∠BAC=90°，AE ⊥CD ，
∴∠BAF+∠ADE=90°，∠ACG +∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ACG . 又∵AB=CA, ∴B GAC AB CA BAF ACG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ABF ≌△CAG （ASA ），
∴BF=AG
【题目点拨】
此题重点考查学生对三角形全等证明的理解，熟练掌握两三角形全等的证明是解题的关键.
20、（1）m ＝－1，n ＝－1；（2）y ＝－
12x ＋12 【解题分析】
（1）由直线y mx =与双曲线n y x
=相交于A(－1，a)、B 两点可得B 点横坐标为1，点C 的坐标为(1，0)，再根据△AOC 的面积为1可求得点A 的坐标，从而求得结果；
（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由图象过点A （－1，1）、C （1，0）根据待定系数法即可求的结果.
【题目详解】
（1）∵直线y mx =与双曲线n y x
=
相交于A(－1，a)、B 两点， ∴B 点横坐标为1，即C(1，0)
∵△AOC 的面积为1，
将A(－1，1)代入y mx =，n y x
=可得m ＝－1，n ＝－1； （2）设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b
∵y ＝kx ＋b 经过点A （－1，1）、C （1，0）
∴1,{0,k b k b -+=+=解得k ＝－12，b ＝12
． ∴直线AC 的解析式为y ＝－
12x ＋12
． 【题目点拨】
本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，此类问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，熟练掌握待定系数法是解题关键.
21、（11）a 1；③－1)2a 1；④1)n －1a 1；（2）见解析.
【解题分析】
（1）①由题意可知在Rt △EAF 和Rt △BAF 中，AE=AB ，AF=AF ，所以Rt △EAF ≌Rt △BAF ；
②由题意得AB=AE=a 1，1，则CE=a 21﹣a 1=1）a 1；
③同上可知－1）a 1，FH=EF=a 2，则CH=a 3=CF ﹣－1)2a 1；
④同理可得a n －1)n －1a 1；
（2）根据题意画图即可.
【题目详解】
解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
理由是：如图1，在Rt △EAF 和Rt △BAF 中， ∵AE AB AF AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △EAF ≌Rt △BAF （HL ）；
②∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=a 1，∠ABC=90°，
∴a 1，
∵AE=AB=a 1，
∴CE=a2=2a1﹣a1=（2﹣1）a1；
③∵四边形CEFG是正方形，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=2CE=2（2－1）a1，
∵FH=EF=a2，
∴CH=a3=CF﹣FH=2（2－1）a1﹣（2－1）a1=(2－1)2a1；
④同理可得：a n=(2－1)n－1a1；
故答案为①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②（2﹣1）a1；③(2－1)2a1；④(2－1)n－1a1；（2）所画正方形CHIJ见右图.
22、（1）150；（2）详见解析；（3）3 5 .
【解题分析】
（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去A、C、D得到B类人数，再计算出它所占的百分比，然后补全两个统计图；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出刚好抽到不同性别学生的结果数，然后利用概率公式求解．【题目详解】
解：（1）15÷10%=150，
所以共调查了150名学生；
（2）喜欢“立定跳远”学生的人数为150﹣15﹣60﹣30=45，
喜欢“立定跳远”的学生所占百分比为1﹣20%﹣40%﹣10%=30%，
两个统计图补充为：
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中刚好抽到不同性别学生的结果数为12， 所以刚好抽到不同性别学生的概率123.205=
= 【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
23、（1）214
y x x =-；（2）（2+221）（ 2-22，1）；（3）存在，145t =，245t =，36t =，4132t = 【解题分析】
试题分析：（1）将x =-2代入y =-2x -1即可求得点B 的坐标，根据抛物线过点A 、O 、B 即可求出抛物线的方程.
（2）根据题意，可知△ADP 和△ADC 的高相等，即点P 纵坐标的绝对值为1，所以点P 的纵坐标为1± ，分别代入
214
y x x =
-中求解，即可得到所有符合题意的点P 的坐标． （3）由抛物线的解析式为214y x x =- ，得顶点E （2，﹣1），对称轴为x =2； 点F 是直线y =﹣2x ﹣1与对称轴x =2的交点，求出F （2，﹣1），DF =1．
又由A （4，0），根据勾股定理得5AE = ．然后分4种情况求解.
点睛：（1）首先求出点B 的坐标和m 的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△ADP 与△ADC 有共同的底边AD ，因为面积相等，所以AD 边上的高相等，即为1；从而得到点P 的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P 的纵坐标；
（3）如解答图所示，在点M 的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF 的长度，从而得到运动时间t 的值．
24、（1）①()1P 2,0、()2P 0,2；②22b 22-≤≤；（2）m 221>-或，m 221<--． 【解题分析】
()1①据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C 的“特征点”，可得答案；
②根据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C 的“特征点”，可得2m ≤，根据等腰直角三角形的性质，可得答案； ()2根据垂线段最短，可得PC 最短，根据等腰直角三角形的性质，可得2CM PC =
，根据若03PA PB <⋅≤，则点P 为C 的“特征点”，可得答案．
【题目详解】
解：()()()1PA PB 2121211①⋅=
-⨯+=-=，0PA PB 3∴<⋅≤， 点()
1P 2,0是O 的“特征点”； ()()PA PB 212131⋅=-⨯+==，0PA PB 3∴<⋅≤，
点()2P 0,?2是O 的“特征点”；
()()PA PB 414115⋅=-⨯+=，PA PB 3∴⋅>，
点()3P 4,0不是
O 的“特征点”； 故答案为()
1P 2,0、()2P 0,2 ②如图1，
在y x b =+上，若存在O 的“特征点”点P ，点O 到直线y x b =+的距离m 2≤．
直线1y x b =+交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线1y x b =+于点H ．
因为OH 2=．
在Rt DOE 中，可知OE 22=． 可得1b 2 2.=同理可得2b 22=-．
b ∴的取值范围是：22b 2 2.-≤≤
()2如图2
，
设C 点坐标为()m,0，
直线y x 1=+，CMP 45∠∴=．
PC MN ⊥，CPM 90∠∴=，
MC 2PC ∴=，2PC MC 2
=． MC m 1=+．
)22PC MC m 122
==+ )2PA PC 1m 112=-=
+-，)2PB PC 1m 112=+=++ 线段MN 上的所有点都不是C 的“特征点”，
PA PB 3∴⋅>， 即))2221m 11m 11(m 1)13222
⎤⎤+-++=+->⎥⎥⎣⎦⎣⎦， 解得m 221>或m 221<-，
点C 的横坐标的取值范围是m 221>或，m 221<-．
故答案为 ：（1）①()1P 2,0、()2P 0,2；②22b 22-≤≤；（2）m 221>-或，m 221<--． 【题目点拨】 本题考查一次函数综合题，解()1①的关键是利用若03PA PB <⋅≤，则点P 为C 的“特征点”；解()1②的关键是利用等腰直角三角形的性质得出OE 的长；解()2的关键是利用等腰直角三角形的性质得出
()22122
PC MC m ==+，又利用了3PA PB ⋅>． 25、见解析
【解题分析】
由∠1=∠2，可得∠BED =∠AEC ，根据利用ASA 可判定△BED ≌△AEC ，然后根据全等三角形的性质即可得证.
【题目详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED ，
即∠BED=∠AEC ，
在△BED 和△AEC 中，
，
∴△BED ≌△AEC （ASA ），
∴ED=EC ．
【题目点拨】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
26、（1）直线l 的解析式为：3123y x =--（2）
2O 平移的时间为5秒.
【解题分析】
（1）求直线的解析式，可以先求出A 、C 两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）设⊙O 2平移t 秒后到⊙O 3处与⊙O 1第一次外切于点P ，⊙O 3与x 轴相切于D 1点，连接O 1O 3，O 3D 1． 在直角△O 1O 3D 1中，根据勾股定理，就可以求出O 1D 1，进而求出D 1D 的长，得到平移的时间．
【题目详解】
（1）由题意得OA 4812=-+=，
∴A 点坐标为()12,0-.
∵在Rt ΔAOC 中，OAC 60∠=︒，
OC OAtan OAC 12tan60123∠==⨯︒=，
∴C 点的坐标为()
0,123-.
设直线l 的解析式为y kx b =+，
由l 过A 、C 两点， 得123012b k b ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩
， 解得1233
b k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，
∴直线l 的解析式为：y 3x 123=--.
（2）如图，
设2O 平移t 秒后到3O 处与1O 第一次外切于点P ，
3O 与x 轴相切于1D 点，连接13O O ，31O D .
则1313O O O P PO 8513=+=+=，
∵31O D x ⊥轴，∴31O D 5=，
在131Rt ΔO O D 中，2225111331O D O O O D 13512=-=-=.
∵11O D O O OD 41317=+=+=，
∴1111D D O D O D 17125=-=-=，
∴5t 51=
=（秒）， ∴2O 平移的时间为5秒.
【题目点拨】
本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的．
27、（1）6y x =；（2）y=14
x 2；（3）点Q 到x 轴的最短距离为1． 【解题分析】
（1）先判断出m （n ﹣1）=6，进而得出结论；
（2）先求出点P 到点A 的距离和点P 到直线y=﹣1的距离建立方程即可得出结论；
（3）设出点M ，N 的坐标，进而得出点Q 的坐标，利用MN=a ，得出()()2216116k k b ++≥，即可得出结论．
【题目详解】
（1）设m=x ，n ﹣1=y ，
∵mn ﹣m=6，
∴m （n ﹣1）=6，
∴xy=6，
∴6y x =， ∴（m ，n ﹣1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是6y x =
， 故答案为：6y x
=，； （2）∴点P （x ，y ）到点A （0，1），
∴点P （x ，y ）到点A （0，1）的距离的平方为x 2+（y ﹣1）2，
∵点P （x ，y ）到直线y=﹣1的距离的平方为（y+1）2，
∵点P （x ，y ）到点A （0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，
∴x 2+（y ﹣1）2=（y+1）2，
∴214
y x =； （3）设直线MN 的解析式为y=kx+b ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴线段MN 的中点为Q 的纵坐标为
12.2y y + ∴214
x kx b =+， ∴x 2﹣4kx ﹣4b=0，
∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4b ，
∴()()21212121122.222y y kx b kx b k x x b k b +⎡⎤=+++=++=+⎣
⎦ ∴()()()()()()2222
222121212121211[4]MN x x y y k x x k x x x x =-+-=+-=++-， ()()
2216116k k b =++≥
∴2211
k b k +≥+， 222212221111211211y y k k b k k k k +⎛⎫=++≥+=-+-≥-= ⎪++⎝⎭
∴点Q 到x 轴的最短距离为1．
【题目点拨】
此题是二次函数综合题，主要考查了点的轨迹的定义，两点间的距离公式，中点坐标公式公式，根与系数的关系，确定出()()2216116k k b ++≥是解本题的关键．。