双曲线

双曲线
知识点归纳
1 双曲线定义：
①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜
|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两
个定点叫双曲线的焦点．
②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
2 双曲线图像中线段的几何特征：
⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距
122F F c =
⑵顶点到焦点的距离：
11A F =
22A F c a
=-，
12A F =21A F a c =+
⑶顶点到准线的距离：
21122 a A K A K a c ==-；2
1221 a A K A K a c
==+
⑷焦点到准线的距离：
22
11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或
⑸两准线间的距离: 2
122a K K c
=
⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将
有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212
2
PF F F PF S b ∆∠=
⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a =
=====∈（1，+∞）
⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b
⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2
b a
（通径长的一半）
其中
22b a c +=a PF 221=-
3 双曲线标准方程的两种形式：
①22
a x －22
b y =1，
c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22
a y －22
b x =1，
c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ）
4 双曲线的性质：22
a x －22b
y =1（a ＞0，b
＞0）
⑴范围：|x |≥a ，y ∈R
⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：
①若双曲线方程为122
22=-b y a x ⇒渐近线方程
⇒=-02222b y a x x a
b
y ±=
②若渐近线方程为x a
b y ±=⇒
0=±b
y
a x ⇒双曲线可设为λ=-2
2
22b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ
=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）
④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a
b x ，y =－
a
b
x ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2
，两准线之距为2
122a K K c =⋅
⑹焦半径：2
1()a PF e x ex a c
=+=+，（点P 在双曲线的右支上
x a ≥）
； 2
2()a PF e x ex a c
=-=-，（点P 在双曲线的右支上
x a ≥）
； 当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b
y a x )0(≠λ
⑻与双曲线12222=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是122
2
2=--+k b y k a x
题型讲解
例1 根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线22
1916
x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，
23）；
（2）与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）
分析：设双曲线方程为22
a x －22b
y =1，求双曲线方程，即求a 、
b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个
方程
解法一：（1）设双曲线的方程为22
a x －22b
y =1，
由题意，得
24
3
(3)19
b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得a 2=4
9，b 2=4
所以双曲线的方程为4
92
x －42y =1
（2）设双曲线方程为22
a x －22b
y =1
由题意易求c
又双曲线过点（32，2）， ∴
2
2
)23(a
－
24
b
=1 又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8
故所求双曲线的方程为122
x －8
2y =1
解法二：（1）设所求双曲线方程为92
x －162y ＝λ（λ≠0），
将点（－3，23）代入得λ＝4
1
，
所以双曲线方程为92x －162y 4
1
（2）设双曲线方程为k x -162
－k
y +42＝1，
将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122
x －8
2y ＝
1
点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）
例2 设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围
分析：由|PM |－|PN |=2m ，得||PM |－|PN ||=2|m |知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围
解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得
|
||
|x y =2， 即y =±2x （x ≠0） ① 因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线， 从而得 ||PM |－|PN ||<|MN |=2 ∵||PM |－|PN ||=2|m |>0， ∴0<|m |<1
因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上
故22
m
x －2
21m y -=1 ② 将①代入②，并解得x 2
=
2
2251)1(m m m --，
∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0
解得0<|m |<
5
5， 即m 的取值范围为（－
55，0）∪（0，5
5） 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义
例3 已知α∈[0,π], 设讨论随α值的变化，方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的曲线形状
解：(1)α=0时，两直线y=1和y= ─1;
(2)α=π/2时，两直线x=1和x=─1; (3)0<α<π/2时，焦点在x 轴上的椭圆;
(4)α=π/4时，半径为42的圆;
(5)π/4<α<π/2时，焦点在y 轴上的椭圆; (6)π/2<α<π时，焦点在x 轴上的椭圆
点评：本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想
例4 一双曲线以y 轴为其右准线，它的右支过点M(1,2), 且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求： (1)双曲线的离心率;
(2)双曲线的右焦点F 的轨迹方程;
(3)过点M ，F 的弦的另一端点Q 的轨迹方程
解：(1)依题意，2a=b+c, ∴b 2=(2a─c)2 = c 2─a 2, 5a 2─4ac=0,
两边同除以a 2, 得5
4
e =;
(2)设双曲线的右焦点F(x,y), 由双曲线的定义，点M 到右焦
点的距离与点M 到准线的距离之比为e=4
5
,
∴01)2()1(22--+-y x =4
5,
∴F 的轨迹方程为(x─1)2+(y─2)2=
16
25
(3)设Q(x,y), 点Q 到右焦点的距离与点Q 到准线的距离之比为5/4,
∴|QF|=
4
5x , 又设点F(x 1,y 1), 则点F 分线段QA 的比为FM QF =45x :4
5
= x , ∴x 1=
x x x +⨯+11=x x +12 , y 1=x x y +⨯+12=x
y
x ++12 , 代入(x 1─1)2+(y 1─2)2=16
25
整理得：
点Q 的轨迹方程为 9x 2─16y 2+82x+64y─55=0
例5 已知双曲线的方程为14
22
=-y x , 直线l 通过其右焦点F 2，
且与双曲线的右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来，求|F 1A|²|F 1B|的最小值
解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
A 到双曲线的左准线x= ─c a 2
= ─54的距离d=|x 1+54|=x 1+5
4，
由双曲线的定义，
d
AF ||1=e=25,
∴|AF 1|=
25(x 1+5
4
)=25x 1+2, 同理，|BF 1|=
2
5
x 2+2, ∴|F 1A|²|F 1B|=(
25x 1+2)(25x 2+2)=4
5x 1x 2+5(x 1+x 2)+4 (1) 双曲线的右焦点为F 2(5,0),
(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y=k(x─5)，
由⎪⎩⎪⎨⎧=--=14
)5(2
2y x x k y 消去y 得 (1─4k 2)x 2+85k 2x─20k 2─4=0,
∴x 1+x 2=145822
-k k , x 1x 2= ─1
442022-+k k ,
代入(1)整理得
|F 1A|²|F 1B|=1452514402222-++
-k k k k +4=1
45
6522-+k k +4 =1
4485)41(652
2-+
-k k +4=481+)14(4852-k ∴|F 1A|²|F 1B|>
4
81
; (2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|AF 2|=|BF 2|=2
1, ∴|AF 1|=|BF 1|=2a+
21=29(双曲线的第一定义), ∴|F 1A|²|F 1B|=4
81 由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F 1A|²|F 1B| 4
81
例6 24已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小
解：（1）由16x 2
－9y 2
=144得92
x －16
2y =1，
∴a =3，b =4，c =5焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），离心率e =3
5，
渐近线方程为y =±3
4x
（2）||PF 1|－|PF 2||=6，cos ∠F 1PF 2=|
|||2||||||212
212221PF PF F F PF PF -+
=||||2||||||2|)||(|2122121221PF PF F F PF PF PF PF -+-=64
1006436-+ =0
∴∠F 1PF 2=90°
例7 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定
值试对双曲线C ′：22
a x －22b
y =1写出具有类似特性的性质，并加
以证明
解：类似的性质为若MN 是双曲线22
a x －22b
y =1上关于原点对
称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率
都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值
设点M 的坐标为（m ，n ）， 则点N 的坐标为（－m ，－n ），
其中22a
m －22
b n =1
又设点P 的坐标为（x ，y ）， 由k PM =
m x n y --，k PN =m
x n
y ++， 得k PM ²k PN =m x n y --²m x n y ++=2
22
2m x n y --，
将y 2
=22a b x 2－b 2，n 2=22
a b m 2－b 2
，代入得 k PM ²k PN =22a
b
点评：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求
小结：
1由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：
（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；
（2）已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上
2由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错
3解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量
4对概念的理解要到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何与代数互化; 把解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简习惯。