中考数学专题复习-数学的分类讨论思想

中考数学专题复习之六：数学的分类讨论思想
【中考题特点】：
分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。

在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，比如：①对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。

在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。

【范例讲析】：
例1：当m 是什么整数时，关于x 的方程：x 2－2(m+1)x+m 2+2=0，与方程⑵：x 2+(2m －
3)x+m 2－7=0的根都是整数？
例2：已知直线y=－x+8和双曲线)0(≠=k x
k y 。

⑴k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ ⑵设⑴中的两个交点为A 、B ，试比较∠AOB 的度数与90°的大小。

例3：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到达点B 、C ），过D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于E 。

⑴求证：△ABD ∽△DCE ；
⑵设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
⑶当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长。

A B C
D E
例4：已知平面直角坐标系内有两点A （－2，0）、B （4，0），点P 在直线2521+=
x y 上，且△ABP 为直角三角形。

⑴求点P 坐标，并在图中直角坐标系内标出P 点的位置；
⑵经过P 、A 、B 三点且对称轴平行于y 轴的抛物线是否存在？
若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

例5：已知一抛物线经过O(0，0)、B(1，1)两点且解析式的二次项系数为－
a
(a ＞0
〕 (1)求该抛物线的解析式(系数用含a 的代数式表示)；
(2)已知点A(0，1)，若抛物线与射线AB 相交于点M 与x 轴相交于点N(异于原点)，求点M 、N 的坐标(用含a 的代数式表示)；
(3)在(2)的条件下，问：当a 在什么范围内取值时，ON+BM 的值为常数？当a 在什么范围内取值时，ON-BM 的值也为常数？
【练习】：
1． 已知α、β是方程x 2+x+a=0的两个实数根。

求 a 的取值范围；⑵试用a 表示|α|+|β|。

2． 一次函数73
7+=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点C （a ，0）（a<0）使△ABC 为等腰三角形，求经过B 、C 两点的一次函数的解析式。

3． 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于2
1，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出S 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。

4．已知抛物线y ＝2x －5mx+4m 2 (m 为常数). (1)求证：此抛物线与x 轴一定有交点；
(2)是否存在正数m ，使已知抛物线与x 轴两个交点的距离等于
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m -？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.。