2019-2020学年高一数学下学期第三次月考试题理

2019-2020学年高一数学下学期第三次月考试题理
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．） 1．已知函数)2
sin()(π
π+=x x f ，则下列命题正确的是（ ）
A ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数
B ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数
C ．)(x f 是周期为1的奇函数
D ．)(x f 是周期为2的偶函数
2．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )
A ．－2
B ．－12
C ．2
D ． 1
2
3．化简cos 15°cos 45°－sin 165°sin 45°的值为( )
A ．－
32 B ．32 C ．－12 D ．12
4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b . 若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝( )
A ．23b ＋13c
B ．53c －23b
C ．23b －13c
D ．13b ＋23
c 5．在等差数列{}n a 中，已知3,173==a a , 则数列{}n a 的前9项之和等于（ ）
A ．9
B ．18
C ．36
D ．52
6．若函数sin()y A x ωϕ=+(0A >，0ω>，||2
π
ϕ<
)在一个周
期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点， 且ON OM ⊥（O 为坐标原点），则=A （ ）
A ．
6
π
B ．
712π C ．76π D ．7
3
π 7．三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）
A ．
24 B ．2
3
C ．14
D ．
34 8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A ．192 里
B ．96 里
C ．48 里
D ．24 里
9.若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α
＋cos 2
α＝( )
A ．165
B ．－165
C ．85
D ．－85
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
+11n n a a 的前100项和为（ ）
A ．
100
101
B ．
99101
C ．
99100 D ．
101
100
11．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的
取值范围为( )
A ．(0，2)
B ．(2，2)
C ．(2，3)
D ．(1，3)
12．数列{}n a 是等差数列，若9
8
1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于（ ）
A ．17
B ．16
C ．15
D ．14
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应位置）
13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n
－1，则数列{a n }的通项公式=n a ___________．
14．如图，测量河对岸的旗杆高AB 时，选与旗杆底B 在同一水平面
内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝75°，∠BDC ＝60°，CD ＝a ，并 在点C 测得旗杆顶A 的仰角为60°，则旗杆高AB 为___________． 15．如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC , 其中OA 与OB
的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°, 且|OA |＝|OB |＝1， |OC | ＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）, 则λ+μ的值为___________．
16．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=, 当31x -≤<-时，2
()(2)f x x =-+，
当13x -≤<时，()f x x =. 则=++++)2018(3)2()1(f f f f ）（___________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知向量,a b 满足：||2a =，||4b =，2)(=-⋅a b a .
(Ⅰ)求向量a 与b 的夹角；
（Ⅱ）求||b a t -的最小值及取得最小值时t 的取值.
18.（本小题满分12分）已知2
()2cos 23sin cos f x x x x a =++（a 为常数）.
(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ)若()f x 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-66ππ，上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．
19．（本题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为c b a ,,.
已知(sin ,sin cos ),m C B A = (,2)n b c =,且n m ⊥. （Ⅰ）求角A 大小.
（Ⅱ）若23,2,a c == 求ABC ∆的面积S 的大小．
20．（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，
且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7. (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；
(Ⅱ)设c n ＝a n b n ，n ∈N *
，求数列{c n }的前n 项和.
21．（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4, 且∠D AB =60°
的菱形，AC ∩BD =O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，E 是O 1A 的中点. （Ⅰ）求二面角O 1－BC －D 的大小； （Ⅱ）求点E 到平面O 1BC 的距离．
22．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，
且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N *都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列． (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．
D 1 D C
B
A
C 1 B 1
A 1
O 1 O
•E
高一数学月考（理）参考答案
1．D 解析：，x x f πcos )(= ，∴)(x f 是最小正周期为2的偶函数． 2．C 解析：∵a ∥b ，∴2cos α＝sin α，∴tan α＝2.
3．D 解析：cos 15°cos 45°－sin 165°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°
＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝1
2
．
4．A 解析：如图所示，可知AD →＝AB →＋23(AC →－AB →
)＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .
5．B . 解析：47391=+=+a a a a , 182
9
)(919=⨯+=
∴a a S .
6．B 解析：由图知),,12(A OM π
=),,127(A ON -=π
⋅OM ,0144722
=-=
A ON π,12
7π=A 7．D 解析：2
2222a b ac b a c =∴==,, ，∴由余弦定理得4
322242
22=⨯-+=
a a a a a B cos . 8．B 解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－1
261－1
2
＝378，
解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96 里，故选B ．
10. A 解析：由25515⨯+=)(a a S 得2
5
5151⨯+=)(a 11=⇒a ，11515=--=a a d ，于是
n a n =,
则
1
1
111+-=+n n a a n n ，故
}{
1
1+n n a a 的前100项和为：
101
1001011100131212111=-++-+-)()()( . 11．C 解析：由a sin A ＝b sin B ＝b sin 2A ，则b ＝2cos A ．π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3，又2A <π2
，
所以A <π4，所以有π6<A <π4，22<cos A <3
2
，所以2<b < 3.
12．C 解析：∵数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴数列{}n a 为递减数列，又9
8
1a a <-，8900
a a ><∴，且890
a a +<，又
115116158168915()16()1508()022
a a a a S a S a a ++==>==+<，，
故当15n =时，n S 取得最小正值，故选C ．
13．答案：12-=n n a 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －2n －1＝2n －1. 故12-=n n a 14．答案：322a 解析：在△BCD 中，由正弦定理得a sin 45°＝
BC
sin 60°
⇒BC ＝6
2a . 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝6
2a ×3＝32
2a .
15．答案：6; 解析：过C 作OA 与OC 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，
由90=∠BOC °，30=∠AOC °=32得平行四边形的边长为2和4，=+μλ2+4=6. 16．答案：339解析：由)()6(x f x f =+，可知函数的周期为6，所以1)3()3(-==-f f ，
0)4()2(==-f f ，1)5()1(-==-f f ，0)6()0(==f f ，1)1(=f ，2)2(=f ，
所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ， 所以33933361336)2()1()2018()2()1(=+=⨯++=+++f f f f f .
17．解析: (Ⅰ) 设向量a 与b 的夹角为θ，∵2)(2
=-⋅=-⋅a b a a b a ，∴4=⋅b a ，… 2分 所以22|
|||cos =
=
b a b a θ，∵[0,]θπ∈，∴4
π
θ=；…………… 5分
(Ⅱ) 8)2(21682||22+-=+-=
=-t t t b a t …………… 8分
当2=t 时，||b a t -取得最小值22…………… 10分 18．解：(Ⅰ) 1)6
2(sin 212sin 32cos )(+++=+++=a x a x x x f π
……………3分
由2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k ，得6
3
π
ππ
π+
≤≤-
k x k ，
∴()f x 的单调递增区间是[
].)(6
3
Z k k k ∈+
-
，，π
ππ
π …………………… 6分
(Ⅱ) [,]2[,]
66662
x x πππππ
∈-⇒+∈-⇒()[,3]f x a a ∈+，……………… 10分
则max min ()()33f x f x a a +=++=， ∴0a =. ……………………12分
19．解：(Ⅰ) ∵n m ⊥，∴0)2,()cos sin ,(sin =⋅c b A B C , ∴sin 2sin cos 0.b C c B A += (2)
分
由正弦定理得2cos 0.bc cb A += ∵0,0,b c ≠≠
∴12cos 0.A +=∴1
cos .2A =- ………………4分
∵0,A π<<∴2.3
A π
=
………………6分 (Ⅱ) ABC ∆中，∵2
2
2
2cos ,a c b cb A =+-
∴201244cos120b b =+-．∴2280.b b +-=………………8分
∴4b =-（舍）或2b =，面积 1
sin 2ABC S bc A ∆== ………………12分
20．解：(Ⅰ) 设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.
D 1
D
C
B
A
C 1
B 1
A 1
O 1
O
E
F H
. 由已知，有⎩
⎪⎨⎪⎧2q 2
－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2
－8＝0，…………… 3分
又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *
；
数列{b n }
的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *
.…………………………6分
(Ⅱ) 由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1
，设{c n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1
，
2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n
， 上述两式相减，得
－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n
－3，
所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *
..…………………………12分 21．解法一: (Ⅰ) 过O 作OF ⊥BC 于F ，连接O 1F ， ∵OO 1⊥面AC ，∴BC ⊥O 1F ，
∴∠O 1FO 是二面角O 1－BC －D 的平面角，……2分 ∵OB =2，∠OBF =60°，∴OF =3,
在Rt △O 1OF 在，tan ∠O 1FO =133,3
OO OF == …
5分 ∴∠O 1FO =60° , 即二面角O 1—BC —D 为60°. ………6分
(Ⅱ) 在△O 1AC 中，OE 是△O 1AC 的中位线，∴OE ∥O 1C , ∴OE ∥面O 1BC ， ∴点E 与点O 到面O 1BC 的距离相等, …………8分
∵BC ⊥面O 1OF ，∴面O 1BC ⊥面O 1OF ，交线O 1F . 过O 作OH ⊥O 1F 于H ， 则OH 是点O 到面O 1BC 的距离，………10分 ∵OH =+⨯=⨯=
2211)3(33
3F O OF O O 3.2
∴点E 到面O 1BC 的距离等于3.2 …………12分 解法二：(Ⅰ) ∵OO 1⊥平面AC ，∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，又OA ⊥OB ，建立如图所示的空间直角坐标系（如图），∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB =60°的菱形，
∴OA =23，OB =2，则A (23, 0, 0)，B (0, 2, 0)， C (－23, 0, 0)，O 1(0, 0, 3), ),3,,32(),3,2,0(11--=-=∴o C O B O …
………3分 设平面O 1BC 的法向量为1n =(x , y , z )，则1n ⊥1O B ，1n ⊥1OC ，∴230
2330
y z x z -=⎧⎪⎨
--=⎪⎩， 令z =2, 则x =－3, y =3, ∴1n =(－3, 3, 2)，…………5分 而平面AC 的法向量2n =(0, 0, 3) …………6分 ∴cos<1n ，2n >=
2
1
436||||212
1=
⨯=⋅⋅n n n n ， 设O 1－BC －D 的平面角为α，∴cos α=1,2∴α=60°. 故二面角O 1－BC －D 为60°. …………9分
(Ⅱ) 设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，∵E 是O 1A 的中点，
∴1EO =(
3
2
)， 则d =
2323)3(|
)2,3,3()23
,0,3(|||||2
2211=++--⋅-=⋅n n EO , ∴点E 到面O 1BC 的距离等于
3
2
．………………12分 22．解：(Ⅰ) 已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈N *) ①
2n ≥时，212322a a a +++…2128(1)n n a n --+=-(n ∈N *) ②
①-②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==， 所以42n n a -=(n ∈N *)．……………………………………4分
由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---, ∴1n n
b b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，
121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-)82()2()4(8-++-+-+=n
2714n n =-+(n ∈N *)．……………………………………8分
(Ⅱ) k k b a -=2714k k -+-42k
-，当4k ≥时，27
7()()2
4
f k k =-+
-42k
-单调递增， 且(4)1f =，所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k
-≥，又(1)(2)(3)0f f f ===，
所以，不存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈．……………………………………12分。