2019-2020年人教版高中数学第一章1.2第2课时导数的运算法则

[类题尝试] 求导 f(x)＝(x2－1)(x＋3)． [规范解法] f′(x)＝[(x2－1)]′(x＋3)＋(x2－1)(x＋3)′ ＝2x(x＋3)＋x2－1＝3x2＋6x－1. [巧妙解法] 因为 f(x)＝(x2－1)(x＋3)＝x3＋3x2－x －3，所以 f′(x)＝(x3＋3x2－x－3)′＝3x2＋6x－1.
答案：C
3．若曲线 y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过 坐标原点，则 α＝________．
解析：y′＝αxα－1，则 k＝α，故切线方程 y＝αx 过点
(1，2)解得 α＝2.
答案：2
4．函数 y＝x2－sin
x 2cos
x2的导数 y′＝________．
解析：因为 y＝x2－sin
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
′
＝
cos x x
′
＝
（cos x）′ x－cos x（ x）′ －sin x· x－cos x·12·x－12
（ x）2
＝
x
＝
－
xsin
xx＋c2os xx＝－cos
x＋2xsin 2x x
x .
(4)因为 y＝x－sinx2·cosx2＝x－12sin x， 所以 y′＝x－12sin x′＝1－12cos x.
线方程为( ) A．2x＋y－1＝0 C．2x＋y＋1＝0
B．2x－y－1＝0 D．2x－y＋1＝0
(2)(2016·天津卷)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为
f(x)的导函数，则 f′(0)的值为________．
解析：(1)因为 f′(x)＝(x＋xln x)′＝1＋x′lnx＋x(ln x)′ ＝1＋ln x＋1＝2＋ln x，所以 f′(1)＝2＋ln 1＝2，
第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算 第 2 课时 导数的运算法则
[学习目标] 能利用基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
(1)导数的运算法则 1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． (2) 导 数 的 运 算 法 则 2 ： [u(x)v(x)]′ ＝ u′(x)v(x) ＋ u(x)v′(x)．特别地，若 u(x)＝c，则[cv(x)]′＝cv′(x)．
(3)导数的运算法则 3：uv（（xx））′＝ u′（x）v（x）－u（x）v′（x） ___________[v__（__x_）__]2____________ [v(x)≠0]．
温馨提示 对于法则 2 和法则 3，应避免出现 [u(x)v(x)]′＝u′(x)v′(x)和uv（ （xx） ）′＝vu′′（（xx））这样的错误．
归纳升华 1．准确记忆公式是进行导数运算的前提，在解题过 程中要注意如何使用运算法则使运算变得简单． 2．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再 求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘 积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
[变式训练] (1)函数 f(x)＝x＋xln x 在(1，1)处的切
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1．熟记四个常见函数的导数和 8 个求导公式． 2．用求导公式求出函数的导数后可求函数在任一点 x＝x0 处的导数，从而可以研究函数在任给的一点处的导 数的几何意义、物理意义以及函数在这一点附近的变化情 况．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( )
(2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.(
)
(3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( )
解析：(1)错，f′(x)＝cos x－xsin x.
解析：由题意可得 f′(x)＝3ax2＋1， 所以 f′(1)＝3a＋1， 又 f(1)＝a＋2，所以 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1， f(1))处的切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线 过点(2，7)，
所以 7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得 a＝1. 答案：1
x 2cos
x2＝x2－12sin x，
所以 y′＝2x－12cos x.
答案：2x－12cos x
5．曲线 y＝x3＋11 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交 点的纵坐标是________．
解析：因为 y′＝3x2，所以 y′|x＝1＝3，切线方程为 y－12＝3(x－1)，即 y＝3x＋9，令 x＝0，得 y＝9.
类型 3 复杂函数的求导方法(巧思妙解)
[典例 3]
求导：f(x)＝
x＋1 x－1.
[常规解法] f′(x)＝ xx＋ －11′＝
（ x＋1）′（ x－1）－（ x－1）′（ x＋1）
（ x－1）2
＝
1
1
2 x（ x－1）－2 x（ x＋1）
－1－1
（ x－1）2
＝ 2
x（
x－1）2＝
ex－xex 1－x (2)错，f′(x)＝（ex）2＝ ex .
(3)错，因为常数的导数为 0，所以 f(x)＝x2＋c(为常 数 c)．
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数 y＝exln x 的导数是( )
ex A. x
B．exln x
C．exln x＋
ex x
exln x D. x
解析：y′＝(exln x)′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋exx.
答案：9
类型 1 导数运算法则的应用(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝15x5＋23x3； (2)y＝lg x－ex； (3)y＝ 1x·cos x； (4)y＝x－sinx2·cosx2.
解：(1)y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′＝x4＋2x2. (2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
(3)法一
y′＝
1x·cos
x′＝
1x′cos
x＋
1 x(cos
x)′＝(x
－12)′cos x－ 1xsin x＝－12x－32cos x－ 1xsin x＝－c2osxx3－
1 xsin
x＝－2coxs
xx－
1 xsin
x.
法二
y′
＝

1x·cos
x
所以函数 f(x)在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x －1)，
即 2x－y－1＝0. (2)因为 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以 f′(0)＝3. 答案：(1)B (2)3
类型 2 利用导数求参数 [典例 2] 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 通过点(1，1)， 且在点(2，－1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a、b、c 的值． 解：y＝ax2＋bx＋c 通过点(1，1)， 所以 a＋b＋c＝1.① 因为 y′＝2ax＋b，所以曲线过点(2，－1)的切线的斜 率为 4a＋b＝1.②
又曲线过点(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1.③ 由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
归纳升华 若导数问题中涉及参数问题，应先求导数，再根据题 设条件建立参数的方程(或不等式)求解．
[变式训练] 已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点 (1，f(1))处的切线过点(2，7)，则 a＝________.
－
x（
1 x－1）2.
[巧妙解法] 先将函数式化简，再求导数．
x＋1 x－1＋2
因为 f(x)＝
＝
＝பைடு நூலகம்＋
2
，
x－1 x－1
x－1

所以 f′(x)＝1＋

x2－1′＝2
x1－1′＝
0－（ x－1）′ 2× （ x－1）2 ＝－
x（
1 x－1）2.
归纳升华 对于较复杂的函数式，求导前应将函数式等价变形， 然后再运用导数运算法则求导．