万州区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

万州区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值
范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞
2． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
3． 已知x ＞0，y ＞0
，
+=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ） A ．（﹣∞
，] B ．（﹣∞
，] C ．（﹣∞
，
] D ．（﹣∞
，
]
4． 已知幂函数y=f （x
）的图象过点（
，），则f （2）的值为（ ）
A
． B
．﹣
C ．2
D ．﹣2
5． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6． 若变量x ，y
满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）
A ．﹣2＜t
＜﹣ B ．﹣2＜t ≤
﹣ C ．﹣2≤t ≤
﹣ D ．﹣2≤t
＜﹣
7． 在平面直角坐标系中，直线
y=
x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ）
A ．
4 B ．
4 C ．
2 D ．
2
8． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
9． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得的图象经过点 )0,4
3(
π
，则ω的最小值是（ ）
A ．
31 B ． C ．3
5
D ． 10．一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）
A ．2+
B ．1+
C ．
D ．
11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
12．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
2
1
时，则输入的值为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．1-或2
D ．1-或10
二、填空题
13．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ． 14．
的展开式中
的系数为 （用数字作答)．
15．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
16．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ． 17．已知函数()f x 2
3(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系 是 ．
18．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB
的距离是 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．
20．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是圆O的切线．
21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
22．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，
AC=2．
（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；
（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．
23．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩
形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边
在直径上，点、、、在圆周上，、在边
上，且
，设
．
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求
的表达式；
（2）怎样设计才能符合园林局的要求？
245
（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
万州区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12
a ≤时，12a -≥-
，z ax y =+在点1,0A （）取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）
取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧≤⎪
⎨⎪<⎩或
12111
a a ⎧>⎪⎪⎨
⎪+<⎪，∴2a <，选A ． 2． 【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±
x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
3． 【答案】D
【解析】解：x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立， 所以（x+y ）（+）=10+≥10
=16，
当且仅当
时等号成立，所以2m ﹣1≤16，解得m
；
故m 的取值范围是（﹣]；
故选D ．
4．【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，
∴α=，即f（x）=，
故f（2）==，
故选：A．
5．【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
则S4=4a1+d=﹣2，S5=5a1+d=0，
联立解得，
∴S6=6a1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
6．【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，
由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），
则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，
即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，
即（3t+4）（2t+4）≤0，
解得﹣2≤t≤﹣，
即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．
7．【答案】A
【解析】解：圆x2
+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
9．【答案】D
考
点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换． 10．【答案】A
【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形， ∴原四边形为直角梯形，
且CD=C'D'=1，AB=O'B=，高AD=20'D'=2，
∴直角梯形ABCD 的面积为，
故选：A ．
11．【答案】C
【解析】解：连结A 1D 、BD 、A 1B ，
∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，∴EF ∥A 1D ，
∵A 1B ∥D 1C ，∴∠DA 1B 是CD 1与EF 所成角，
∵A 1D=A 1B=BD ， ∴∠DA 1B=60°． ∴CD 1与EF 所成角为60°．
故选：C ．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12．【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数⎩⎨⎧=x y x lg 2 0
0>≤x x ，当0≤x 时，212=x
，解得1-=x ，当0>x 时，21lg =x ，
解得10=x ，所以输入的是1-或10，故选D.
考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
14．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：
故答案为：
15．【答案】：．
【解析】解：∵•=cos α﹣sin α=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cos α﹣sin α=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α=
=
，
∵α为锐角，sin （α+
）＞0，
∴sin （α+）
====
． 故答案为：． 16．【答案】 a ≤0或a ≥3 ．
【解析】解：∵A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，且A ∩B=B ，
∴B ⊆A ，
则有a+1≤1或a ≥3，
解得：a ≤0或a ≥3，
故答案为：a ≤0或a ≥3．
17．【答案】12()()f x f x ]
【解析】
考
点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
18．【答案】 ．
【解析】解：根据点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），可得A 、B 的直角坐标分别是（3，
）、（﹣，
），
故AB 的斜率为﹣，故直线AB 的方程为 y ﹣=﹣（x ﹣3），即x+3y ﹣12=0，
所以O点到直线AB的距离是=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），
．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．
x
f′（x）﹣0 +
f（x）↘极小值↗
故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值，无极大值．…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0
当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）
当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，
只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）
综上，．…（8分）
（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分），由，故由（Ⅱ）可知，
方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，
且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）
取t=e﹣3+2a∈（0，1），
则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，
从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，
即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）
解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）
设，则m∈（1，+∞），，…（6分）
问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）
故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．
可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
∴，得．
∵G是AD的中点，即DG=AG．
∴BF=EF．
（2）连接AO，AB．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是圆O的切线，
∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．
【点评】本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-． 假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3， 11()bx f x b x x
-'=-=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e 13,f x f be b e ==-==
（舍去）．………8分 ②当10e b <<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分 ③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分 综上，存在实数2e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()f x 最小值是3．……………………………12分
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD 为圆O 的直径，∴AB ⊥AD ，
∵直线AE 是圆O 所在平面的垂线，
∴AD ⊥AE ，
∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE；
（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=V B﹣AEFC+V D﹣AEFC=2V B﹣AEFC．
∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=，∴AEFC为矩形，
∵AC=2，
∴S AEFC=2，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
23．【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值
（2）要符合园林局的要求，只要最小，
由（1）知，
令，即，
解得或（舍去），
令，
当时，是单调减函数，
当时，是单调增函数，
所以当时，取得最小值.
答：当满足时，符合园林局要求.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一：
依题意有，
答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；
乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．
所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．
恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．
∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．。