常见的空间曲面与方程

常见的空间曲⾯与⽅程
常见的空间曲⾯与⽅程
常见的空间曲⾯有平⾯、柱⾯、锥⾯、旋转曲⾯和⼆次曲⾯。

1. 平⾯
空间中平⾯的⼀般⽅程为
0a x b y c z
d +++=
其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。

例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表⽰空间中的平⾯，
z
yoz 平⾯（x =0） y y x
图8-6（a ）图8-6 (b)
图8-6
2. 柱⾯
与给定直线L 平⾏的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲⾯，称为柱⾯，l 为母线，C 为准线。

如图8-7所⽰
图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表⽰空间中母线平⾏于z 轴，准线是xoy 平⾯上的圆222x y R +=的
圆柱⾯的⽅程，简称圆柱⾯图（8-8）。

3. ⼆次曲⾯三元⼆次⽅程
222
1231
2
31230a x a y a z b x y
b y z b z x
c x c y c z
d
+++
++++++= 所表⽰的曲⾯称为⼆次曲⾯，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0.⼆次曲⾯有以下⼏种标准形式，它们分别为：球⾯：图8-9 椭球⾯：222
2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10
图8-9 图8-10
单叶双曲⾯：222
2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11
双叶双曲⾯：222
2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R +
+=
>x
z
图8-11 图8-12
⼆次锥⾯： 222
2220(,,0)x y z a b c a b c +-=>图8-13椭圆抛物⾯： 22
222(,0)x y z a b a b +=>图8-14
双曲抛物⾯（马鞍⾯）22
222(,0)x y z a b a b
-=->图8-15
x
y
z
O
图8-13 图8-14 图8-15 锥⾯
x
y
z
y
O
y
x
x
z
O
z
2222(z a x y =
+z =±。