2019届浙江省杭州市高考命题比赛模拟(七)数学试卷(含答案)

2019年高考模拟试卷数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概
率()C (1)
(0,1,2,,)k k n k
n n P k p p k n -=-=
台体的体积公式121
()3V S S h =
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体高
锥体的体积公式1
3V Sh = 其中S 表示锥
体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π
球的体积公式
34
3
V R =π
其中R 表示球的半径
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．设复数86ai
z i
=
-，其中a ∈R ，i 为虚数单位，已知︱Z ︱=10，则a 为（ ） A ．100 B ．100± C ．10 D ．10±
【本题主要考查复数的运算、复数的模，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学的运算，属容易题】
2．已知直线l 1：x+y-2a=0和l 2： -x+(a 2-2)y+2=0.则l 1∥l 2，是a=-1的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【本题考查两直线平行和充要条件的判定，解答时需注意判断过程中要排除直线重合的情况，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理和数学运算，属容易题】 3．已知等差数列{an}的前n 项和为S n ，若S 14﹤0，S 15≥0（ ） A 、a 1﹤0，S n 有最小值 B 、a 1﹤0，S n 有最大值 C 、a 1﹤0，S n 有最大值 D 、a 1﹤0，S n 有最大值
【本题考查数列的性质，解答本题时先利用数列的前n 项和Sn 的正负性，确定等差数列的单调性及其首项的正负情况，以此确定Sn 的最值情况，核心素养是数学运算和逻辑推理能力，属容易题。

】 4．设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线， ①若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥则； ②若//,//,,;l m m n l n αα⊥⊥则
③若//,,l m m n αα⊥⊥，则//;l m
④若,,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥则；
则上述命题中正确的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
【本题考查空间点、线、面的位置关系，同时考查空间想象能力，核心素养是考查逻辑推理，属中档题】
5．若实数M(x,y )满足不等式组220,
1,
0,x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
表示平面区域内的任意一点，过点M 向圆C ：2
2
(x 2)y =1-+作切线，切点分别为P 、Q ，则四边形MPCQ 面积的最小值是（ ）
A.
B. C. 1
D. 【本题主要考不等式组表示的平面区域、圆方程与性质、点到直线的距离等，考查化归与转化思想、数形结合思想、
运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算，属中档题】
6.如图，在⊿OAB 中，C,D 分别为AB,OB 的中点，E 为OA 上离点O 最近的四等分点，F 为CE 与AD 的交点。

若
===a 则,,( )
A. b a 1035
2+ B. b a 5352+ C. b a 10351+ D. b a 10353+ 【本题考查平面向量的运算、平面向量基本定理、三点共线满足的条件等基础知识，核心素养是数学的运算，属中
档题】
7.将3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于或等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现有效排列的概率为（ ） A.
21 B. 41 C. 51 D. 10
1
【本题主要考查组合计数在求解概率问题中的应用，同时考查分类思想，属中档题】 8． ()()时，为奇函数，当，且，，的定义域为函数1)1(11)(>+∞+⋃∞-x x f x f 的取值范围是有两个零点的实数，则方程m m x f x x f x =+-=)(16122)(2
( )
A ．()6,6-
B ．()6,2-
C ．()()6,22,6⋃--
D ．()()+∞⋃-∞-,66, 【本题主要考查函数性质以及方程零点问题，同时考查数形结合思想，属难题】 9.已知实数y x ,满足xy y x =++32，且对任意的实数),2(+∞∈x ，),1(+∞∈y ， 不等式01)3()3(2
≥+-+--+y x a y x 恒等式，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．]10521-(，
∞ B. ]52-(，∞ C. )52[∞+， D. )10
521[∞+，
【本题主要考查基本不等式、函数的性质，同时考查代数变形能力，属难题】
10.已知函数f(x)满足2f(x+3)-f(x)=0(x ∈R),当f(x)= ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<≤++<≤+3
2,22
,
20,12x x x x x
函数g （x ）=.ln 223
23
a x x ++若对于任意的m ∈[-6，-3）,存在n ∈[-6，-3），使得不等式f(m)≥g(n)成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，2e] B ．(0,e 2)
C ．(0,e 2]
D ．[e 2,+∞)
【本题考查分段函数、三次函数的图像和性质，不等式恒成立和不等式的存在性问题，意在考查学生的转化与化归能力、综合分析问题与解决问题的能力，核心素养是数学抽象和数学运算，属难题】
非选择题部分（共110分）
二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分， 共36分。

11．已知1tan()42π
α+=，且02π
α-<<，则=αtan ____;22sin sin 2cos()4
ααπα+=-_____.
【本题考查同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式，考查考生的运算求解能力，核心素养是数学运算，属容易题】
12.设
n
x
）（21x 2-的展开式中第一项的系数为64，则n=______,展开式中常数项为______ 【本题考查二项展开式中指定项的系数，属容易题】
13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm 3，则该几何体的表面积为_______ cm 2
【本题考查三视图、几何体体积和表面积的计算等知识，考查学生数形结合能力、空间想象能力以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算，属中档题】
14.已知圆1C 2
2
1=+y x ：与圆086C 2
2
2=++-+m y x y x ：外切，
m =________,直线0:=+y x l 被圆2C 所截的弦长为__________.
【本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属中档题】
15.设等比数列}{n a 的公比为q, n T 是其前n 项积，若253127,1)(25a a a a ==+，则=q _______,当n T 取最小值时，n=__________.
【本题考查等比数列的通项公式、前n 项积等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题】
16.已知单位向量b a ，的夹角为︒60，且19|2||3|=++-b c a c ，则||a c +的取值范围为__________
【本题考查向量的几何意义、余弦定理、点到直线的距离，意在考查学生的转化和化归能力、数形结合思想，属难题】
17．双曲线)0,0(1:C 22
22>>=-b a b
y a x ，O 为坐标原点，A 为x 轴上异于点O 的点，且以A 为圆心的圆与双曲线
C 经过第一、三象限的渐近线交于P ，Q 两点，若︒=∠60PAQ ，且OP OQ 4=，则双曲线C 的离心率为_________.
三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分） 已知ABC ∆中，三边a 、b 、c ，所对应的角分别为A,B,C 且1)sin 32
sin 22
++=+B A B
A （ (Ⅰ) 求角C 的大小；
(Ⅱ) 若a=3，c=1，求⊿ABC 的面积。

【本题考查诱导公式、余弦定理，考查化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理及数学运算，属中档题】
19．(本题满分15分) 已知正项数列{a n }满足
n 1n n
1
n a 2-a a a ++=（n ∈N +）,Sn 为数列{a n }前n 项和． (Ⅰ)求a 2的取值范围；
(Ⅱ)求证：对任意的n ∈N +
都有7-n 2-25s n
n ⋅>．
【本题考查数列的递推公式和等比数列的求和公式以及累乘法的应用，属于中档题】
20． (本题满分15分)
如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD
BAD ∠的余弦值为3
5，AC 与BD 相交于点O ，OP ⊥底
面ABCD ，M 为PC 中点，OP=4. (1) 求证：AM ⊥BD;
(2) 求直线PA 与平面ABM 所角的正弦值
【本题考查线线垂直的证明、直线与平面所成角的正弦值得计算等，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理以及数学运算，属中档题】
21． (本题满分15分)
已知椭圆22
22x y 1a b
+=（a ﹥b ﹥0）的左右焦点为F 1，F 2，且|F 1F 2|=43，A （3，213-）是椭圆上一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e 的值；
与x 轴交于点Q ，求证：|PN|.|QM|为定值
【本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等基础知识，考查定值问题，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中难题】 22．（本题满分15分） 已知函数()ln +2a x f x x a =-（），
（ a ＞0）的最大值为M(a ). （Ⅰ）若关于a 的方程M(a )=m 的两个实数根分别为a 1，a 2 ，求证：4a 1a 2﹤1； （Ⅱ）当a ﹥2时，证明函数g()f x x =+(x)在函数f (x)的最小零点x 0处取得极小值。

【本题考查导数判断函数单调性，函数的最值与零点，不等式的证明等，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归和转化思想、数形结合思想等，考查的核心素养是数学运算与逻辑推理能力，属较题】
2019年高考模拟试卷数学卷答卷
二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分， 共36分。

11 ________ ________. 12 ________ _________. 13 ________ ________. 14 ________ _________.
15 ________ ________. 16 __________ 17___________. 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18．(本题满分14分)
在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且1)sin 32
sin 22
++=+B A B
A （ (Ⅰ) 求角C 的大小；
(Ⅱ) 若a=3，c=1，求⊿ABC 的面积。

19． (本题满分15分) 已知正向数列{a n }满足 n 1
n n
1
n a 2-a a a ++=（n ∈N +）,Sn 为数列{a n }前n 项和． (Ⅰ)求a 2的取值范围；
(Ⅱ)求证：对任意的n ∈N +
都有7-n 2-25s n
n ⋅>．
20． (本题满分15分)
如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为5菱形，BAD ∠的余弦值为3
5，AC 与BD 相交于点O ，OP ⊥底
面ABCD ，M 为PC 中点，OP=4. (1) 求证：AM ⊥BD;
(2) 求直线PA 与平面ABM 所角的正弦值
21．(本题满分15分)
已知椭圆）（0b a 1b
y a x 22
22 =+的左右焦点为F 1，F 2，且|F 1F 2|=43，A （3，213-）是椭圆上一点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e 的值；
（Ⅱ）若T 为椭圆上异于顶点的任一点M,N 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM 与y 轴交于点P ，直线TN
与x 轴交于点Q ，求证：|PN|.|QM|为定值
22．（本题满分15分）
已知函数()ln +2a x f x x a =-（），
（ a ＞0）的最大值为M(a ). （Ⅰ）若关于a 的方程M(a )=m 的两个实数根分别为a 1，a 2 ，求证：4a 1a 2﹤1； （Ⅱ）当a ﹥2时，证明函数g()f x x =+(x)在函数f (x)的最小零点x 0处取得极小值。

2019年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分, 共40分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1． D 2．D 3． B 4．B 5．D 6． A 7．B 8． C 9． A 10.C
二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分， 共36分。

11．6 60 12．31
-
552- 13． 32
π 5+2π 14． 9 62
15．3 6 16．[
19574,4] 17． 5
132
三、解答题：本大题共5小题, 共74分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）
20．（本小题满分15分）
21（本小题满分１5分）．
22．（本小题满分15分）。